考虑悬架影响的汽车操纵稳定性闭环系统Hopf分岔特性*

2016023

考虑悬架影响的汽车操纵稳定性闭环系统Hopf分岔特性*

魏道高1, 李莉莉1，王 鹏1, 蒋亦斌1, 潘之杰2

(1. 合肥工业大学机械与汽车工程学院，合肥 230009； 2. 浙江吉利汽车研究院有限公司,杭州 310052)

[摘要] 四轮转向增加了汽车高速转向行驶的稳定性，改善了低速时的转向操纵灵敏性。为了揭示悬置参数对四轮转向汽车转向行驶Hopf分岔特性的影响，为某型四轮转向汽车建立了考虑悬架影响的人-车-路闭环的汽车转向行驶系统动力学模型和运动微分方程，分析了车辆质心位置和悬架参数对系统分岔特性的影响。结果表明，随着质心的后移，汽车侧向速度、横摆角速度和车身侧倾角的自激振动幅值增大；随着悬架侧倾中心高度的减小，车身侧倾角自激振动幅值增大，而侧向速度和横摆角速度的振幅减小；悬架刚度增加能抑制系统发生自激侧倾振动。

关键词：操纵稳定性；闭环系统；Hopf分岔；极限环

前言

汽车操纵稳定性是其最主要的动力学性能之一，自上世纪30年代人们就开始关注汽车操纵稳定性的研究，目前其线性范围研究较为成熟[1-3]，非线性动力学分析方法成为热点，它能够较全面地反映车辆转向行驶的本质特性，避免了线性系统只取某一平衡点的邻域构建车辆行驶动力特性模型的局限性[4-5]。

汽车是多自由度的非线性系统，随着其行驶速度的提高，车辆转向行驶的非线性动力学行为变得更加明显，在工程实际中，显现出来的一系列问题也更加突出。国内外学者对其展开了深入的研究，取得了一系列成果。主要研究方法分为开环与闭环系统。

文献[6]中建立了前轮转向的2自由度汽车转向行驶平面开环模型，运用分岔理论对其动力学行为进行数值分析，发现随着车辆行驶速度和前轮转向角增加系统发生鞍-结分岔；文献[7]中建立了四轮转向的2自由度汽车转向行驶平面开环模型，运用共点轨迹的几何分析法并结合相平面法对汽车转向行驶稳定性进行了数值分析，结果表明，在极限工况下，系统除了发生鞍-结分岔，还会发生多种局部、全局分岔和极限环；文献[8]中考虑车辆纵向速度的变化，建立了3自由度的汽车转向行驶平面开环模型，对其进行数值分析，发现系统出现混沌运动。

文献[9]中研究了驾驶员参数对转向行驶稳定性的影响，提出了驾驶员参数在给定区间内变化时系统是否失稳的判别条件；文献[10]中建立了闭环系统模型，研究汽车和驾驶员参数对系统平面运动Hopf分岔和极限环数值特性的影响，分析了车速和通向混沌的关系。

综上研究，由于非线性计算的复杂性的系统模型多局限于平面模型，忽略了车身侧倾运动诱发侧翻，及侧倾运动和平面运动耦合的影响。而考虑车身侧倾的文献又多局限于簧上结构而忽略了悬架参数的影响。因此，本文中考虑悬架构建闭环系统动力学模型，通过定性分析判定系统Hopf分岔存在性和极限环的稳定性与侧倾失稳的临界车速；通过数值计算分析悬架参数和悬置参数对车辆稳定性的影响。

1 系统动力学模型建立

1.1 车辆动力学模型

本文中以某型四轮转向汽车作为样车，将其简化为3自由度力学模型，如图1所示。图中，O1为质心，O2为侧倾中心。建模时做如下假设：(1)后轮转向始终与前轮转向呈正比关系δr=kpδf(δf为前轮转角，δr为后轮转角，kp为前后轮转角比例系数)；(2)忽略悬架与转向系统结构特点的影响；(3)纵向速度为常量；(4)忽略车辆纵向动力学的影响。

图1 汽车3自由度转向行驶模型

基于以上力学模型和假设，建立该车辆3自由度动力学方程：

2Frcosδr

(1)

(2)

φφ

(3)

式中：m为整车质量；v为汽车横向速度；u为汽车纵向行驶速度；ω为横摆角速度；ms为簧上质量；Ff为前轮侧向力；Fr为后轮侧向力；Iz为整车绕横摆轴(Z)轴的转动惯量；a为质心到前轴的距离；b为质心到后轴的距离；Ix为整车绕侧倾轴(X)轴的转动惯量；φ为侧倾角；cφ为侧倾角阻尼；hs为簧上质量质心到侧倾轴线的距离，为簧上质量质心高度h与侧倾轴线高度hφ的差；kφ为侧倾角刚度。

前后悬架侧倾角刚度和线刚度的关系为

kφ

(4)

式中:ksf和ksr分别为前、后悬架线刚度；B为轮距。取后悬架线刚度为前悬架线刚度的1.5倍，即ksr=1.5ksf=1.5ks，ks为悬架线刚度，则kφ=1.25ksB2。

1.2 驾驶员模型

驾驶员的控制行为是影响闭环汽车操纵稳定性[11-12]的重要因素。目前驾驶员模型主要有补偿跟踪模型[13-14]、预瞄跟踪模型[15-16]和智能控制模型[17-18]等。简化的预瞄跟踪模型因便于仿真分析且精度较高而被广泛采用。因此本文中选用该模型，其表达式为

(5)

式中:L为驾驶员前方可视距离；Tr为视觉延迟；K为增益放大系数；用(x,y)表示车辆质心O1的水平位置，Ψ为车辆前进方向角，则

(6)

(7)

1.3 轮胎模型

汽车轮胎侧向力用魔术公式计算精度较高，但不能进行系统定性分析，而轮胎立方模型[19-20]能进行系统定性分析，该模型与魔术公式计算对比结果如图2所示。二者较接近，因此，本文中选用轮胎侧向力立方模型，对系统稳定性定性分析与数值计算，计算轮胎侧向力所需参数如表1所示。

图2 2种轮胎模型侧偏力与侧偏角关系曲线

表1 轮胎侧向力拟合参数

参数数值参数数值C1f(C1r)/(N·rad-1)33020C3f(C3r)/(N·rad-3)481770

轮胎侧向力立方模型为

(8)

(9)

其中：

(10)

(11)

式中：C1f，C3f，C1r和C3r为侧偏刚度系数；αf和αr分别为前、后轮侧偏角。

2 样车Hopf分岔特性定性分析

汽车操纵稳定性非线性动力学特性分析，主要分为开环和闭环系统两方面研究，开环系统汽车转向失稳时主要表现为鞍-结分岔，倍周期和混沌行为。考虑驾驶员的闭环系统在忽略路面激励的情况下汽车转向失稳时可能出现Hopf分岔，本文中对第1节建立操纵稳定性闭环自治系统进行Hopf分岔特性分析。寻找样车发生Hopf分岔的临界车速和关键的车辆性能参数对该分岔的影响。应用文献[21]判定该系统是否发生Hopf分岔，并寻找速度分岔值，系统参数如表2所示。

表2 系统参数

参数数值参数数值m/kg1704 7Iz/(kg·m2)3048 1ms/kg1526 9Ix/(kg·m2)744kp0 3c?/(N·m·s·rad-1)5476ksf/(N·mm)26a/m1 035b/m1 655h/m0 542h?/m0 087B/m1 535

2.1 系统Hopf分岔判定

令X=(φ,,将系统方程式(1)～式(11)写为状态方程，令求得系统平衡点为(0,0,0,0,0,0,0)T。平衡点处Jacobi矩阵为

(12)

其中：

；

令式(12)的特征方程为

(13)

式中：n为矩阵A(u)的特征向量。

根据Hopf代数判据[21-22]，特征方程式(13)有一对纯虚根，且其余5个根均具有负实部的充分必要条件为fi(u)>0(i=0,1,…,7)，且Δi>0(i=2,4)，Δ6=0，Δi为式(13)的Hurwitz行列式。

将表2中数据代入式(12)和式(13)，获得满足判据条件的含10个不等式和1个等式的方程组：

(14)

求解式(14)，获得系统发生Hopf的临界车速uc=31.63310928m/s。将uc带入式(12)，得A(uc)=

计算Jacobi矩阵A(uc)的特征根如表3所示。

表3 矩阵A(uc)的特征根

特征根数值n10+4 514670491in20-4 514670491in3-3 369272755+6 863871323in4-3 369272755-6 863871323in5-7 693928117+12 285213371in6-7 693928117-12 285213371in7-0 6467247445

XL和XR分别为矩阵A(uc)对应特征值4.514670491i的左特征矢量和右特征矢量：

令u=uc，将系统参数代入其中可得

M=

则Jacobi矩阵A(u)的纯虚根对应的特征根在uc处关于u的导数n′(uc)=XLMXR=-0.4780389881+0.7406790501i,Re(n′(uc))=-0.4780389881≠0,所以该动力学系统在u=uc处发生Hopf分岔。

2.2 系统Hopf分岔稳定性分析

由上面Hopf分岔代数判别计算可知，该系统在临界车速工况下，在平衡点发生了Hopf分岔，产生的极限环稳定性根据文献[22]中Hopf分岔稳定性判据， 令

其中：

，

，

，

，

=

式中:iv0为系统在平衡点处的纯虚根；O为零矩阵或零向量；i=1,2，…，7。

如果Re(β)>0，则分叉周期解为轨道渐进稳定的；如果Re(β)<>

计算得β=897.1630625+1156.845412i，Re(β)=897.1630625>0，所以系统发生超临界Hopf分叉，周期解为轨道渐进稳定的，表现为稳定极限环。

3 Hopf分岔特性数值计算与分析

由以上定性分析可知，样车系统在临界车速处发生超临界Hopf分岔，即系统发生蛇行运动。因此，基于以上建立的车辆操纵稳定性系统运动微分方程，运用四阶Runge-Kutta法进行数值求解，计算车辆质心与侧倾中心参数对系统产生的极限环特性的影响。

3.1 线性模型稳定性计算

为研究样车稳态行驶时的转向特性，本文中以车辆四轮转向时稳态横摆角速度增益为评价指标进行稳定性分析。将样车简化为单轨线性模型，求得其横摆角速度增益数学表达式为

(15)

其中

(16)

式中:La+b为轴距；K0为稳定性因数；k1和k2分别为前后轮侧偏刚度。由表2和式(16)算得K0=0.0036s2/m2。

由表2和式(15)计算得横摆角速度增益曲线如图3中实线所示。

图3 样车稳态横摆角速度增益曲线

由图3可见，样车稳态转向特性具有不足转向，且该曲线落在美国试验安全车(ESV)稳态横摆角速度增益的满意区域内。

3.2 操稳分岔特性计算

为研究车辆行驶速度对其操纵稳定性能的影响，本文中以车辆前进速度为分岔参数，进行分岔特性分析。得到车辆横摆角速度ω与车速u的分岔图，如图4所示。

图4 车辆ω-u分岔图

由图4可得，随着车速u的增大，车辆系统发生了Hopf分岔，其临界车速为31.5m/s，与第2节定性分析结果接近。在车速u=20～31.5m/s的范围内，横摆角速度ω幅值近似为零，车辆行驶状态趋于稳定，未发生蛇行运动。在车速u=31.5～60m/s的范围内，车辆横摆角速度ω幅值先增大后减小，最后趋于稳定，车辆表现为蛇行运动特性。

3.3 质心位置和悬架主要参数的影响

为了研究样车质心的纵向位置对系统操纵稳定性的影响，取车速u为40m/s时，保持轴距La+b不变，分别改变质心前后位置、悬架侧倾中心高度和悬架垂直刚度，计算系统变量响应变化趋势，计算结果如图5～图7和表4所示。

图5 不同样车质心纵向位置的相轨迹图

3.4 计算结果与分析

由图5～图7和表4可得，保持轴距La+b不变，随着质心到前轴的距离a的增大、质心到后轴的距离b减小，汽车侧向速度v，横摆角速度ω和车身侧倾角φ的自激振动极限环幅值呈增大的趋势；随着悬架侧倾中心高度hφ的减小，汽车侧向速度v和横摆角速度ω的自激振动极限环幅值呈减小的趋势，车身侧倾角φ的自激振动极限环幅值呈增大的趋势；随着悬架线刚度ks的增大，汽车侧向速度v和横摆角速度ω的自激振动极限环幅值有轻微增大的趋势，车身侧倾角φ的自激振动极限环幅值呈减小的趋势。

图6 不同悬架侧倾中心的相轨迹图

图7 不同悬架刚度的相轨迹图

表4 极限环的幅值

参数a=1 035mb=1 655ma=1 085mb=1 605ma=1 135mb=1 555mh?=0 087mh?=-0 013mh?=-0 113mks=26N·mks=36N·mks=46N·mv/(m·s-1)0 760 941 080 760 690 590 820 880 91ω/((°)·s-1)10 1611 6212 510 169 478 5212 2012 2112 23?/(°)2 653 113 372 653 043 253 562 541 95

4 结论

(1)运用Hopf分岔定理判定考虑悬架的人-车-路闭环操纵稳定性系统发生了超临界Hopf分岔，通过数值计算方法获取系统分岔的临界车速为31.6m/s，车辆系统发生了蛇行运动。

(2)随着悬架侧倾中心高度hφ的减小，车身侧倾角φ的自激振动极限环幅值呈增大的趋势，而汽车侧向速度v和横摆角速度ω的自激振动极限环幅值呈减小的趋势；随悬架线刚度ks的增大，汽车侧向速度v和横摆角速度ω的自激振动极限环幅值有轻微增大的趋势，车身侧倾角φ的自激振动极限环幅值呈减小的趋势，而自激振动的频率基本不变。

(3)今后拟进一步研究悬架参数与悬置参数匹配对系统Hopf分岔和车辆失稳影响。

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Hopf Bifurcation Characteristics of Closed-loop System for Vehicle Handling Stability Considering the Effects of Suspension

Wei Daogao1, Li Lili1, Wang Peng1, Jiang Yibin1 & Pan Zhijie2

1. School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009; 2. Zhejiang Geely Automobile Institute Co., Ltd., Hangzhou 310052

[Abstract] Four-wheel-steering (4WS) system can improve the driving stability of vehicle in high speed cornering and ensure the easy handling of steering in low speed. For revealing the influence of suspension parameters on the Hopf bifurcation characteristics of 4WS vehicle in cornering driving, a driver-vehicle-road closed-loop dynamics model and a set of kinematic differential equations for a 4WS vehicle are established with consideration of the effects of suspension, and the effects of the location of vehicle mass center and the parameters of suspension on Hopf bifurcation characteristics are analyzed. The results show that as the mass center move rearward, the lateral speed and yaw rate of vehicle and the amplitudes of the self-excited roll vibration of vehicle body tend to increase. As the height of suspension roll center reduces, the amplitudes of self-excited roll vibration increase while the vibration amplitudes of lateral speed and yaw rate decrease. The increase of suspension stiffness can restrain self-excited roll vibration.

Keywords：handling stability； closed-loop system； Hopf bifurcation； limit cycle

*国家自然科学基金(51375130和51050002)资助。

原稿收到日期为2014年4月1日，修改稿收到日期为2014年11月19日。