基于开裂薄膜理论的剪力墙受剪工况下斜裂缝程序化计算方法研究

基于开裂薄膜理论的剪力墙受剪工况下斜裂缝程序化计算方法研究

江 彤1，* ERLICHER Silvano2 李国强3 RUOCCI Gianluca2HUGUET Miquel2 BISCH Philippe2 万 林4

(1.华东建筑设计研究总院，上海200002;2.EGIS Industries，Montreuil 93100，France; 3.同济大学土木工程防灾国家重点实验室，上海200092;4.爱集思(北京)工业技术有限公司，北京100027)

摘 要：提出了基于开裂薄膜理论(Cracked Membrane Model)的程序化斜裂缝计算方法，并利用此方法对有限元分析得到的单元应力场进行计算，从而得到墙体斜裂缝的宽度、间距和倾角，并与法国国家科研项目CEOS.FR框架下进行的钢筋混凝土剪力墙受剪试验得到的结果进行了对比。计算时，分别采用三个不同规范的裂缝间距计算公式和开裂薄膜理论推导公式进行对比分析，进而得出这些公式在计算墙体斜裂缝时的差异与准确性。

关键词：钢筋混凝土剪力墙，斜裂缝，裂缝宽度，裂缝间距，开裂薄膜理论

0 引言

对钢筋混凝土墙体进行斜裂缝宽度、间距等的计算，是在核电站一类的特种工业建筑结构设计时所需要考虑的，以使结构的适用性和耐久性达到要求，避免污染周围环境。然而，当前的工程规范［1］对墙体斜裂缝宽度和裂缝间距的计算所提供的建议公式往往是在梁纯受弯或受拉试验基础上总结归纳出的。而我国的《混凝土结构设计规范》［2］没有关于墙体斜裂缝的计算规定，需要通过计算和试验来对比验证已有的这些公式对于计算墙体受剪斜裂缝是否合适［3］。

为了增加对钢筋混凝土结构开裂现象的了解，开发可以用于钢筋混凝土结构构件裂缝发展计算的软件，法国环境、可持续发展部与法国高等教育、科研部牵头，联合法国若干实验室、高校及工程咨询企业，展开了关于钢筋混凝土特种结构开裂性能的研究。该研究名称为“特种工程结构裂缝与收缩性能及其评估”(Comportement et Evaluation desOuvragesSpéciaux-Fissuration et Retrait，简称CEOS.FR)。该项目旨在通过使用试验、数值模拟以及工程实践的方法来研究特殊工程结构(如核电站等)中混凝土结构开裂预测问题。

钢筋混凝土剪力墙受剪是其主要的受力状态，本文使用有限元软件分析得到钢筋混凝土墙体受剪工况下的单元应力场，基于开裂薄膜理论，提出了裂缝计算的程序化方法，从而得到各单元的裂缝宽度、倾角和间距，并与剪力墙受剪试验结果进行对比。本文提出的程序化裂缝计算方法可以为今后钢筋混凝土剪力墙斜裂缝计算、设计提供了一个思路。

1 钢筋混凝土剪力墙受剪工况下的开裂试验研究

1.1 试件尺寸及材料特性

钢筋混凝土剪力墙受剪工况下的开裂试验是在法国国家科研项目CEOS.FR的框架下进行的，试验所用的剪力墙试件尺寸为4 200 mm× 1 050 mm×150 mm，该尺寸为应用于核电站工程中真实剪力墙12.6 m×3.15 m×0.45 m的1/3缩尺模型，厚度为45 cm的剪力墙为核电工程中的常用剪力墙，试件的具体尺寸及实际模型见图1。

墙体内钢筋双向双层垂直交叉布置，水平方向混凝土保护层厚度为10 mm，竖直方向混凝土保护层厚度为20 mm，钢筋间距为100 mm× 100 mm。根据材性试验得到混凝土特性为:弹性模量Ec=27.4 GPa，泊松比νc=0.13，密度ρc= 2 200 kg/m3，棱柱体抗压强度代表值fcm= 31.9 MPa，抗拉强度代表值fct=3.5 Mpa，断裂能Gf=158 N/m;钢筋特性为:弹性模量Es= 200 GPa，泊松比νs=0.3，密度ρs=7 850 kg/m3，弹性极限fp=555 MPa［5］。

图1 试件尺寸(单位:mm)
Fig.1 Specimen dimension(Unit:mm)

1.2 加载装置及量测装置

试验采用的加载装置为液压千斤顶，其位于上部基座右侧，向左施力，荷载每增加300 kN时，荷载回复至0 kN。因此，加载方式为方向符号不变的往复加载，荷载随时间的变化曲线如图2所示。尽管加载为往复加载，但其受力特性相当于单调加载。墙体试件与外反力钢框架构成自平衡体系。

试验采用电测和光测两种方法相结合，电测法可测量混凝土墙体B面的相对位移，光测法是利用数码相机采集物体变形前后表面的散斑图，通过模拟/数字转换器转换成数字图像保存于存储卡或计算机中，对采集到的散斑图进行相关性计算，求出物体发生变形时的表面位移场和应变场。图3则为试验加载装置及部分量测装置的布置。

图2 荷载随时间变化曲线
Fig.2 Measured load time history

图3 加载装置及量测装置布置
Fig.3 Loading installation and sensor position

1.3 量测结果

试验过程中，第一条裂缝出现在墙体右侧，靠近加载点处。随后，裂缝自右向左逐渐增多并扩展。当加载到2 100 kN左右，墙体左侧也出现了一条裂缝，这可能是由于试验过程中的边界约束所致。两侧的裂缝倾角要大于中间区域的裂缝倾角，而中间区域的裂缝间距要小于两侧区域，中间区域的裂缝特性与两侧有所不同。由于墙体中间区域距离荷载较远，受边界条件影响较小，可视为一均质区域，形成的裂缝主要为剪切裂缝，因此，后续研究(数字图像处理、有限元模拟后处理等)主要研究该区域的裂缝分布、发展情况，该区域的裂缝宽度、间距、倾角具有一定的代表性。从裂缝记录图、表可以看出，中央区域在3300 kN级荷载之后不再有新的裂缝出现，进入裂缝稳定时期。

图4 数字图像相关方法及后处理检测出的中央区域裂缝图
Fig.4 Crack pattern identification by DIC analysis at the central position of the mock-up

经过数字图像相关方法、基于“峰值选取法”［6］的裂缝识别和裂缝检测后处理的计算，可得裂缝如图4所示，试验剪力墙的中央区域裂缝总数为10条，裂缝间距为95.8 mm，裂缝平均倾角为28.2°，裂缝宽度、数量随荷载的变化曲线如图5所示。图4中所标的数字为裂缝出现的先后顺序。从曲线中可以看出，在裂缝发展阶段，随着新裂缝的产生裂缝平均宽度随荷载的增加缓慢，而在裂缝稳定时，裂缝宽度则随荷载的增加而有明显增加，最后裂缝的平均宽度值为0.13 mm。这主要是由于在裂缝成形时期，新出现的裂缝其裂缝宽度小于平均宽度，而降低了总平均宽度的原因。

图5 试验测得的裂缝平均宽度随荷载的变化曲线
Fig.5 Development of crack according to loading step in the experiment

2 钢筋混凝土剪力墙受剪工况下的有限元模拟及裂缝的后处理计算

关于钢筋混凝土剪力墙开裂的模拟和计算分为两个步骤，第一步为采用钢筋混凝土半整体分析方法使用Code Aster有限元分析软件中混凝土损伤本构关系模型ENDO_ISOT_BETON［7］对试验的钢筋混凝土剪力墙进行模拟，得到墙体有限元单元的应力场;第二步为利用开裂薄膜理论对有限元模拟得到的单元应力场进行分析计算，并使用不同规范(如中国的《钢筋混凝土结构设计规范》、欧洲的《模式规范2010》、《欧洲规范2》)提供的裂缝最大间距计算公式，计算出裂缝的宽度、间距和倾角，并对比这些规范公式的计算准确度。

2.1 钢筋混凝土剪力墙受剪工况下的有限元模拟

本文使用的有限元模拟软件为法国国家电力公司开发的Code_Aster有限元软件。它是一款运行于Linux系统平台，基于Python语言的开源有限元数值计算分析软件。在钢筋混凝土结构分析中，其内置的多种考虑混凝土损伤开裂性能的本构模型为结构的分析提供了便利，并可被应用于大型结构分析当中。

剪力墙有限元网格的大小约为 23 cm× 18 cm，使用这一大小的网格依据在于实际核电工程设计过程中，对钢筋混凝土剪力墙的有限元模拟常采用这一级别的网格进行分析。若网格划分太细，则本研究不具有工程推广的实际使用意义。图6为有限元模型及其边界条件。

图6 有限元模型
Fig.6 Finite elements model

该模型为多层模型，即使用多层壳体单元模拟混凝土(11层)，使用4层壳体单元模拟钢筋层(截面上层x方向钢筋、y方向钢筋和截面下层x方向钢筋、y方向钢筋)。混凝土层采用ENDO_ ISOT_BETON本构关系(EIB)，钢筋层采用弹塑性GRILL_ISOT_LINE本构关系。计算过程中，沿厚度方向对每一层每一个单元进行积分计算，对于N层模型，每个单元在厚度方向上的高斯积分点为2N+1。钢筋应变与混凝土应变保持一致。

通过分析可得，EIB本构关系模型可以有效模拟混凝土受拉阶段的下降段。对于受压阶段，该本构关系采用全线性模型来模拟。由于本文采用的混凝土本构关系并不考虑混凝土重复加载带来的损伤累积，因此采用单调加载模式与试验加载进行对比。有限元模型的墙体荷载-相对位移曲线与试验测得的曲线包络值对比如图7所示。有限元模型较好地模拟了墙体损伤后的非线性变化。

图7 墙体相对位移的影响及与试验结果的对比
Fig.7 Force-displacement experimental curves obtained from finite element computation

2.2 有限元模拟结果的裂缝后处理计算

本文使用有限元分析得到的单元均质化应力场，利用瑞士学者Kaufmann提出的开裂薄膜理论(Cracked Membrane Model)通过迭代方法重新计算钢筋、混凝土的应变，进而进行裂缝计算(计算宽度、间距及倾角等)。参照试验结果，对比了使用三种规范规定的裂缝间距计算公式对计算结果的影响。

2.2.1 开裂薄膜理论［8］

开裂薄膜理论是瑞士苏黎世联邦工程学院学者Walter Kaufmann于1998年提出的基于粘结滑移理论、修正压力场理论［9］和拉伸强化理论［10］研究开裂的钢筋混凝土板在面内应力作用下的理论，其主要意义在于研究了钢筋混凝土板状构件(如墙体)开裂的计算。该理论主要有四点假定:①裂缝处混凝土的法向应力及切向应力为0，且裂缝随着加载过程可以旋转;②混凝土主应力方向与主应变方向一致;③裂缝方向垂直于主拉应变方向;④钢筋、混凝土之间的粘结应力为恒定不变。

对于二维构件的钢筋混凝土板，根据Vecehio和Collins提出的修正压应力场理论［9］可得，在裂缝处的应力平衡方程为:

式中，σx，σy，τxy分别为钢筋混凝土在x，y方向及切向上的均质化应力;θr为裂缝与x方向的夹角;σcnr为混凝土内沿裂缝方向的主压应力。

根据开裂薄膜理论的假设①，可得σcnr=0，τctnr=0，σsrx和σsry分别为在裂缝处x向、y向钢筋应力。根据拉伸强化的理论，裂缝处钢筋应力σsrx(y)可表示为:

式中，εmx(y)为x向或y上的钢筋平均应变;τb0x(y)为钢筋与混凝土中的平均粘结力，Kaufmann假设τb0x(y)=2fct，srmx(y)为裂缝在x向或y向上的平均间距，该平均间距可通过沿钢筋布置方向上的最大裂缝间距srm0x(y)求得:

式中，ρsx(y)为x向或y向上的实际配筋率，钢筋混凝土粘结应力τb0x(y)=2fct。

引入参数λ，其为裂缝平均间距与最大间距的比值，即

式中，0.5≤λ≤1，在计算中，Kaufmann建议其值取为λ=2/3。

根据开裂薄膜理论的假设③，裂缝倾角θr可以根据应变莫尔圆，通过下式求得:

钢筋混凝土板件斜裂缝的最大间距，可由下式求得:

式中，srm0x和srm0y分别表示x方向和y方向的最大裂缝间距。

式(6)是由 Vecehio和 Collins提出［10］，Kaufmann进行了论证。欧洲规范Eurocode 2和模式规范Model Code 2010均采用该公式计算钢筋混凝土板件裂缝。关于裂缝在x(或y)方向上的间距计算，不同的规范给出了不同的计算公式。

裂缝平均宽度为平均裂缝主拉应变ε(r)1与对角间平均裂缝间距srm的乘积，如下式所示:

钢筋混凝土整体主拉应变ε1是由裂缝主拉应变ε(r)1和混凝土主拉应变ε(c)1共同组成，整体主压应变ε3则等于混凝土主压应变ε(c)3。混凝土主应变ε(c)、应力关系可由一考虑侧向应力的线性本构方程表示，如式(8)所示。

开裂之前，混凝土为各向同性，泊松比ν13=ν31，开裂之后，考虑到混凝土的各向异性，取ν13≠ν31，Kaufmann推荐ν13=0.15及ν31=-0.06。

2.2.2 规范关于最大裂缝间距的计算公式

1)欧洲规范2(Eurocode 2)［1］

根据CEOS.FR混凝土剪力墙试验中剪力墙所采用的钢筋特性、保护层厚度及受力特点，在后面的计算中，这四个参数选取的值为k1=0.8，k2=1，k3=3.4，k4=0.425。

2)模式规范 2010(CEB-fib Model Code 2010［3］)

式中，k为考虑混凝土保护层影响的试验系数，一般情况下取1;钢筋混凝土粘结应力τb0x假定为恒定值，其建议取值为1.8fct，关于有效配筋率ρeff的计算方法与欧洲规范的相关规定相同。

3)中国《混凝土结构设计规范》(GB50010—2010)［2］

与之前两个规范给出最大裂缝间距计算公式不同的是，中国规范给出的是构件在裂缝稳定阶段的平均裂缝间距srm

式中，β取决于构件内力状态的系数，对轴心受拉构件，取β=1.1，对其他受力构件，均取β=1.0;ρte为按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率，其规定计算方法与之前的两种规范有所区别。

中国规范中并没有关于双向正交配筋(二维)的构件斜裂缝间距及裂缝宽度的计算公式规定，后续的计算只能借用式(7)进行转换。

2.2.3 程序化的后处理计算方法

通过有限元建模分析可以得到每个有限元单元的应力状态，从而得到整个墙体的应力场。为了计算裂缝宽度、间距及倾角，则需要通过程序化的后处理计算，从有限元分析得到的单元均质化应力状态出发，先计算内部应变，使后处理计算得到的内部合力与有限元分析得到的外部合力相等，进而计算出裂缝相关信息，其主要计算步骤如图8所示。

输入数据中，单元外部应变为有限元(FE)分析得到的单元应变，单元外部合力Ne为根据有限元分析结果得到的单元应力在单元截面上积分合力。后处理分析得到的结果统称为内部应力、应变、合力等。

用于判断该单元是否开裂的开裂准则主要根据外部应变状态来决定，它是基于 Chen和Drucker［11］提出的修正莫尔库伦破坏准则的，通过线弹性本构关系变换，将该破坏准则转换为以应变形式表示的判断单元状态的准则。这主要是由于对于EIB本构关系来说，整体均质化应变随外荷载的增加而增加;然而由于存在混凝土应力应变关系的下降段，则会出现单元应力达到破坏准则后下降的情况。使用应变作为破坏准则的参考量更加准确和可靠。开裂准则如图9所示。

图8 后处理程序主要计算步骤箭头示意图
Fig.8 Steps of post-processing procedure

图9 基于修正莫尔库伦破坏准则的主应变平面上的开裂准则
Fig.9 Cracking criterion in the main strain plane based on modified Morh-Coulomb criterion

若有限元分析得到的单元应变状态点落在上述开裂准则所围成的四边形之外，则判断其为开裂状态。根据上章中两个有限元模型计算得到的应变场，利用该准则计算，可得到相应的单元开裂顺序，如图10所示。图中方格内数字为对应的荷载等级，单位为MN。通过该后处理方法得到的裂缝开裂顺序与试验结果基本一致。

图10 有限元模型单元开裂顺序
Fig.10 Crack order of each element

3 后处理计算结果与试验结果的对比

利用后处理计算方法，对有限元模型分析得到的每级荷载下单元应力场进行处理，计算每个单元对应的裂缝的倾角、间距、宽度。取中央区域32个单元中的已开裂单元的裂缝计算结果的平均值与试验实测结果进行对比，评价该计算方法对裂缝计算的影响及准确性。通过变换裂缝间距计算公式，对比不同规范中裂缝间距计算公式与理论推导公式对裂缝间距预测的准确性。

3.1 裂缝倾角

图11对比了使用不同规范、理论裂缝间距计算公式(理论推导公式，欧洲规范EC2，模式规范MC2010，中国《混凝土结构设计规范》)计算得到的裂缝倾角计算值及试验结果(图中黑线，28.2°)，计算得到的裂缝倾角与实测结果较为接近。

图11 裂缝稳定阶段裂缝倾角计算值与试验结果对比
Fig.11 Comparison of crack orientation between experimental and computational results during stabilization stage

3.2 裂缝间距

图12给出了裂缝平均间距计算值随荷载的变化，并与试验结果(图中黑线，约97 mm)进行了对比。通过对比发现，模式规范2010给出的计算值与试验结果最为接近，而我国的混凝土结构设计规范则低估了裂缝平均间距值。此外，欧洲规范2和理论推导公式(3)均高估了裂缝平均间距值。

图12 裂缝稳定阶段裂缝平均间距计算值与试验结果对比
Fig.12 Comparison of crack spaces between experimental and computational results during stabilization stage

3.3 裂缝宽度

从图13可以看出，通过后处理计算得到的裂缝平均宽度计算值与试验值较为接近。从试验结果可以看出，中央区域的平均裂缝宽度在开裂后几乎处于恒定状态，这与计算结果相符。通过对比四个不同的裂缝间距计算公式对裂缝宽度计算的影响，可以得到使用欧洲规范2的计算公式计算得到的结果大于理论推导公式(3)大于模式规范2010，并且大于我国的混凝土结构设计规范。通过对比可以发现，使用我国混凝土结构设计规范得到的中央区域裂缝平均宽度的计算值与试验所测得的结果最为接近，尤其在加载后期。

图13 中央区域裂缝平均宽度计算值与试验结果对比
Fig.13 Comparison of crack width between experimental and computational results during stabilization stage

利用本文提出的后处理方法，可以得到每个单元在每级荷载下的裂缝宽度计算值，图14为使用中国《混凝土结构设计规范》(GB 50010—2010)提供的裂缝间距计算公式计算得到的在4 200 kN荷载等级下每个有限元单元的裂缝宽度计算值。从图中可以看出，裂缝宽度计算值在边缘区域单元检测的变化较大，而中央区域的裂缝宽度值较为均匀。

图14 4 200 kN荷载作用下后处理得到的各单元的裂缝宽度计算值
Fig.14 Crack width of each element being computed from post-processing method in 4 200 kN load

4 结语

本文以法国CEOS.FR项目为基础，通过将斜裂缝数值计算结果与试验结果的对比，得到以下结论:

(1)提出了基于开裂薄膜理论的钢筋混凝土墙体受剪工况下斜裂缝的宽度、间距、倾角的程序化计算方法，可用于处理有限元模拟生成的应力场。

(2)通过本文提出的后处理方法得到的裂缝开裂顺序与试验结果基本一致。

(3)通过与试验结果对比，应用本文提出的计算方法得到的斜裂缝宽度随荷载的变化及裂缝倾角、间距计算值与试验结果较为接近。

(4)在斜裂缝后处理计算过程中，对比了不同规范及理论规定的裂缝间距计算公式，及这些公式对裂缝间距和宽度计算的影响。当计算同一墙体的斜裂缝间距时，使用不同规范得到的裂缝间距计算值不同，具体为:欧洲规范2大于推导公式(3)大于模式规范2010大于我国的混凝土结构设计规范。需要指出的是，中国规范中并没有提出将一维裂缝间距转换为板件平面斜裂缝间距的计算公式，需要进行补充。

致谢:本文的研究内容得到了法国环境可持续发展部(MEEDDM-DRI)赞助的法国国家科研项目CEOS.FR的支持。

参考文献：

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［3］Model Code forConcrete Struetures2010［S］.fib，2010.

［4］Ruocci G，Rospars C，Bisch P，et al.Cracks distance and width in reinforced concrete membranes:experimental results from cyclic loading histories［C］.15th World Conference on Earthquake Engineering:Lisbon，Portugal.24-28thSeptember 2012.

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Programmed Diagonal Crack Calculation of Reinforced Concrete Shear Walls Based on the Cracked Membrane Theory

JIANG Tong1，* ERLICHER Silvano2 LI Guoqiang3 RUOCCI Gianluca2HUGUET Miquel2 BISCH Philippe2 WAN Lin4
(1.East China Architectural Design and Research Institute，Shanghai 200092，China; 2.EGIS Industries，Montreuil 93100，France;3.State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China;4.EGIS Beijing Industrial Technical Co.，LTD，Beijing 100027，China)

Abstract：A post-processing procedure of finite element stress results based on the so-called“Cracked Membrane Theory”is developed for computing crack width，spacing and orientation in this article.Reinforced concrete shear wall experiments under the framework of the French national research program CEOS.FR is presented here.The RC shear wall mock-up is modeled by the finite element software Code_Aster using a semiglobal approach.Three different crack spacing calculation formulas based on three different specifications and one analytical formula are used in post-processing.The calculation results are compared with experimental results and the accuracy of the different formulas is discussed.

Keywords：reinforced concrete shear wall，diagonal cracks，crack width，crack spacing，cracked membrane model

收稿日期：2015-07-14

基金项目：法国国家科研项目CEOS.FR

*联系作者，Email:[e-mail]