【课堂】奥数解析——自动扶梯问题

常见解题方法

1、人沿着电梯运动的方向行走，当然也可以不动，不管动与不动，此时电梯都是帮助人在行走，共同走过了电梯的可见级数：

　　（V人+V梯）×时间=电梯可见级数

2、人与电梯运动方向相反，此时人必须要走，而且速度要大于电梯的速度才能走到电梯的另一端。这种情况人走过的级数大于电梯的可见级数，电梯帮倒忙，抵消掉一部分人走的级数。

经典例题详解

例1、哥哥沿向上移动的自动扶梯从顶向下走,共走了100级;此时妹妹沿向上的自动扶梯从底向上走到顶,共走了50级.如果哥哥单位时间内走的级数是妹妹的2倍.那么,当自动扶梯静止时,自动扶梯能看到的部分有多少级?

解：由题可知，
设能看到的部分有n级，扶梯每秒移动p级，妹妹每秒走x级
则哥哥每秒走2x级
由题可列方程，
2x*n/(2x-p)=100……（1），

x*n/(p+x)=50……（2）
（1）/（2）：2(p+x)/(2x-p)=2
p+x=2x-p
x=2p
又由（1），所以

n=100*(2x-p)/2x=100*(4p-p)/4p=75级
所以自动扶梯能看见的部分有75级

   

例2、商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子嫌扶梯走得太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒钟向上走2个梯级，女孩每2秒向上走3个梯级。结果男孩用40秒钟到达，女孩用50秒钟到达。则当该扶梯静止时，可看到的扶梯级有？

解析：这是一个典型的行程问题的变型，总路程为“扶梯静止时可看到的扶梯级”，速度为“男孩或女孩每个单位向上运动的级数”，如果设电梯匀速时的速度为X，则可列方程如下，

（X+2）×40=（X+3/2）×50

解得 X=0.5 也即扶梯静止时可看到的扶梯级数=（2+0.5）×40=100

例3、甲步行上楼的速度是乙的2倍,一层到二层有一上行滚梯(自动扶梯)正在运行．二人从滚梯步行上楼，结果甲步行了２０级到达楼上，乙步行了１２级到达楼上．问这个滚梯共有多少级？

设滚梯长度为L，滚梯速度为X,甲速度为2Y,乙为Y,
则由题意得：
[L/(X+2Y)]*2Y=20 (1)
[L/(X+Y)]*Y=12 (2)
联立（1）（2）得:
X=4Y (3)
将（3）代入（1）或（2）得:
L=60.

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