有效数字修约与运算法则

摘自《商品混凝土生产与应用技术》

检测人员感到不解的是，既然有效数字表示一个数的准确度，为什么试验规定在确定结果的准确度时都是指明准确到小数第几位，而不是保留几个有效数字？实际上试验规程在说明准确到小数第几位时，也就指明了几位有效数字，因为对于具体的检测项目的试验结果，其有效数字位数是确定的。因此，有效数字理论在数字的准确度及进行有效数字运算时使很有用的。

（一）有效数字的基本概念

有效数字是指在检验工作中所能得到有实际意义的数值，其最后一位数字欠准是允许的，这种由可靠数字和最后一位不确定数字组成的数值，即为有效数字。有效数字的定位（数位），是指确定欠准数字的位置，这个位置确定后，其后面的数字均为无效数字。

例如，一支25mL的滴定管，其最小刻度为0.1mL，如果滴定管的体积介符于20.9mL到21.0mL之间，则需估计一位数字，读出20.97mL，这个7就是个欠准的数字，这个位置确定后，它有效位数就是4个，即使其后面还有数字也只是无效数字。

在没有小数位且以若干个零结尾的数值中，有效位数系指从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零（即仅为定位用的零））的个数。

例如：35000，若有两个无效零，则为三位有效位数，应写作350×10²或3.50×10⁴；若有三个无效零，则为两位有效位数，应写作35×10³或3.5×10⁴。

在其他10进位数中，有效数字系指从非零数字最左一位向右数而得到的位数，例如：3.2、 0.32、0.032和0.0032均为两位有效位数；0.320为三位有效位数；10.00为四位有效位数；12.490为五位有效位数。

非连续型数值：（如个数、分数、倍数）是没有欠准数字的，其有效位数可视为无限多位。例如，H₂SO₄中的2和4是个数。常数Л和系数等数值的有效位数可视为无限多位。每1mL某滴定液（0.1mol/L）中的0.1为名义浓度，规格项下的0.3g或：“1mL：25mg”中的“0.3”、“1”、“25”均为标示量，其有效位数，为无限多位。即在计算中，其有效位数应根据其他数值的最少有效位数而定。

（二）数字的修约及其取舍规则

（1）数字修约是指拟修约数值中超出需要保留位数时的舍弃，根据舍弃数来保留最后一位数或最后几位数。

（2）修约间隔是确定修约保留位数的一种方式，修约间隔的数值一经确定，修约值即应为该数值的整倍数。例如：指定修约间隔为0.1，修约值即应在0.1的整数倍中选取，也就是说，将数值修约到小数点后一位。

（3）确定修约位数的表达方式

1. 指定数位：

指定修约间隔为10^-n（n为正整数），或指明将数值修约到小数点后n位。

指定修约间隔为1，或指明将数值约到个数位。

指定将数值修约成n位有效位数（n为正整数）。

指定修约间隔为10ⁿ（n为正整数），或指明将数值修约到10ⁿ数位，或指明修约到“十” 、“百”、“千”数位。

指定将数值修约成n位有效位数（n为正整数）。

在相对标准偏差（RSD）的求算中，其有效数位应为其1/3值的首位（非零数字），故通常为百分位或千分位。

2. 进舍原则

①拟舍去数字的最左一位数字少于5时，则舍去，即保留的各位数字不变。例如，将12.1496，修约到一位小数（十分位），得12.1；将12.1496，修约到两位有效位数，得12。

②拟舍去数字的最左一位数字大于5时，或者是5，而后跟有并非全部为0的数字，则进一，即在保留的末位数字加1。

例1，将1268，修约到百数位，得13×10²。

例2，将1268，修约到十数位（即三位有效数字），得127×10。

例3，将10.502修约到个数位，得11。      

拟舍去数字的最左一位数字为5，而右面无数字或皆为0时，若所保留的末位数为奇数（1，3，5，7，9）则进一；为偶数（2，4，6，8，0）则舍弃（留双的原则）。

例1，将1.050按间隔为0.1（10^-1）修约，修约值为1.0。

例2，将0.350按间隔为0.1（10^-1）修约，修约值为0.4。

例3，将2500按间隔为1000（10³）修约，修约值为2×10³。

例4，将3500按间隔为1000（10³）修约，修约值为4×10³ 。

例5，将0.0325修约成两位有效位数，修约值为0.032或3.2×10^-2。

例6，将32500修约成两位有效位数，其修约值为32×10³。

③在相对偏差中，采用“只进不舍”的原则，如0.163%，为两个有效位时，宜修约为0.17%；0.52%，为一个有效位时，宜修约为0.6%。

④不许连续修约。

拟修约的数字应在确定修约位数后一次修约获得结果，不得多次按前面规则连续修约。

例如，15.4546，修约间隔为1；

正确的做法为：15.4546→15；

不正确的做法为：15.4546→15.455→15.46→15.5→16。

为了便于记忆，上述规则可归纳成以下口缺：四舍六入五考虑，五后非零则进一，五后全零看五前，五前偶舍奇进一，不论数字多少位，都要一次修约成（在英、美日药典中修约均是按四舍五入进舍的）。

3.  0.5单位修约与0.2单位修约

在对数值修约时，若有必要，也可采用0.5单位修约或0.2单位修约。

①0.5单位修约

0.5单位修约是指按指定修约间隔对拟修约的数值0.5单位进行修约。

0.5单位修约方法如下：将拟修约数值x乘以2，按指定修约间隔对2x以规定修约，所得数值（2x修约值）再除以2。

例如：将60.25修约到“个”数位的0.5单位修约。

60.25×2→120.50→120÷2→60.0。

对于5单位的修约依照0.5修约的方法进行，例如混凝土坍落度为183mm，采用5单位修约为：

183×2→366→370÷2→185mm。

②0.2单位修约

0.2单位修约是指按指定修约间隔对拟修约的数值0.2单位进行修约。

0.2单位修约方法如下：将拟修约数值x乘以5，按指定修约间隔对5x以规定修约，所得数值（5x修约值）再除以5。

例如：将830修约到“百”数位的0.2单位修约。

830×5→4150→4200÷5→840。