【原】高中数学 - 双曲线性质及其应用

目标：理解双曲线的定义及其基本性质

 

1.基础知识回顾：

   双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。 双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。

双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。

 一、双曲线的定义

①双曲线的第一定义

一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F₁、F₂的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F₁和F₂之间的距离即2a<2c）时所成的轨迹叫做双曲线。

分析：对比椭圆的证明过程，得到双曲线的方程，在此过程中学会化解含根式的方程

两个定点F₁,F₂叫做双曲线的左，右焦点。两焦点的距离叫焦距，长度为2c。坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a为双曲线的实轴长，2b为双曲线的虚轴长。

实轴长、虚轴长、焦距间的关系：，

 

②双曲线的第二定义

与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：，我们将代入，

可得：（可以让学生参照椭圆自己先思考 ）

所以有：双曲线的第二定义可描述为：

　　平面内一个动点（x,y）到定点(c,0)的距离与到定直线()的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线，其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数是双曲线的离心率。

1、离心率：

（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率；

（2）范围：；

（3）双曲线形状与的关系：

；

因此越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；

（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；

（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；

2、准线方程：

对于来说，相对于左焦点对应着左准线，相对于右焦点对应着右准线；

位置关系：，焦点到准线的距离（也叫焦参数）；

对于来说，相对于下焦点对应着下准线；相对于上焦点对应着上准线。

3、双曲线的焦半径：

双曲线上任意一点与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

设双曲线，是其左右焦点，

， ∴，∴；同理；

即：焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：其中分别是双曲线的左（下）、右（上）焦点

同理：焦点在轴上的双曲线的焦半径公式：

二、双曲线的性质

　　1、轨迹上一点的取值范围：（焦点在x轴上）或者（焦点在y轴上）。

　　2、对称性：关于坐标轴和原点对称。

　　3、顶点：A(-a,0)， A＇(a,0)。同时 AA＇叫做双曲线的实轴且∣AA＇│=2a；

　　   B(0,-b)， B＇(0,b)。同时 BB＇叫做双曲线的虚轴且│BB＇│=2b。

4、渐近线：

由，当所以：双曲线的渐近线方程为：

　　　焦点在x轴：，焦点在y轴： 

　　5、双曲线焦半径公式：（圆锥曲线上任意一点P(x,y)到焦点距离）

　　右焦半径：r=│ex-a│

　　左焦半径：r=│ex+a│

6、共轭双曲线

双曲线S:，双曲线

　　双曲线S＇的实轴是双曲线S的虚轴 且双曲线S＇的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S＇与双曲线S为共轭双曲线。

　　特点： （1）共渐近线

　　      （2）焦距相等

　　      （3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1

7. 焦点到一条渐近线的距离

特别如图2可知：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于半短轴长．这个性质很重要．

 三、例题求解：

例1：已知双曲线的渐近线是，我们可以判断直线与双曲线的交点个数

分析：直接用代数法可不可以？用几何法的话会有什么效果

例2　已知直线与双曲线有两个不同的交点，试确定的范围．

分析：是不是直接用代数法就可以解决？要注意渐近线哦

例3　已知双曲线的焦点到渐近线的距离是其顶点到原点距离是2倍，则有双曲线的离心率是             

分析：很基础的题，用数形结合的思想试试！ 

例4 双曲线上一点与左右焦点构成，求的内切圆与边的切点的坐标。

分析：是不是可以设P在双曲线的一支上，根据题干数形结合，得到特殊的几何关系，然后将问题转化

例5  已知是双曲线的左右焦点，在双曲线的左支上，，，求的值

分析：先做出的内切圆⊙，则⊙切于点，等于内切圆的半径。且，

例6设是曲线:的焦点，为曲线:与的一个交点，则的值

分析：利用双曲线及椭圆的定义找出、之间的关系。

例7已知是双曲线的左右焦点，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，求双曲线的离心率.

分析：求离心率我们需知道什么？

例8已知双曲线的左右焦点分别为若双曲线上存在一点使得，求双曲线离心率的范围。

分析：用离心率的求解结合图像

例9已知双曲线的左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线交于不同的四个点，顺次连接焦点和这四个顶点恰好组成一个正六边形，求双曲线的离心率。

分析：还是仔细分析图像哦

例10  已知双曲线的左右焦点分别为，为双曲线上任意一点，的

内角平分线为，过的垂线M，设垂足为，求点的轨迹。

分析：轨迹方程的求解是一种题型，这个题我们怎么得到M的轨迹，它与已知点有什么关系？

例11、已知⊙：，⊙：，若⊙与⊙内切与⊙外切，求⊙的圆心的轨迹方程。

分析：P,A,B的位置关系是不是很面熟的感觉？

课堂总结：双曲线的定义是什么？它的常用性质有哪些？如何利用双曲线的性质解题，如何利用数形结合的思想，考虑问题一定要考虑全面，注意特殊情况。

下次精彩预告：抛物线的定义及性质