微分几何（Differential geometry）名词解释：Introduction to the mathematics of general relativity

《数学人Mathmann》译者：方建勇/浙江大学数学系98级毕业生

广义相对论数学介绍

广义相对论的数学是复杂的。 在牛顿的运动理论中，物体的长度和时间的速度在对象加速时保持不变，这意味着牛顿力学中的许多问题可以通过代数单独解决。 然而，在相对论中，物体的长度和时间通过的速率随着物体的速度接近光速而明显变化，意味着需要更多的变量和更复杂的数学来计算物体的运动。 因此，相对论需要使用诸如向量，张量，假传感器和曲线坐标之类的概念。

对于基于围绕大量的循环轨道的粒子的例子的介绍，分别给出了广义相对论的牛顿动机和广义相对论的理论动机的非相对论和相对论处理。

Vectors

一个典型的矢量插图。

在数学，物理学和工程学中，欧几里得矢量（有时称为几何[1]或空间矢量，[2]或 – 这里简单地是一个向量）是具有幅度（或长度）和方向。 一个向量是需要“携带”点A到点B; 拉丁字矢量是指“携带者”。[3] 向量的大小是两点之间的距离，方向指的是从A到B的位移方向。对于诸如加法，减法，乘法和否定等实数的许多代数运算具有类似于向量的操作， 遵循熟悉的交换性，关联性和分配性代数规律。

Tensors

压力，二阶张量。 压力在这里被显示为盒子两侧的一系列向量

张量将向量的概念扩展到附加维度。 标量，即没有方向的简单数字，将作为点，零维对象在图上显示。 具有幅度和方向的向量将作为一条线呈现在图形上，该线是一维对象。 张量将此概念扩展到附加尺寸。 二维张量称为二阶张量。 这可以被看作是一组相关的矢量，在平面上在多个方向上移动。

Applications

载体是物理科学的基础。它们可以用于表示具有幅度和方向的任何数量，例如速度，其幅度是速度。例如，向上5米/秒的速度可以由向量（0,5）表示（在2维中，正y轴为“向上”）。由向量表示的另一个量是力，因为它具有一个幅度和方向。矢量也描述了许多其他物理量，如位移，加速度，动量和角动量。诸如电场和磁场的其它物理矢量被表示为物理空间的每个点处的向量系统;也就是矢量场。

传感器在物理学方面也有广泛的应用：

电磁张力（或法拉第张量）电磁
用于描述连续力学中应变的变形和应变张量的有限变形张量
介电常数和电磁敏度是各向异性介质中的张量
广义相对论中的应力能量张量，用于表示动量通量
球面张量算子是球面坐标中量子角动量算子的本征函数
扩散张量是扩散张量成像的基础，代表生物环境中的扩散速率

Dimensions

在广义相对论中，需要四维向量或四向量。 这四个维度是长度，高度，宽度和时间。 在这种情况下，“点”将是一个事件，因为它具有位置和时间。 与向量相似，相对论的张量需要四个维度。 一个例子是黎曼曲率张量。

Coordinate transformation

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  矢量v用两个坐标网格ex和呃显示。 在太空中，没有明确的坐标网格可以使用。 这意味着坐标系根据观察者的位置和方向而改变。 此图像中的观察者ex和er面向不同的方向。

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  在这里我们看到，ex和呃看到矢量不同。矢量的方向是一样的。但是，从前，向量向左移动。呃，向量向右移动。

  在物理学以及数学中，通常使用元组或数字列表来识别向量，这取决于一些辅助坐标系或参考系。当坐标被变换时，例如通过坐标系的旋转或拉伸，矢量的分量也变换。矢量本身没有改变，但是参考帧具有，因此矢量的分量（或相对于参考帧拍摄的测量）必须改变以进行补偿。

  矢量被称为协变或逆变，取决于矢量的分量的变换如何与坐标变换相关。

  反变量向量是具有距离（例如位移）或距离乘以某个其他单位（例如速度或加速度）的单位的“正则向量”。例如，在将单位从米变为毫米时，1米的位移变为1000毫米。
  另一方面，协方差矢量具有一距离（通常为梯度）的单位。例如，在从米到毫米的情况下，1K / m的梯度变为0.001K / mm。

  在爱因斯坦表示法中，逆向载体和张量的分量用上标表示，例如xi，以及具有下标的张量的协变矢量和分量，例如。十一。指数通过乘以适当的矩阵，通常是单位矩阵“升高”或“降低”。

  坐标变换很重要，因为相对论说宇宙中没有一个正确的参考点。在地球上，我们使用在整个星球上使用的像北，东和海拔的尺寸。没有这样的空间系统。没有一个明确的参考网格，将四个维度描述为向左/向右，向左/向右，向上/向下和过去/未来变得更加准确。举个例子，签署“独立宣言”。对于雷尼尔山的现代观察者来说，这个事件向前，向右，向下和向前走。然而，对于中世纪英格兰北方的观察家来说，这个事件在后面，在左边，既不上升也不下降，在未来。事件本身没有改变，观察者的位置。

Oblique axes

斜坐标系是其中轴不一定彼此正交的系统; 也就是说，它们以非直角的角度相遇。 当使用如上所述的坐标变换时，与旧系统相比，新坐标系将经常看起来具有斜轴。

Nontensors

参见：伪传感器

非传感器是一个张量式的数量，在索引的提升和降低中表现得像张量，但是在坐标变换下，它不像张量那样变换。 例如，如果坐标不以线性方式改变，则Christoffel符号本身不能是张量。

在广义相对论中，人们不能用能量动量张量来描述重力场的能量和动量。 相反，一个引入仅在有限坐标变换方面表现为张量的对象。 严格来说，这样的对象根本不是张量。 这种假传感器的一个着名例子是Landau-Lifshitz假传感器。

Curvilinear coordinates and curved spacetime

由Cassini空间探测器（艺术家的印象）进行的广义相对论的高精度测试：由于太阳的质量，地球和探头之间发射的无线电信号（绿色波浪）被空间和时间的变形（蓝线）延迟。也就是说，太阳的质量导致规则的网格坐标系（蓝色）变形并具有曲率。然后，无线电波跟随该曲率并向太阳移动。

曲线坐标是坐标，轴之间的角度可以从点到点改变。这意味着，不是具有直线网格，而是具有曲率。

一个很好的例子就是地球表面。虽然地图经常将北，南，东，西描绘成一个简单的方形网格，但事实上并非如此。相反，南北方向的经度线弯曲，在北极相遇。这是因为地球不平坦，而是圆形。

在广义相对论中，重力对宇宙的四维有曲率效应。常见的类比是将重物放置在伸展的橡胶片上，导致片材向下弯曲。这样就可以绕着物体的坐标系曲线，就像宇宙中的一个对象曲线坐在它的坐标系统上。这里的数学概念上比地球上更复杂，因为它导致四维的曲线坐标而不是三维描述一个弯曲的2D表面。

Parallel transport

Main article: Parallel transport

示例：沿三维球的圆形平行位移，嵌入二维球。 将半径r的圆嵌入由坐标z1和z2表征的二维空间中。 圆形本身的特征在于二维空间中的坐标y1和y2。 圆本身是一维的，可以通过其弧长x来表征。 坐标y通过关系y1 = r cosx / r和y2 = rsinx / r与坐标x相关。 这给出?y1/?x= -sin x / r和?y2/?x= cos x / r在这种情况下，度量是标量，由g = cos2 x / r + sin2 x / r = 1给出。 间隔是ds2 = g dx2 = dx2。 间隔等于预期的弧长

The interval in a high-dimensional space

在欧氏空间中，两点之间的距离通过两点之间的距离来测量。 距离是纯粹的空间，总是积极的。 在时空中，两个事件之间的分离是通过两个事件之间的不变间隔来测量的，这不仅考虑了事件之间的空间间隔，而且考虑到它们的时间间隔。 两个事件之间的间隔s2定义为：

s 2 = Δ r 2 ? c 2 Δ t 2 {\displaystyle s^{2}=\Delta r^{2}-c^{2}\Delta t^{2}\,}      (spacetime interval),

其中c是光速，Δr和Δt分别表示事件之间的空间和时间坐标的差异。上述s2的符号选择符合类似空格的约定（+++）。像Δr2的符号表示（Δr）2。原因s2被称为间隔，而不是s，s2可以为正，零或负。

基于两个事件的时间间隔（c2Δt2）或空间分离（Δr2）是否更大，时间间隔可以分为三种不同的类型：时间样，类似于光或类似空间。

某些类型的世界线被称为时空的测地线 – 在Minkowski空间的情况下为直线，并且在广义相对论的弯曲时空中它们最接近等价物。在纯粹的时间路径的情况下，测地线是沿着两个事件之间的路径测量的（局部）最大间隔的路径（时间间隔），而在欧几里德空间和黎曼流形中，测地线是两点之间最短距离的路径[4] [5]大地测量学的概念在广义相对论中成为中心，因为测地运动可能被认为是时空中的“纯运动”（惯性运动），也就是说，没有任何外部影响。

The covariant derivative

主要文章：协变导数

协变导数是向量演算的方向导数的泛化。 与方向导数一样，协方差导数是一个规则，它将其作为输入：（1）在点P定义的向量u，（取其中的导数），以及（2）矢量场v ，在P的邻域中定义。输出也是在点P处的向量。与通常的方向导数的主要区别在于协变导数必须在一定的精确意义上独立于它的方式 在坐标系中表达。

Parallel transport

给定协变导数，可以定义从P开始的曲线γ处的点P处的向量v的平行传输。对于γ的每个点x，x的x的并行传输将是x的函数，并且可以 写为v（x），其中v（0）= v。函数v由沿着γ的v（x）的协方差导数为0的要求确定。这与常数函数为一的事实相似 其导数不断为0。

Christoffel symbols

主要文章：Christoffel符号

协方差导数的方程可以用Christoffel符号来表示。 克里斯托弗尔（Christoffel）的符号在爱因斯坦广义相对论中经常被使用，时空是由具有Levi-Civita连接的弯曲的四维洛伦兹流形表示的。 确定物质存在时空间几何的爱因斯坦场方程包含Ricci张量。 由于Ricci张量是从Riemann张量得出的，可以用Christoffel符号来表示，所以Christoffel符号的计算是至关重要的。 一旦几何确定，粒子和光束的路径通过求解Christoffel符号明确出现的测地方程来计算。

Geodesics

主要文章：广义相对论大地测量学

在广义相对论中，测地线将“直线”的概念概括为弯曲时空。 重要的是，没有所有外部非重力的粒子的世界线是一种特殊类型的测地线。 换句话说，自由移动或落下的粒子总是沿着测地线移动。

在广义相对论中，重力可以被认为不是力量，而是曲率时空几何形状的结果，其中曲率源是应力 – 能量张量（例如表示物质）。 因此，例如，围绕星星绕行星体的路径是围绕星形的弯曲的四维时空几何的测地线投影到三维空间上。

如果任何点处的曲线的切线矢量等于基点的切线向量的平行运动，则曲线是测地线。

Curvature tensor

主要文章：黎曼曲率张量

黎曼张量在数学上告诉我们，任何给定的空间区域有多少曲率。 收缩张量产生3种不同的数学对象：

黎曼曲率张量：Rρσμν，其给出关于空间的曲率的最多信息，并且由公制张量的导数导出。 在平坦空间中，该张量为零。
利玛窦张量：Rσν来自于爱因斯坦理论中只有2个指数的曲率张量的需要。 通过平均Riemann曲率张量的某些部分来获得。
标量曲率：R，最简单的曲率测量，为空间中的每个点分配一个标量值。 通过平均Ricci张量获得。

黎曼曲率张量可以用协变导数来表示。

爱因斯坦张量G是在伪黎曼流形上定义的二阶张量。 在无索引符号中，它被定义为

G = R ? 1 2 g R , {\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {g} R,}

其中R是Ricci张量，g是度量张量，R是标量曲率。 它用于爱因斯坦场方程。

Stress–energy tensor

Main article: Stress–energy tensor

应力能张量的逆变分量。

应力能量张量（有时是应力 – 能量动量张量或能量动量张量）是物理学中的张量，描述了时空的能量密度和通量以及动量，推广了牛顿物理学的应力张量。 它是物质，辐射和非重力场的属性。 应力能量张量是广义相对论的爱因斯坦场方程中的引力场的来源，正如质量密度是牛顿重力中这样一个场的来源一样。

Einstein equation

主要文章：爱因斯坦场方程

爱因斯坦场方程（EFE）或爱因斯坦方程是爱因斯坦一般相对论中的10个方程组，其描述了由物质和能量弯曲的时空结果引力的基本相互作用。[6] 爱因斯坦1915年第一次作为张量方程出版，EFE将局部时空曲率（由爱因斯坦张量表示）与该时空内的局部能量和动量（由应力 – 能量张量表示）相等。[8]

爱因斯坦场方程可以写成

G μ ν = 8 π G c 4 T μ ν , {\displaystyle G_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu },}

where G_μν is the Einstein tensor and T_μν is the stress–energy tensor.

This implies that the curvature of space (represented by the Einstein tensor) is directly connected to the presence of matter and energy (represented by the stress–energy tensor).

Schwarzschild solution and black holes

主要文章：Schwarzschild度量

在爱因斯坦广义相对论中，Schwarzschild度量（Schwarzschild真空或Schwarzschild解）也是爱因斯坦场方程的一个解，它描述了球体质量外的重力场，假设质量的电荷，角质量的动量和宇宙宇宙常数都是零。该解决方案是描述缓慢旋转的天文物体（如许多恒星和行星，包括地球和太阳）的有用近似。该解决方案以Karl Schwarzschild命名，他在1916年首次发布了该解决方案。

根据Birkhoff定理，Schwarzschild度量是爱因斯坦场方程中最一般的球形对称的真空解。施瓦茨黑洞或静态黑洞是一个没有电荷或角度动量的黑洞。施瓦茨黑尔（Schwarzschild）黑洞由施瓦茨黑尔（Schwarzschild）度量描述，除了其质量之外，不能与任何其他施瓦茨黑德黑洞区别开来。