趣味数学｜智叟分牛

古印度民间流传着这样一个趣题：一个农民有19头牛。临终前，他嘱咐把牛分给3个儿子，大儿子得一半，二儿子得4分之1，三儿子得5分之1，按印度的教规，牛被视为神灵，不能宰杀，只能整头分。

三个儿子回到家里，按照老人的遗嘱开始分牛，可是分来分去就是没法分。最后想起一个村邻智叟，把老人要分牛的问题讲给智叟听。智叟听了以后说：“这个好办，我来帮你们分”。于是他带了一头自己家的牛一起去了三个儿子的家里，然后把自己的牛和老人留下的牛放在一起，这样牛总共有20头了。三个儿子看见了，都说这样不行，这样分就改变了老人的遗嘱，再说我们也不能把你的牛分掉。

智叟说：“我是来帮你们的，当然不会把我自己的牛让你们分掉了。你们等我分完再说好吗？三个儿子不出声了。智叟把20头牛的2分之1分给大儿子，计得10头，把20头的4分之1分给二儿子，计得5头，把20头的5分之1分给小儿子，计得4头。这样三个儿子共分得牛数为：10 + 5 + 4 = 19头，智叟自己带来的一头牛又带了回去。

一个使人绞尽脑汁的难题，被如此轻松地得以解决，该是多么巧妙！难怪成为佳话，以至流传至今。

不过，后人在钦佩之余也有点儿疑问：三个儿子分得牛数似乎应为：9.5 + 4.75 + 3.8。

另外，1/2+1/4+1/5=19/20，似乎没有分完。

智叟分牛的方法有问题吗？

按数学的方法进行计算会有什么结果？

1 最小公倍数法

首先，1/2+1/4+1/5=19/20，则：

2 比例法

大儿子分得二分之一，老二分得四分之一，小儿子分得五分之一，可以看成他们的分配比例。

大儿子:二儿子:小儿子=1/2:1/4:1/5=10:5:4，因此三个儿子最终获得的牛数为：

大儿子：19*10/(10+5+4)=10

二儿子：19*5/(10+5+4)=5

小儿子：19*4/(10+5+4)=4

3 无穷级数法

第一次分配：老大得到19*1/2，老二得到19*1/4，老三得到19*1/5，相加得到1/2+1/4+1/5=19/20，也就是说，三个儿子第一次分得的牛加起来其实并不是所有牛。假设所有牛为1，则还剩下1-19/20=1/20，按照老人的遗嘱，剩下的1/20的牛也应该让大儿子分得二分之一，老二分得四分之一，小儿子分得五分之一，此时还剩下1/20-1/20*(1/2+1/4+1/5)=1/(20*20)，如此不断的分下去，那么，分得的牛数情况如下：