双曲线是高中数学重要内容,也一直是高考数学热点。从历年的高考数学双曲线得分情况来看,很多考生掌握的并不是很好。 要掌握好双曲线这块数学知识,除了记住基本知识概念,更重要学会运用相关的数学思想,如数形结合、方程思想等等。 因此,今天我们就一起来讲讲高考数学考点双曲线。 我们知道,平面内与定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须小于两定点的距离”。若定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支。 典型例题1: 直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点。 区分双曲线与椭圆中a、b、c的关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.双曲线的离心率e>1;椭圆的离心率e∈(0,1)。 典型例题2: 解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程,然后把直线方程和双曲线方程组成方程组,消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程。利用根与系数的关系,整体代入。与中点有关的问题常用点差法。 一定要记住根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系。 若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<> 若已知渐近线方程为mx+ny=0,则双曲线方程可设为m2x2-n2y2=λ(λ≠0)。 已知渐近线方程y=mx,求离心率时,若焦点位置不确定时,m=b/a(m>0)或m=a/b,故离心率有两种可能。 解决与双曲线几何性质相关的问题时,要注意数形结合思想的应用。 |
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