【原】感受数学，人们日常生活中的函数问题

中考数学宝典 2020-09-03

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众所周知数学是一门研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门学科。数学在人类历史发展和社会生活中，发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。

数学不是凭空产生，人类认识和发现数学最早来自于实践，如生产和生活中充满着很多数学事实。在古代发展的最初阶段，由于人类日常生活与生产实践中的需要，就产生了最简单的自然数的概念。之后自然数不足以解决生活和生产中常见的分份问题，因此数的概念进行第一次扩张，得到分数。分数是对另一种类型的量的分割而产生的。这已有的文献可以得到很好证明，如约公元前2000年流传下来的古埃及莱茵德纸草书，就记载有关于分数的计算方法；中国殷代遗留下来的甲骨文中也有很多自然数，最大的数字是三万，并且全部是应用十进位制的位置计数法。

从这里我们就可以看出，数学的产生最早来自于人们最基本的生活方式，遍布衣、食、住、行等各方面。随着人类文明不断进步，经济等社会各方面全方面，数学生活化，生活数学化越来越明显。现在的社会发展越来越需要人们掌握和运用的数学知识、思想和方法，去解决生活实际当中一些问题。

函数是很多人最怕的数学知识之一，难学，逻辑性非常强，而且还会用到数形结合等数学思想。在日常生活中，我们已经离不开函数，如出租车、火车站、加油站、电信局等，都需要运用函数知识去解决大量问题；在物理、化学、生物、地理等学科中，函数也起着重要作用。

函数最大特点就是研究变量之间的关系，恰恰我们生活的世界就是一个变化多端的世界，这些都可以通过建立变量关系，用函数模型来解决。同时函数思想是研究问题的重要思想，也是一种重要观念，今天我们就来讲讲一些，在生活各方面中蕴含函数思想的实际例子。

生活例子1：

“世界那么大，我想去看看”一句话红遍网络，骑自行车旅行越来越受到人们的喜爱，各种品牌的山地自行车相继投放市场．顺风车行经营的A型车2015年6月份销售总额为3.2万元，今年经过改造升级后A型车每辆销售价比去年增加400元，若今年6月份与去年6月份卖出的A型车数量相同，则今年6月份A型车销售总额将比去年6月份销售总额增加25%．

（1）求今年6月份A型车每辆销售价多少元（用列方程的方法解答）；

（2）该车行计划7月份新进一批A型车和B型车共50辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A、B两种型号车的进货和销售价格如表：

题干分析：

（1）设去年A型车每辆x元，那么今年每辆（x+400）元，列出方程即可解决问题；

（2）设今年7月份进A型车m辆，则B型车（50﹣m）辆，获得的总利润为y元，先求出m的范围，构建一次函数，利用函数性质解决问题。

解题反思：

不同考查一次函数的应用、分式方程等知识，解题的关键是设未知数列出方程解决问题，注意分式方程必须检验，学会构建一次函数，利用一次函数性质解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型。

生活例子2：

九年级（3）班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天（1≤x≤90，且x为整数）的售价与销售量的相关信息如下．已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y（单位：元/件），每天的销售量为p（单位：件），每天的销售利润为w（单位：元）．

考点分析：

二次函数的应用；一元一次不等式的应用。

题干分析：

（1）当0≤x≤50时，设商品的售价y与时间x的函数关系式为y=kx+b，由点的坐标利用待定系数法即可求出此时y关于x的函数关系式，根据图形可得出当50＜x≤90时，y=90．再结合给定表格，设每天的销售量p与时间x的函数关系式为p=mx+n，套入数据利用待定系数法即可求出p关于x的函数关系式，根据销售利润=单件利润×销售数量即可得出w关于x的函数关系式；

（2）根据w关于x的函数关系式，分段考虑其最值问题．当0≤x≤50时，结合二次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值；当50＜x≤90时，根据一次函数的性质即可求出在此范围内w的最大值，两个最大值作比较即可得出结论；

（3）令w≥5600，可得出关于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，由此即可得出结论。