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著名物理学家惠勒用一句话来概括广义相对论：“物质告诉时空如何弯曲，时空告诉物质如何运动”，如果用数学语言来表述惠勒对广义相对论的解释，就得到如下所示的引力场方程：  图4-3-1：引力场方程（爱因斯坦方程） 引力场方程是个张量函数的微分方程。张量是矢量概念的推广。一个标量（比如温度T）只用一个数值来描述，三维空间的矢量（比如速度vi）需要用3个数（v1,v2,v3）来表示，因此速度矢量需要用用带一个下标i的vi表示。那么，如何表示一个张量呢？由图可见，引力场方程中的张量Rmn、gmn、Tmn等，都有两个指标，表明它们需要用更多的“分量”来描述，被称为2阶张量。并且，这些张量是4维时空的张量，指标mn等于（0,1,2,3）。指标0代表时间，空间维则仍然用（1,2,3）表示。  （图片来自网络） 如图4-3-1所示，引力场方程的左边与时空的几何性质有关，用度规张量和曲率张量来描述。曲率张量代表时空的曲率；度规张量类似于量度时空的尺子和钟。方程的右边与时空中的物质-能量分布情形有关，用能量动量张量来描述。引力场方程将时空的弯曲性质与物质能量的分布情况联系起来，也就是说，物质分布决定了时空的几何性质。 在给定的时空几何中，物质沿着时空的“短程线”（也称之为测地线）运动，测地线是平坦空间中直线概念在弯曲时空中的推广。换言之，牛顿将引力解释成“力”，爱因斯坦则是将引力几何化。比如说，在地球表面抛出的物体并不按照直线运动，而是按照抛物线运动。牛顿引力理论这样来解释：地球对物体的“引力”使得物体偏离了直线轨道；而广义相对论说，地球的质量造成了它周围空间的弯曲，抛射体不过是按照时空的弯曲情形运动而已。抛物线是弯曲时空中的“直线”，即测地线。  （图片来自网络） 不过，我们不用被图4-3-1中引力场方程复杂的表达式吓到，如果忽略张量的指标，它可以被表示成一个更为简单并方便理解的形式： R = 8pT （4-1） 公式（4-1）中的R代表时空弯曲（曲率），T代表物质（包括能量）。所以，引力场方程所表示的只不过是一句话：物质产生时空弯曲。实际上，曲率可以从度规张量算出，因此，（4-1）左边的R是度规的函数。求解引力场方程的目的也就是解出度规。 从爱因斯坦方程的弱场近似可以得到牛顿引力定律。考虑最简单的情况，场方程中只有与时间维（指标0）有关的那一项，比如说，曲率张量只有R00一项，能量动量张量只有普通物质（质量密度为r），这时候，场方程化简为：R00 = 4pr。这儿的R00可以进一步用牛顿理论中的引力势函数表示，从而得到牛顿的引力公式。 引力场方程（4-1）的解是用以描述时空几何性质的度规张量。度规就像是度量空间的一把尺子，还加上测定时间的“钟”。或者可以把它想象成解析几何中的坐标，这也就是为什么我们在解释时空弯曲时经常用类似坐标的“网格”来比喻的原因之一。因为所谓时空弯曲了，就是度规张量扭曲了，或坐标格子变形了，如图4-3-2右图所示。  图4-3-2：度规张量 从图4-3-2中很容易看出，度规张量告诉我们如何计算“时空”中的弧长，严格地说，是弧长的微分ds。这点使用欧几里德平直时空中的直角坐标系很容易办到，因为根据勾股定理，弧长ds就是直角三角形的斜边，它的平方就等于直角坐标系坐标微分的平方和，如图4-3-2中左图所示。但是，如果对于像球面那样的弯曲空间，弧长微分ds的计算就要复杂一些了，因为球面的度规表达式也变得复杂了。 另外，广义相对论中考虑的是“时空”的弧长ds，它表示的已经不仅仅是空间中的“距离”概念，四维时空中的时间和空间可以分别用实数和虚数表示。如果采取时间为实数的表示方式，这时候的“弧长”被称为“固有时”，通常不将它写成ds，而被记作dt。 在一定的简化情形下，四维时空的弧长微分dt与空间度规张量gij的关系可表示如下：   |
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