初中数学：求凸多边形的边数

凸多边形的边数与顶点数、内角和、外角和、对角线条数都有着相依的关系，分析这些关系，便可确定边数。

例1、如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，求原来多边形的边数。

分析：设原来多边形的边数为n，那么边数增加1倍后的多边形边数为2n，内角和为，由题意得：

解得：

故原多边形的边数是7。

 

例2、两个多边形，边数的比为1：2，内角和度数的比为1：3，求这两个多边形的边数。

分析：设两个多边形的边数分别为n，2n由多边形内角和定理，可求得两个多边形的内角和分别为

由题意，得：

解得：

所以这两个多边形的边数分别为4，8。

 

例3、如果一个多边形的每一个外角都等于36°，那么这个多边形的边数是________。

分析：若设多边形的边数为n，则这个多边形有n个外角，由题设知每个外角都等于36°，从而求得多边形的外角和是n·36°，因为任意多边形的外角和等于360°。

所以得方程 ，解得。

故得这个多边形的边数是10。

 

例4、若一个多边形的每一个内角都是钝角，则这样的多边形边数最少是一个（    ）边形。

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

分析：多边形的内角与它相邻的一个外角互为邻补角。由题设知，多边形的每一个内角都是钝角，所以其每一个外角都是锐角。而多边形的外角和恒等于360°，4个锐角的和小于360°，至少5个或5个以上锐角的和才可能等于360°，如正五边形，故选A。

 

例5、已知一个多边形的外角和等于内角和的三分之一，求这个多边形的边数。

解：设多边形的边数为n，则这个多边形的内角和是，而外角和是

由题意，得  

解之，得  

答：这个多边形的边数是8。

 

例6、已知多边形的边数恰好是从这个多边形的一个顶点出发的对角线条数的2倍，求此多边形的边数与内角和。

分析：设此多边形的边数是n，则从这个多边形的一个顶点出发的对角线共有条，根据题意，得方程

解得 

当时，

故此多边形是六边形，其内角和是720°。

 

例7、过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成5个三角形，则此多边形是___________边形。

分析：设此多边形的边数是n，则从n边形的一个顶点可引条对角线，这条对角线把n边形分成了个三角形

根据题意，得 

解得 

所以此多边形是七边形。

 

例8、已知一个多边形的对角线共有35条，这个多边形是几边形？

分析：设这个多边形是n边形，则n边形的对角线共有条

根据题意，得方程

化简，得 

解之，得或应舍去。

故这个多边形是十边形。

 

例9、若一个多边形，除了一个内角外，它的余角各内角之和得2000°，求这个多边形的边数。

解：设这个多边形的边数是n，除去的这个内角是

由题意，得方程

化简，得 

因为，所以

所以 整数n＝14

答：这个多边形的边数是14。

 

例10、一个凸多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为660°，求这个多边形的边数。

解：设这个多边形的边数是n，其中一个内角为，则这个内角的补角是

根据题意，得：

化简整理，得：

由得：

所以  整数或6

答：这个多边形的边数是5或是6。