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今天分享一道证明两线段相等的题目，这道题目来自《初等几何四种》一书（非常著名的一本几何学的书籍，作者许莼航）。 如图圆有一四边形ABCD,四边形对角线AC,BD相交于E点且相互垂直，现在过E作GF垂直CD交CD 于F，交AB 于G点，证明AG=BG 这是一道将圆，四变形，三角形揉在一起的一道题，圆内嵌四边形和三角形，会有更多的性质隐藏其中，这就需要我们能够很容易看出来，但是这道题目并不复杂。 这道题我们可以先从结论开始倒推。 因为?AEB为直角三角形，AG=BG，则G为斜边中点，所以AG=GE=BG。 所以如果证明?AGE, ?BGE为等腰三角形，则就可以得出AG=BG。 那么如何证明AG=GE呢？ 边相等，则对应角也相等。所以需要证明∠GAE=∠AEG 由于∠AEG=∠CEF 而?CEF 相似于?CDE 所以∠CEF=∠CDB 所以现在有∠AEG=∠CDB 而要证明∠GAE=∠AEG， 也就是所以也要证明∠GAE=∠CDB 审视∠GAE(∠BAC)和∠CDB，他们对应圆的弦为BC，所以∠GAE=∠CDB。 所以即可得出我们要的结论。 重新梳理证明过程如下： EF垂直CD，AC垂直于BD 所以?CEF 相似于?CDE 所以∠CEF=∠CDB 又∠CEF=∠AEG 弦BC对应的圆周角∠BAC=∠CDB, ∠BAC=∠GAE 所以∠AEG=∠GAE 所以AG=GE 接下来证明BG=GE，方法相同，感兴趣的同学可以在心中过一遍哦，我就不在这里重复了。 |
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