考虑土拱效应的非垂直刚性挡墙主动土压力

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考虑土拱效应的非垂直刚性挡墙主动土压力

孙文君， 宋　杨， 王学民， 王蓉蓉， 杨鹏志

(河北水利电力学院， 河北 沧州　061001)

[摘　要] 为研究非垂直刚性挡墙的主动土压力计算方法，根据土拱效应原理、微分水平层法以及水平向静力平衡条件，得到了平移模式下非垂直刚性挡土墙墙后填土破裂角的计算式，并进一步根据力与力矩平衡条件获得了平移模式下非垂直刚性挡土墙墙后主动土压力、合力及其作用点等的计算式。通过计算对各种特殊情况下的破裂角和主动土压力进行分析，讨论了墙背倾角、墙土摩擦角等对破裂角、法向主动土压力系数、法向主动土压力和主动土压力合力作用点高度等的影响。该研究可为非垂直墙背的支挡结构设计中的主动土压力计算提供更为合理的理论支持。

[关键词] 土拱效应； 非垂直刚性挡土墙； 法向主动土压力； 应力莫尔圆； 破裂角

1　概述

铁路、公路、房建、港口工程的挡土墙墙背垂直的很多，但挡土墙墙背倾斜的实际工程也不少。而挡土墙设计中至关重要的问题是土压力大小和分布，其计算方法的合理性直接决定着挡土墙结构的稳定和安全。

经典的朗肯和库仑土压力理论虽然力学概念明确、计算公式简单[1]，但因未考虑墙后土体的土拱效应，以及无法真实反应土的位移模式等诸多因素，得到的土压力均沿墙高呈线性分布，与试验结果所体现的非线性分布不符[2，3]。一部分学者用微分水平层法进行研究，求得的土压力虽与实际的非线性分布情况较为接近[1，4]，但计算中采用的破裂角是由朗肯或库仑理论获得，不能直接通过水平层法得到，理论上存在不合理性。另一部分学者[5～10]在平移模式下考虑了土拱效应，所得的土压力也能较好地贴近实际，但在理论上依然存在沿用经典理论求取破裂角而非直接计算的不足。针对这一问题，文献[11、12]在墙背主动土压力分析中更为合理地考虑了土拱效应，取得了不错的进展。

上述文献都是针对墙背垂直、填土表面水平的刚性挡墙墙背土压力进行研究，而在公路、铁路工程中，非垂直墙背的挡墙结构是十分常见的。对于非垂直墙背刚性挡墙结构的土压力该如何计算，怎样合理地考虑土拱效应和破裂角的取值问题，目前尚未见相关研究报道。章瑞文和徐日庆[11]利用墙背和滑面两处土体在极限状态下的应力，以及水平微分层单元的静力平衡条件，获得了破裂角和主动土压力计算式，思路清晰且简单实用，无需考虑墙面与滑裂面之间土体应力的具体大小，其主动土压力分布与实测值吻合较好。本文在该方法的基础上，对平移模式下的非垂直墙背主动土压力进行理论分析，根据土拱效应和水平层分析法得到主动土压力系数计算公式，并进一步得到主动土压力分布、土压力合力及其作用点的理论计算公式。

2　主动土压力分析

2.1　模型分析

设墙背倾斜、填土为无粘性土、填土面水平的刚性挡土墙，在墙体背离土体平移模式下，墙后土体达到极限平衡状态时产生滑动面AB和BC，取墙顶以下y处的水平微元滑裂体进行受力分析，如图1所示。挡土墙高H(m)，填土表面均布荷载q(kN/m2)，破裂角θ，填土容重为γ(kN/m3)，填土内摩擦φ，墙背倾角η(0≤η≤ηcr)，墙土界面摩擦角δ(0≤δ≤φ)，ηcr为不出现第二滑裂面的极限墙背倾角。根据土拱效应原理，处在主动极限状态下的滑裂体内土体小主应力的方向不再是水平方向了，而是发生偏转。在平移模式下，水平微元滑裂体上下表面无剪力(即剪应力之和为零)，上下表面只受垂直力(即垂直应力之和)，那么水平微元滑裂体的受理情况如图1所示。

图1　微元滑裂体受力模型
Figure 1　Stress of differential element of sliding wedge

假定距离填土表面的同一深度处滑裂体任一点的主应力不变，那么就根据主动状态下的应力圆可以得到墙面、滑裂面处的应力，主动极限状态下墙面、滑裂面处土体的摩尔应力圆如图2所示。然后水平微分体在水平方向的静力平衡，就可得到滑裂面与水平面的倾角，然后根据水平层分析法就可得到墙背主动土压力了。

2.2　土应力分析

对墙面、滑裂面处距离填土面一定距离的微元滑裂体的应力状态如图2所示。

图2　滑裂体内土体的莫尔应力圆
Figure 2　The mohr’s stress circle of sliding soil

根据摩尔应力圆，可知微元滑裂体墙面处的法向应力σw：

(1)

式中：ψ为墙背处土体的最大主应力偏转角；σ1为最大主应力；Ka为朗肯主动土压力系数：

(2)

微元滑裂体墙面处的剪应力τw：

τw=σwtanδ

(3)

根据几何知识，可得墙背处主应力偏转角ψ：

(4)

微元滑裂体滑面处的法向应力σs：

(5)

微元滑裂体滑面上的剪应力τs：

(6)

2.3　破裂角

对填土面下y深度的水平微元滑裂体进行如图1的受力分析，由水平方向的静力平衡可得：

σw-τwtanη=σs-τscotθ

(7)

联立式(1)～式(7)，可得到滑裂面与水平方向的夹角，即破裂角：

(8)

2.4　法向主动土压力系数

由微元滑裂体在铅直方向的静力平衡，可得：

(9)

由微元滑裂体在E点的力矩平衡，可得：

(10)

联立式(7、9、10)，可得非垂直墙背的法向主动土压力系数Kwn：

(11)

式中：Kw为非垂直墙背的主动土压力系数：

Kw=

(12)

2.5　主动土压力

联立式(7、10)，可得：

(13)

式中

(14)

式中：破裂角θ按式(12)计算，本节后面的相同。

解微分方程(13)，可得垂直土压力：

(15)

把式(15)代入式(11)，可得墙背法向主动土压力：

(16)

由式(3、16)可得墙背的切应力:

(17)

对式(16)积分，可得墙背法向主动土压力合力：

(18)

式中：K为总法向主动土压力系数：

(19)

对式(17)积分：可得墙背主动切应力合力：

(20)

由式(18、20)可得墙背主动土压力合力：

(21)

由式(16)，可得侧向土压力相对于墙址的总弯矩：

(22)

那么由式(18)和式(22)，可得法向土压力合力的作用点相对墙基的高度：

(23)

根据式(16、18、20、22、23)就可以进行支挡结构的设计了。

3　讨论

3.1　墙面垂直且光滑的情况

令式(8、11、12、18、19、23)中的δ=η=q=0，则可得到的主动破裂角、法向主动土压力系数、(总)主动土压力系数、法向主动土压力合力及其作用点高度即为朗肯主动破裂角[1]、朗肯主动土压力系数[1]、朗肯主动土压力合力[1]、朗肯主动土压力作用点高度[1]等。

3.2　墙面光滑的情况

令式(8)中的δ=0，则可得到墙面光滑且垂直的主动破裂角为θ=π/4+φ/2，这与朗肯主动破裂角相同。

令式(11、12、18、19)中的δ=0，并用π/4+φ/2替换θ，可得(总)法向主动土压力系数、主动土压力系数为：

(24)

3.3　墙面垂直的情况

令式(8)中的(即η=0)，可到墙面垂直的主动破裂角为：

(25)

当墙面垂直(即η=0)时，法向主动土压力系数：

(26)

当墙面垂直(即η=0)时，总法向主动土压力系数：

(27)

以上式(25)～式(27)与章瑞文和徐日庆[11]的成果相符。

4　影响因素分析

4.1　主动破裂角

图3和图4给出了由式(8)而来的主动破裂角随填土内摩擦角、墙土摩擦角和墙背倾角的变化图。从图3和图4可以看出：主动破裂角随填土摩擦角的增大而增大、随墙背倾角的增大而减小；除墙土摩擦角接近内摩擦角外，主动破裂角随内摩擦角的增加而增加；主动破裂角的取值范围为[0，90°-η]。主动破裂角随填土摩擦角在[0，φ]内增大而在[0，90°-η]内增大。

图3　滑裂面倾角随φ、δ的变化
Figure 3　Change of the active failure angle with the wall-soil friction angle and internal friction angle

图4　滑裂面倾角随η的变化
Figure 4　Change of the active failure angle with the inclined angle of wall back

4.2　主动土压力系数

图5和图6给出了由式(11)而来的法向主动土压力系数随填土内摩擦角、墙土摩擦角和墙背倾角的变化图。从图5和6可以看出：法向主动土压力系数随墙土摩擦角增大而增大，分别随墙背倾角、填土内摩擦角的增大而减小；法向主动土压力系数随填土内摩擦角的增幅随墙土摩擦角的增大而增大，随墙背倾角的增大而几乎不变。同理，主动土压力系数也随墙土摩擦角增大而增大，随墙背倾角的增加而减小，随内摩擦角的增大而减小。

图5　主动土压力系数随φ、δ的变化
Figure 5　Change of the coefficient of active earth pressure with the angle of wall friction and internal friction angle

图6　主动土压力系数随η的变化
Figure 6　Change of the coefficient of active earth pressure with the inclined angle of wall back

4.3　主动土压力

图7～图10给出了由式(16)而来的相对法向主动土压力分布随墙土摩擦角、墙背倾角、填土内摩擦角沿相对高度的变化图。

从图7～图10可以看出：法向主动主动土压力分布呈在墙顶和墙址处为零而在墙中下部最大的非线性分布；法向主动土压力在墙上部随墙背倾角增大而减小，减幅较小，但在墙下部随墙背倾角的增大而增大，且增幅较大；法向主动土压力随填土内摩擦角的增大而减小，且减幅随距墙顶的深度而增加，但在墙址附近的减幅确实减小；法向主动土压力在墙上部随墙土摩擦角的增大而增大，但在墙下部却随墙土摩擦角的增大而减小；同理，主动土压力也有法向的类似规律。

图7　法向主动土压力随墙土摩擦角的变化
Figure 7　Change of the normal active earth pressure with the wall-soil friction angle

图8　法向主动土压力随墙背倾角的变化
Figure 8　Change of the normal active earth pressure with the inclined angle of wall back

图9　法向主动土压力随填土内摩擦角的变化
Figure 9　Change of the normal active earth force with the internal friction angle of backfill

图10　主动土压力随墙背倾角的变化
Figure 10　Change of the active earth pressure with the inclined angle of wall back

进一步对图7～图10进行分析可知：主动土压力合力分别随墙土摩擦角、墙背倾角的增大而增大，随填土内摩擦角的增大而增大。

4.4　主动土压力合力作用点高度

图11和图12给出了由式(23)而来的墙背主动土压力合力作用点相对高度随填土内摩擦角、墙土摩擦角、墙背倾角沿相对高度的变化图。从图11

图11　主动土压力合力作用点高度随墙土摩擦角的变化
Figure 11　Change of the application height the active earth force with the wall-soil friction angle

图12　主动土压力合力作用点高度随墙背倾角的变化
Figure 12　Change of the application height the active earth force with the inclined angle of wall back

和图12可以看出：墙背主动土压力合力作用点高度随墙土摩擦角增大而增大，随墙背倾角的增大而减小；当墙背倾角不小于6°(即η≥6°)时，墙背主动土压力合力作用点高度随填土内摩擦角的增大而减小；当0°η<>

5　结语

① 根据主动状态下的摩尔应力圆得到了墙面、滑裂面处的应力，以及平移模式下水平微分滑裂体的受力特点，由水平方向的静力平衡得到了主动状态下的破裂角，因而由静力、力矩平衡得到了主动土压系数、主动土压力及其合理作用点高度。

② 破裂角随填土摩擦角在[0，φ]内增大而在[0，90°-η]内增大，随墙背倾角而减小，除墙土摩擦角接近内摩擦角外随内摩擦角增加而增加。

③ 法向主动土压力系数随墙土摩擦角增大而增大，随墙背倾角的增加而减小，随填土内摩擦角的增大而减小。

④ (法向)主动土压力随墙背倾角的增大而增大，随填土内摩擦角的增大而增大；在墙上部随墙土摩擦角的增大而增大，但在墙下部却随墙土摩擦角的增大而减小；主动土压力合力分别随墙土摩擦角、墙背倾角的增大而增大，随填土内摩擦角的增大而增大。

⑤ 墙背主动土压力合力作用点高度随墙土摩擦角增大而增大，随墙背倾角的增大而减小；在墙背倾角不小于6°时随填土内摩擦角的增大而减小但在0°η<>

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Active Earth Pressure for Non-vertical Rigid Retaining Wall Considering Soil Arching Effect

SUN Wenjun， SONG Yang， WANG Xuemin， WANG Rongrong， YANG Pengzhi

(Hebei Institute of Hydraulic and Electrical Engineering， Cangzhou， Hebei 061001， China)

[Abstract] Active earth pressure for non-vertical rigid retaining wall is studied.Considering soil arching effect，according to differential level layer method and horizontal static equilibrium，a new formula of the inclinations of sliding surface behind the inclined rigid retaining wall is obtained under translation mode.Then according to static and moment equilibrium，a new expression of the active earth pressure were derived，and those of the active earth force and the height of application of its is also putted forward.The special solutions of the failure angle and the active normal earth pressure are discussed under various boundary conditions.In addition，the effects of the inclination of wall-back surface，the internal friction angle of backfill and the wall-soil friction angle on the failure angle，the active normal earth pressure and its coefficient，and application height the active earth force is investigated.This study can provide a more reasonable theoretical support for the design calculation of the active earth pressure against the non-vertical rigid retaining structures.

[Key words] soil arching effect； non-vertical rigid retaining wall； active normal earth pressure； mohr’s stress circle； failure angle； application height the active earth force

[收稿日期] 2015-12-09

[基金项目] 河北省高等学校科学技术研究青年基金项目(QN2014149)；河北省教育厅青年基金项目(QN2015036)；河北省水利科研和推广计划项目(2015049)

[作者简介] 孙文君(1982-)，男，河北沧州人，硕士，讲师，主要从事岩土力学与工程方面的科研及教学工作。

[中图分类号] U 471.1+1　　

[文献标识码] A　

[文章编号] 1674-0610(2016)03-0106-05