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函数里面题型特别多，而且很多题型属于比较难的，比如含有f（x）和xf'（x）的题型。 这一类题目如果考察，都是选择题或者填空题最后一个题，难度算是比较大的。 但是如果能够把这一类题型里面的规律和技巧都掌握了，其实很好做出来。 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 例一：设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x＞0时，xf'（x）-f（x）＜0. 则使得f（x）＞0成立的x的取值范围为__. 例二：定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f'（x），若对于任意的实数x都有2f（x） xf'（x）＜2恒成立，则使x2f（x）-f（1）＜x2-1成立的实数x的取值范围为______。 例三：设函数f'（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=1，且3f（x）=f'（x）-3，则4f（x）＞f'（x）的解集是（）。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 第一个题目： 因为题意中有一个xf'（x）-f（x）＜0，我们需要找到谁的导数含有这样的式子。 很显然g（x）=f（x）/x的话，g'（x）=[xf'（x）-f（x）]/x2，包含上面的式子 因为f（-1）=0 f（x）是奇函数，所以f（1）=0。 当x＞0时，g'（x）＜0，所以g（x）在（0，﹢∞）单调递减。 当x=1时，g（1）=f（1）/1=0。 又因为单调递减，所以所以当x＞1时，g（x）＜0，所以f（x）＜0. 同理，当x∈（0,1）时，g（x）＞0，所以f（x）＞0。 根据奇函数图像中心对称，我们能够判断出来当x∈（-1,0）时，f（x）＜0，当x∈（-∞，-1）时，f（x）＞0。 所以使得f（x）＞0的x的取值范围就是（-∞，-1）∪（0,1）。 第二个题目： 因为题目中有一个2f（x） xf'（x）＜2，处理一下可得2f（x） x'f（x）-2＜0。 我们需要找到什么样的函数求导会出现这么样的式子。 很显然g（x）=xf（x）的话，g'（x）=f（x） xf'（x）。 但是题目中f（x）前面系数是2，所以需要考虑谁求导会出现2。 2x求导会出现2，但是如果g（x）=2xf（x）的话，g'（x）=2f（x） 2xf'（x），而题意中xf'（x）的系数是1，所以不符合题意。 除了2x求导会出现2，x2求导也会出现2，所以我们假设g（x）=x2f（x）的话，g'（x）=2xf（x） x2f'（x）=x[2f（x） xf'（x）]。 又因为题目中的式子是2f（x） x'f（x）-2＜0，所以g'（x）=x[2f（x） xf'（x）-2]，所以g（x）=x2f（x）-x2。 当x＞0时，g'（x）=x[2f（x） xf'（x）-2]＜0，所以g（x）在（0，﹢∞）上单调递减。 又因为g（x）是偶函数，所以g（x）在（-∞，0）上单调递增。 x2f（x）-f（1）＜x2-1这个不等式要向我们构造的g（x）靠近，可以化成x2f（x）-x2＜f（1）-1，即g（x）＜g（1）。 根据上面g（x）的单调性可得l x l＞1，所以不等式的解集为（-∞，-1）∪（1，﹢∞）。 第三个题目： 题意中有3f（x）=f'（x）-3，既然两边式子相等，那么含自变量的部分也应该相等，自变量指数也要相等。 如果是幂函数的话，原函数和导函数肯定不相等，所以f（x）要和e^x相关，因为e^x求导，指数不变。 又因为f（x）和f'（x）的系数不同，所以f（x）求导要出来3，所以f（x）要和e^3x有关。 如果f（x）=e^3x的话，3f（x）=3e^3x f'（x）-3=3e^3x-3 所以两者还是不相等。 我们可以设f（x）=ae^3x b 那么3f（x）=3ae^3x 3b=f'（x）-3=3ae^3x-3，所以b=-1。 又因为f（0）=1，所以f（0）=a-1=1所以a=2，所以f（x）=2e^3x-1 求出来f（x）的解析式了，后面的不等式的解集就很简单了。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 规律总结： 第一：含有f（x）和xf'（x）的话，就是和幂函数有关，两者相加，构造相乘的函数，两者相减，构造相除的函数。 第二：如果系数之比是1:1，那么就是f（x）和x相乘除，如果系数之比不是1:1，那么就是f（x）和x的系数之比次方相乘除。 比如第二题的2f（x）和xf'（x）关系式，f（x）前面系数是2，那就是f（x）和x2相乘除。 如果是f（x） xf'（x）/2的式子，系数之比同样是2，所以也是f（x）乘以x2，只不过还要加个1/2系数。 第三：如果是f（x）和f'（x）相关的等式，那么就是和e^x有关，如果系数之比不是一比一，同样适用第二条规律。 -------------------------------------------------------------------------------------------------------- 赵国良老师（微信号：18254638393）专注高考数学研究，对题型总结比较彻底和到位。 通过思维导图高效学习法可以快速提升学生数学成绩。 高三家长可以加微信，有更全面的资料和网络直播课，快速突击提升高考数学成绩。 高一高二学生家长也可以加微信，暑假有网络直播课。 |
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