求解非特殊角的三角函数值是一类常见题型,这类问题一般不能直接运用三角函数表运算求出近似值,因此需要根据题设特点灵活采用相应的策略,现举例如下. 一、逆用公式 例1 计算sin47°cos17°+cos47°cos107°的值等于( ). (A)- (B) (C) (D) 分析:观察所求代数式,我们可以先将cos107°变为cos(90°+17°)后,再逆用两角差的正弦公式计算求解. 解: 原式= sin47°cos17° + cos47°cos(90°+17°)= sin47°cos17°+cos47°(-sin17°)= sin(47°-17°)= sin30° = ,故选D. 点评:两角和与差的三角公式不仅可以正向应用,也可以逆向应用. 本题巧妙地逆用了公式,从而简化解题. 二、变用公式 例2 计算(1+tan21°)(1+tan24°)的值是 . 分析:先根据正切变形公式得出tan21°+tan24°与tan21°tan24°的关系,然后将原式化简求解. 解:因为tan+ tan= tan(+)·(1﹣tantan), 所以tan21° + tan24° = tan(21°+24°)(1﹣tan21°tan24°)= tan45°(1﹣tan21°tan24°)= 1﹣tan21°tan24°, 所以(1+ tan21°)(1 + tan24°)=(1 + tan24°+ tan21°+ tan24°tan21°)=(1 + 1﹣tan24°tan21°+tan24°tan21°)= 2. 故答案填2. 点评:由两角和差的正切公式tan()= 去分母,得到变形公式tan± tan=tan()·(1 tantan). 当±为特殊角或与某角有特殊关系时,运用这个公式较为方便. 三、合理拆角 例3 计算等于( ). (A)- (B) (C) (D)1 分析:通过对上式各个角度的观察,不难发现分式中出现的三个角之间存在着一定的关系,在解题过程中可以利用这一关系进行拆角来减少角的个数. 解:原式= = = = cos60°=, 故选C. 点评:观察是前提,交换是关键,通过全面的观察和透彻的分析,可避免盲目的推演.本题的解法中就是抓住了85° = 60° + 25°这一等角的变换进行拆分运算. 四、适当通分 例4计算 - 的值是( ). (A)1 (B)2 (C)4 (D) 分析:由于sin80°可转化为cos10°,那么 - 的分母中就含有sin10°和cos10°,故可通分利用公式求解. 解: - = - =
= 4, 故选C. 点评:有关两个分数和或差的特殊三角函数运算,常常先通分再根据公式计算求解. 五、整体策略 例5 已知cos=,cos()=﹣,且α∈(0,),α + β∈(,),则cos的值为 . 分析:由题意分别可求得sin和sin(+)的值,而cos= cos[(+)﹣ ] = cos(+)cos + sin(+)sin,通过整体代入计算即可. 解:因为cos= ,且α∈(0,),所以sin==. 又因为cos(+)=﹣,且α + β∈(,),所以sin(+)= =. 所以cos= cos[(+)﹣] = cos(+)cos+ sin(+)sin= - × + × = . 故答案填. 点评:本题若根据cos,cos(+)的值,将cos()展开求解cos 的值会很难入手,而借助于角之间的关系整体求解大大降低了解题难度. 本文来自《数学周报》高考版理科第6期 人气单品:《数学周报》 |
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