试题内容
如图，△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BD，满足BD⊥AD，延长ED交BC于点F.
求证：F为BC的中点.
解法分析
条件的初步加工
1.根据SAS证明△BAD≅△CAE，
所以：BD=CE，∠AEC=90°，
2.∠1=∠2=30°.
方法1：平行线+全等三角形
过点B作EC的平行线，交EF的延长线于点G，
1.根据“两直线平行，内错角相等”证明∠G=30°；
2.△BDG是等腰三角形，所以BG=BD=CE；
3.根据AAS/ASA证明△BFG≅△CFE，
进而证明：F为BC的中点.
方法2：平行线+全等三角形
过点C作BD的平行线，交EF的延长线于点G，
1.根据“两直线平行，内错角相等”证明∠G=30°；
2.△ECG是等腰三角形，所以CG=CE=BD；
3.根据AAS/ASA证明△BFD≅△CFG，
进而证明：F为BC的中点.
方法3：截长补短+全等三角形
延长EF至点G，使DG=EF，
1.根据SAS证明△BDG≅△CEF，
所以BG=CF，∠1=∠2=∠3；
2.△FBG是等腰三角形，所以BF=BG=CF，
进而证明：F为BC的中点.
方法4：截长补短+全等三角形
在EF上截取EG=DF，
1.根据SAS证明△BDF≅△CEG，
所以BF=CG，∠1=∠2；
2.△FCG是等腰三角形，所以CF=CG=BF，
进而证明：F为BC的中点.
方法5：轴对称+平行四边形
作点B关于EF的对称点B'，
1.根据轴对称的性质得：
∠1=30°，BD=B'D，BF=B'F；
2.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明：四边形DECB'是平行四边形；
3.△B'FC是等腰三角形，所以CF=B'F=BF，
进而证明：F为BC的中点.
方法6：等边三角形+平行四边形
作点B关于EF的对称点B'，
延长EF交BB'于点G，
1.根据轴对称的性质得：
点G是BB'的中点，∠1=30°，BD=B'D；
2.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明：四边形DECB'是平行四边形，
进而证明EG∥B'C；
3.根据“平行线分线段成比例”证明：F为BC的中点.
方法7：轴对称+平行四边形
作点C关于EF的对称点C'，
1.根据轴对称的性质得：
∠1=30°，EC=EC'，FC=FC'；
2.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明：四边形DEC'B是平行四边形；
3.△BFC'是等腰三角形，所以BF=C'F=CF，
进而证明：F为BC的中点.
方法8：等边三角形+平行四边形
作点C关于EF的对称点C'，CC'交EF于点G，
1.根据轴对称的性质得：点G是CC'的中点，∠1=30°，EC=EC'；
2.根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明：四边形BDEC'是平行四边形，进而证明EF∥BC'；
3.根据“平行线分线段成比例”证明：F为BC的中点.
方法9：隐圆
1.∠ABF+∠ADF=180°，
点A、B、F、D四点共圆；
2.根据“同弧所对的圆周角相等”证明：∠AFB=90°；
3.根据“三线合一”证明：F为BC的中点.
方法10：隐圆
1.∠AEF=∠ACF=60°，
点A、E、C、F四点共圆(AC为直径)；
2.根据“直径所对的圆周角是90°”证明：∠AFC=90°；
3.根据“三线合一”证明：F为BC的中点.
方法11：垂直+全等三角形
作CH⊥EF于点H，
作BG⊥EF交EF的延长线于点G，则BG∥CH，
1.根据AAS证明△BDG≅△CEH，所以BG=CH；
2.根据AAS/ASA证明△BGF≅△CHF，
进而证明：F为BC的中点.
方法12：垂直+相似三角形
作CH⊥EF于点H，
作BG⊥EF交EF的延长线于点G，
作AI⊥EF于点I，则DI=EI，
1.证明△AIE∼△EHC，
所以：EI:CH=AE:EC=k；
证明△AID∼△DGB，
所以：DI:BG=AD:DB=k；
进而证明：CH=BG；
2.根据AAS/ASA证明△BGF≅△CHF，
进而证明：F为BC的中点.
方法13：倍长线段
延长BD至点G，使GD=BD，连接CG，
1.△DHE和△CHG是相似的等腰三角形，
进而证明EF∥GC；
2.根据“平行线分线段成比例”证明：F为BC的中点.
方法14：A型相似
作FG∥BD交CD于点G，
作GH∥EC交DE于点H，
1.根据平行线的性质证明：∠1=∠2=30°，
进而证明：FG=HG；
2.证明△CFG∼△CBD，
所以：FG:BD=CG:CD=k；
证明△DHG∼△DEC，
所以：HG:EC=DG:DC=k；
进而证明：CG=DG；
3.根据“平行线分线段成比例”证明：F为BC的中点.
方法15：蝴蝶型相似
1.△AOE∼△FOC，△AOF∼△EOC，
2.同颜色的角度数相同，
进而证明∠AFC+∠AEC=180°；
所以：∠AFC=90°；
3.根据“三线合一”证明：F为BC的中点.
