单层鞍形网壳结构地震激励频域响应特性分析

单层鞍形网壳结构地震激励频域响应特性分析

廖 冰

（上海同济建设工程质量检测站，上海 200092）

摘 要：为研究鞍形网壳在地震动激励下的振型反应规律，将结构地震作用表达为仅与时间变量有关的随机过程，给出频域内结构准静力响应、共振响应和耦合响应的定义及计算式；计算两组地震动功率谱作用下，鞍形网壳结构的位移响应谱，包括准静力响应谱、共振响应谱和耦合响应谱，总结结构位移响应的频域分布特性，分析准静力响应及共振响应之间的相关性；提出改进的振型叠加法，并给出数值算例。研究结果表明，对应一定的地震动输入功率谱，鞍形网壳结构的响应主要是特定频率区段的振型响应。在z向地震作用下，准静力响应和共振响应的耦合效应对总响应的影响不可忽略，而在x、y向地震作用下，这一效应可忽略。计算结果表明，所提出的改进振型叠加法计算效率和求解精度优于传统振型叠加法。

关键词：鞍形网壳；地震激励；频域响应；改进的振型叠加法

鞍形网壳结构形态美观，富有建筑表现力，且结构整体稳定性好［1］。由于鞍形网壳曲面高斯曲率为负，两个主应力方向上的杆件应力刚度符号相反，故此类网壳的动力特性及地震反应特性，不仅具有空间网格结构的共性，还有其自身的特点。目前，鞍形网壳结构在强震作用下的反应，多采用时程分析（THA）方法或增量动力分析（IDA）方法计算［2-3］。而对于结构线弹性阶段的地震作用效应分析，振型叠加法则是主要方法［4］。

由于空间网格结构自由度多、频率密集、振型复杂，采用振型叠加法计算结构地震响应时，存在质量参与系数累积慢、振型截断误差大等问题［5］。采用荷载相关Ritz向量法［6-7］或振型遴选阈值法［8］时，此问题可部分解决，但要获得较为准确的结构地震作用效应，这些方法需要考虑的振型数量依然较多。在地震烈度区划即将被地震动区划所取代的背景下，结合预定的地震动区划和场地条件，通过分析结构的地震响应特性，可减少振型叠加法中所需考虑的主振型数量，提高结构的地震反应分析效率。但是，目前这一类分析多集中于正高斯曲率网壳（主要是球面网壳），对鞍形网壳的分析则相对较少。由于结构特性上的差异，将正高斯曲率网壳的地震响应规律简单扩展到鞍形网壳结构，并不完全合理。为进一步优化鞍形网壳振型叠加分析中的主振型集，有必要对此类结构在地震激励下的响应特性进行分析，研究结构在预定地震动区划的地震动输入下，结构振型响应的主频率分布域，进而将结构的主振型频率区间限定至该频率域内，以缩减主振型数量，提升振型叠加法的计算效率。

基于以上论述，本文首先将地震输入表达为关于时间的一维随机过程，并导出结构地震作用的功率谱密度函数表达式；参考结构风振响应分析方法，在时域和频域内定义鞍形网壳结构在地震作用下的振型响应分量（包括准静力响应、共振响应和耦合响应），并给出各分量的计算式；分别计算两类场地的多条实际地面加速度记录功率谱，并集合平均，生成两组地震动输入荷载谱，通过计算鞍形网壳在两组地震动荷载谱下结构各振型分量的响应谱，得到鞍形网壳结构地震响应的频谱特性，以及此类结构在预定地震动输入下振型响应分量的频率域分布；同时，计算了鞍形网壳结构的振型耦合响应分量，给出实际计算中对耦合分量的取舍方法；给出了改进的振型叠加法，通过数值算例证明了改进方法的有效性。本文方法可为缩减鞍形网壳结构主振型数量、优化振型反应组合方法、改进此类结构的振型叠加分析流程，提供依据。

1 地震作用的功率谱密度函数

通过将地震动区划的加速度记录集合平均，可得到结构承受的地面运动激励的频谱特性，但地面运动频谱特性与结构各节点承受的地震作用频谱特性并非完全等价。在频域范围内计算结构地震反应并分析结构地震反应特性，首先应基于地震动输入功率谱，导出结构各节点的地震作用功率谱。

在支座一致激励输入和空间三维平动输入条件下，结构各节点在某时刻的惯性力取决于该点的质量，因此，地震激励下，结构各节点地震作用在空间上是确定相关的，地震作用随机过程仅是关于时间t的一维随机过程。结构任一点的地震作用协方差矩阵为:

式中:Ii为i方向平动自由度为1的单位向量。

结构地震作用协方差矩阵为:

假定不同方向地面加速度随机过程的互协方差E［ügi（t）·ügj（t）］（i≠j）为零，则地震作用协方差矩阵Cp可简化为:

将式（3）等号两侧分别右乘Mi（i=x，y，z），并利用不同方向Mi之间的正交性，可得:

式（4）说明，结构质量分布向量Mi（i=x，y，z）是地震作用协方差矩阵Cp的特征向量，Mi（i=x，y，z）可用于描述结构地震作用的分布形式。因此，结构地震作用可以用地面加速度时程与结构质量分布基向量的乘积表示。结构中节点j的地震作用均方差可表示为:

将特定地震动区划的一批地震动记录集合平均，即可由式（5）计算结构各节点地震作用均方差E［pk2（t）］。显然，E［pk2（t）］也可根据地震动功率谱经Fourier逆变换得到。若同时考虑空间三维地震作用，可将各方向地震作用均方差叠加，但需要考虑不同方向地震作用之间的相关性，即各方向地面运动之间的相关函数。

2 地震响应频域特性分析方法

在结构风振响应分析中，结构响应被划分为背景响应和共振响应。相应地，结构的地震响应也可进行类似划分。在频域内，结构各振型响应由准静力响应和共振响应构成，结构的总响应则由准静力响应、共振响应及二者的耦合响应构成。为计算鞍形网壳结构在地震作用下的频域响应特性，给出了地震激励下结构准静力响应分量、共振响应分量及耦合响应分量的计算式。

2.1 准静力响应、共振响应的定义

鞍形网壳结构各振型响应对总响应的贡献差异很大，各振型贡献取决于振型参与系数和振型伪加速度反应。将预定地震动输入下伪加速度反应较大的振型定义为主振型，其余振型定义为非主振型，则结构整体动力响应（与惯性力和阻尼力对应）主要由主振型动力响应构成，非主振型的动力响应则可以忽略。

依据振型分解方法，将多自由度体系的位移响应表示为:

式中:n为结构的自由度数；u（t）I和u（t）S分别为主振型及非主振型位移响应；d为主振型数；φn、qn（t）分别为结构振型和振型正则坐标位移响应。

对于非主振型，其位移响应qn（t）由弹性恢复力确定，可由静力方法求得，即:

式中:P（t）、K分别为外荷载向量和结构刚度矩阵；Pn（t）、Kn分别为第n阶振型的广义力和广义刚度。

定义Fn=φnφnT／Kn为振型柔度矩阵，则振型n对总位移响应的静力贡献为:

由于非主振型数量很多，依次计算各非主振型静力贡献较为耗时，但其静力贡献之和可由结构总静力反应与主振型静力贡献之差给出，即:将式（9）带入式（6），结构总位移反应可表达为:

式（10）等号右侧第一项代表了主振型位移响应的动力放大部分，可定义为共振响应；第二项代表了全部振型在静力作用下的位移响应，可定义为准静力响应。

2.2 频域范围内各响应分量的计算方法

频域内，鞍形网壳结构地震响应不仅包括准静力响应和共振响应，还包括二者的耦合响应。

2.2.1 频域内准静力响应、共振响应计算式

振型n的准静力响应可由式（7）、式（8）导出，即:

将动力荷载的功率谱密度函数表示为Spnpm（ω），则结构响应准静力分量的功率谱密度函数矩阵为:

去掉复频反应函数Hn（ω）中的静力反应分量，可得到共振响应的频响传递函数:

式中:ξn、ωn分别为第n阶振型的阻尼比和圆频率。

结构共振响应分量的功率谱密度函数矩阵为:

式中与互轭与互轭。

2.2.2 耦合响应的频域表达

各振型响应准静力分量与共振分量的互相关函数为:

式中:hm（υ）为脉冲响应函数；Rpnpm（τ）为振型间动荷载的互相关函数。

将式（15）中积分下限延伸至负无穷，并进行Fourier变换，可得到振型之间准静力分量和共振分量的互功率谱密度函数Sqb，nqr，m（ω），即:

结构振型响应准静力分量与共振分量之间的互功率谱密度函数矩阵为:

2.2.3 结构总响应

结构各振型响应之间的互相关函数为:

对式（18）进行Fourier变换，可得各振型响应之间的互功率谱密度函数，即:

式（19）等号右侧第一项为准静力响应分量谱密度，中间两项为准静力分量和共振分量的耦合响应谱密度，最后一项为共振分量响应谱密度。故依据结构响应的振型展开:

将结构总响应表达为各振型反应的叠加时，结构总响应的功率谱密度函数矩阵可表示为:

综上，结构准静力响应、共振响应及二者耦合响应的功率谱密度，可分别由式（12）、式（14）和式（17）计算得到，总响应功率谱密度可由式（21）计算得到。依据维纳-辛钦公式，结构在某方向地震激励下的稳态响应均方差（σb2、σr2）和互协方差（Cb，r、Cr，b）由式（22）给出（以x方向为例）:

式中:γnx为第n阶振型x方向的振型参与系数；ωA、ωB分别为地震作用能量分布频域的下限、上限。

结构总响应均方差可表示为:

其中

式中:CR为互协方差Cb，r和Cr，b的实部；ρb，r为准静力响应和共振响应的相关系数。

忽略准静力响应和共振响应相关性时，结构总响应为:

3 单层鞍形网壳地震激励频域响应特性分析

基于上述理论分析，给出一个单层鞍形网壳结构地震激励频域响应分析算例，并对计算结果进行深入分析，为研究结构在预定地震动输入下振型响应的主频率分布域、优化鞍形网壳振型叠加分析中的主振型集提供依据。

3.1 结构模型

单层鞍形网壳投影平面为正方形，跨度L= 56.57 m，矢高f=10 m，杆件为φ150×4.0 mm的Q345B钢管，弹性模量Es=2.06×105MPa，屋面荷载为0.6 kN／m2。结构模型如图1所示，结构自振频率如图2所示。

图1 单层鞍形网壳
注:1～17为节点编号。

图2 单层鞍形网壳振型-频率

3.2 地震动输入

取美国加州28条和日本12条x、y、z向地震加速度记录，进行集合平均和Fourier变换，得到地震动功率谱PSD1（美国）和PSD2（日本）。上述加速度记录的选取原则为:1）地区相近；2）加速度峰值相近；3）地震作用方向相同；4）地震动持时相近。计算得到的两组地震动功率谱如图3所示。

3.3 结构响应特性分析

3.3.1 结构位移响应谱

按照2.2节给出的地震响应分量计算方法，通过自编MATLAB程序，计算得到鞍形网壳结构在地震动激励PSD1和PSD2作用下，中心节点（5号节点）的总位移响应谱、准静力响应谱、共振响应谱和耦合响应谱，如图4—图7所示。

图3 2组地震动输入功率谱（PSD1、PSD2）
a—PSD1（x向）；b—PSD1（y向）；c—PSD1（z向）；d—PSD2（x向）；e—PSD2（y向）；f—PSD2（z向）。

图4 鞍形网壳中心节点x、y向位移响应谱（PSD1）

图5 鞍形网壳中心节点z向位移响应谱（PSD1）
a—结构总响应；b—共振分量；c—准静力分量；d—耦合响应。

图6 鞍形网壳中心节点x、y向位移响应谱（PSD2）

图7 鞍形网壳中心节点z向位移响应谱（PSD2）
a—结构总响应（30 s）；b—准静力分量（30 s）；c—共振分量（30 s）；d—耦合响应（30 s）。

分析地震动功率谱PSD1:在x、y、z三向输入下，鞍形网壳中心节点沿对应方向的位移响应中，低频成分贡献主要为准静力响应，高频成分贡献主要为共振响应，耦合响应谱较大的频率域分布在共振响应区域。在x、y向，结构准静力响应和耦合响应仅占总响应的10％，其中，耦合响应分量约为准静力分量的2倍。而在z向，位移总响应主要为共振分量，准静力分量和耦合响应分量仅占总响应的3％。其中z向共振频率及耦合响应谱较大的频率均集中在［10，15］范围内。

分析地震动功率谱PSD2:在x、y向输入下，鞍形网壳中心节点x、y向位移响应谱低频成分贡献仍主要为准静力分量，高频成分贡献则明显为共振分量，两者对结构总响应的贡献程度相近。耦合响应贡献约占总响应的20％，其响应谱峰值集中在共振响应明显的区域。在z向，共振分量对结构总响应的贡献起控制作用，准静力分量和耦合响应仅占总响应的2％，其中耦合响应贡献约为准静力分量贡献的6倍。耦合响应较大的频率域分布在共振响应明显的区域内。

由分析结果可见，对应一定的地震动输入功率谱，鞍形网壳结构位移响应谱值较大的频率域分布较为集中，即结构响应主要由特定频率区段的振型响应控制。在不同频率区段内，对总响应贡献最大的振型响应分量类型不同。因而，用振型叠加法求解结构地震响应时，可将主振型限定至响应的主要频段内，减少结构地震反应分析需要组合的振型数量，提高分析效率。

3.3.2 准静力响应与共振响应的相关性

按照式（23）计算准静力响应和共振响应间的相关系数。分别在x、y、z向输入PSD1及PSD2地震动功率谱，计算得到图1中鞍形单层网壳各节点的z向位移准静力响应和共振响应的相关系数，如表1所示，表1中误差率表示按照式（23）计算总响应时（即忽略准静力响应和共振响应的相关性时），计算结果相对于精确结果的误差。

表1 鞍形网壳准静力响应与共振响应相关系数

节点编号PSD1（x向）PSD1（y向）PSD1（z向）PSD2（x向）PSD2（y向）PSD2（z向）相关系数误差率相关系数误差率相关系数误差率相关系数误差率相关系数误差率相关系数误差率10.006-0.006 00.018-0.003 0-0.7030.548 60.054-0.054 30.001-0.000 2-0.1740.093 0 2-0.1390.087 7-0.0150.001 5-0.6030.344 7-0.2160.129 7-0.0400.004 4-0.4190.150 6 3-0.2050.092 70.018-0.002 5-0.5870.338 5-0.2180.100 6-0.0410.005 9-0.3280.170 1 4-0.1920.106 9-0.0830.012 8-0.5370.282 8-0.1210.070 90.024-0.003 6-0.1920.090 2 5-0.0030.000 4-0.0770.029 4-0.4130.158 5-0.0700.008 00.122-0.060 1-0.2520.082 5 6-0.1920.106 9-0.0830.012 8-0.5370.282 8-0.1210.070 90.024-0.003 6-0.1920.090 2 7-0.2050.092 70.018-0.002 5-0.5870.338 5-0.2180.100 6-0.0410.005 9-0.3280.170 1 8-0.1390.087 7-0.0150.001 5-0.6030.344 7-0.2160.129 7-0.0400.004 4-0.4190.150 6 90.006-0.006 00.018-0.003 0-0.7030.548 60.054-0.054 30.001-0.000 2-0.1740.093 0 10-0.0090.001 6-0.1200.112 7-0.7030.548 6-0.0170.003 40.102-0.101 5-0.1740.093 0 11-0.0190.001 9-0.2640.179 0-0.6030.344 7-0.0470.004 2-0.1450.107 4-0.4190.150 6 12-0.0010.000 2-0.1710.089 4-0.5870.338 5-0.0320.004 5-0.1150.065 6-0.3280.170 1 13-0.0550.009 7-0.2310.016 5-0.5370.282 8-0.0620.011 40.273-0.019 4-0.1920.090 2 14-0.0550.009 7-0.2310.016 5-0.5370.282 8-0.0620.011 40.273-0.019 4-0.1920.090 2 15-0.0010.000 2-0.1710.089 4-0.5870.338 5-0.0320.004 5-0.1150.065 6-0.3280.170 1 16-0.0190.001 9-0.2640.179 0-0.6030.344 7-0.0470.004 2-0.1450.107 4-0.4190.150 6 17-0.0090.001 6-0.1200.112 7-0.7030.548 6-0.0170.003 40.102-0.101 5-0.1740.093 0

在输入PSD1时，结构各节点的z向位移中，准静力响应和共振响应间相关系数大多为负值。对x向地震输入，相关系数ρb，r约处于［-0.02，-0.2］区间；对y向地震输入，ρb，r约处于［-0.02，-0.25］区间；对z向地震输入，ρb，r约处于［-0.5，-0.7］区间。对大多数节点，当忽略两类响应分量相关性时，结构的实际响应将被高估。z向地震输入时，位移响应分量间相关性最强，高估比例为30％～55％，x向与y向则为1％～10％。

在输入PSD2时，对各向地震动输入，所计算节点的z向位移准静力响应和共振响应相关系数基本为负值，其中z向地震动输入下的相关性最为明显，相关系数区间为［-0.4，-0.2］。忽略z向耦合响应项，将高估结构响应10％～17％，而对x、y向，忽略耦合响应所产生的总响应误差与PSD1接近。

以上结果说明，对于z向刚度较弱的单层鞍形网壳结构，z向地震作用下必须考虑耦合响应项对总响应的贡献，采用式（23）进行响应组合时，但在x、y向地震作用下，忽略耦合效应将偏于安全地产生较小的计算误差（10％左右）。

3.4 响应复函数虚部的取舍

鞍形网壳结构x、y、z向的位移耦合响应，包含振型间的耦合响应和各振型自身的耦合响应两部分。前者在任意两个振型间轮换计算时，其响应互为共轭复函数，而后者的各阶振型响应均为复函数。对所有振型进行组合时，后者复函数虚部之和约为前者共轭复函数之和（仅保留实部）的1／1010，可忽略不计。因此，耦合响应可仅取振型响应复函数实部。鞍形网壳结构的共振响应，包含各振型自身的共振响应和振型之间的共振响应。对于前者，各阶振型响应均为实函数，对于后者，任意两个不同振型间的响应项均为复函数，但不互为共轭。计算结果表明，振型之间共振响应复函数的虚部之和约为共振响应实函数之和的1／1010，可忽略不计。因此，共振响应也可仅取振型响应复函数的实部。

4 鞍形网壳结构振型叠加分析方法的改进

结合上述方法及结果，考虑地震动输入特性，并依据结构x、y、z向振型响应相关性的大小，可对鞍形网壳结构振型叠加法进行改进。

1）结合地震动区划及局部场地条件，选择地震动记录或生成人工地震波，进行Fourier变换并集合平均，以确定地震动输入频谱特性。

2）分析结构振型频率分布特性，得到结构振型频率分布范围［ωa，ωb］（图2中鞍形网壳振型频率突变前分布区域）。

3）在［ωa，ωb］范围内，计算输入的中心频率ωcn:

式中:Sp（ω）为集合平均后的地震动输入频谱曲线，运用中心频率位移Ritz向量法求解主振型。

4）引用不考虑相关性的振型组合准则，求解鞍形网壳结构x、y向地震位移反应；用式（23）求解鞍形网壳结构z向地震位移反应。

以1971年美国San Fernando地震记录到的一条水平向地面加速度时程（图8）作为地震动输入，分别采用直接积分法（Newmark-β法）、传统振型叠加积分法（截取前69阶基本振型）和改进振型叠加积分法（在主振型频率分布域内遴选30阶Ritz主振型），计算图1所示鞍形网壳结构的地震响应。3种方法计算得到的鞍形网壳结构跨中5号节点y向位移响应时程如图9所示。

图8 San Fernando地震地面加速度时程
注:美国加州San Fernando地震1971年y向加速度记录。

图9 鞍形网壳5号节点位移响应时程
注:San Fernando地震波y向位移响应。

由图9可见，传统振型叠加法计算得到的结构位移响应时程与直接积分法之间存在明显差异，而改进的振型叠加法计算结果与直接积分法非常接近（二者时程响应曲线基本重合）。另一方面，传统振型叠加法计算所用的振型数量为69阶，而改进方法仅用到30阶Ritz振型。上述结果说明，改进的振型叠加法在计算精度和计算效率方面均具有明显优势。

5 结 论

通过理论推导和数值算例分析，可得到以下结论:

1）在时域范围内，鞍形网壳结构的地震反应可由主振型的共振响应和结构整体的准静力响应叠加得到，在此基础上，可导出结构频域范围内振型响应准静力分量、共振分量和耦合分量的计算式。

2）对应一定的地震动输入功率谱，鞍形网壳结构位移响应谱较大的频率域分布较为集中，结构响应主要由特定频率区段的振型响应控制。

3）鞍形网壳结构在x、y向地震作用下，忽略准静力响应和共振响应的耦合效应是偏于安全的，误差在10％左右。

4）结合地震动输入特性及结构自身特性，在结构主振型频率分布域内遴选振型并用于振型叠加计算，可明显提升鞍形网壳结构地震响应分析的效率。

参考文献：

［1］ 沈世钊，陈昕.网壳结构稳定性［M］.北京:科学出版社，1999:204-241.

［2］ 支旭东，范峰，樊钦鑫，等.正交正放单层鞍型网壳在强震下的失效研究［J］.土木工程学报，2011，44（11）:34-42.

［3］ 邢佶慧，栗荣刚，吕晓寅，等.单层鞍形网壳强动力荷载作用下的破坏模式［J］.空间结构，2010（1）:19-23.

［4］ 张毅刚.单层双曲抛物面网壳的抗震性能［J］.北京工业大学学报，2001，27（1）:31-34.

［5］ 廖冰，罗永峰，王磊，等.基于质量参与系数的空间结构动力模型简化［J］.湖南大学学报:自然科学版，2013，40（9）:7-13.

［6］ Wilson E L，Yuan M W，Dickens J M.Dynamic Analysis by Direct Superposition of Ritz Vectors［J］.Earthquake Engineering＆Structural Dynamics，1982，10（6）:813-821.

［7］ Gu J，Ma Z D，Hulbert G M.A New Load-Dependent Ritz Vector Method for Structural Dynamics Analyses:Quasi-Static Ritz Vectors［J］.Finite Elements in Analysis and Design，2000，36（3）: 261-278.

［8］ 王磊，罗永峰.空间网格结构抗震分析中的阈值法理论［J］.东南大学学报:自然科学版，2011，41（3）:636-641.

ANALYSIS OF FREQUENCY DOMAIN RESPONSE CHARACTERISTICS OF SINGLE-LAYER SADDLE-SHAPED LATTICED SHELL UNDER SEISMIC EXCITATIONS

Liao Bing
（Shanghai Tongji Construction Quality Inspection Station，Shanghai 200092，China）

ABSTRACT：In order to investigate the modal response properties of saddle-shaped latticed shell under seismic excitations，the following works were carried out in this paper.The structural seismic action was transformed and expressed as timedependent random process，and the quasi-static response，the resonant response，as well as the coupled response were defined in the frequency domain，their calculation formulas were given as well.Secondly，the displacement response spectra of a saddle-shaped latticed shell，including the quasi-static response spectrum，the resonant response spectrum and the coupled response spectrum were computed in accordance with 2 groups of earthquake excitation power spectra.Thirdly，the frequency domain response characteristic was then summarized，and the correlation between the quasi-static response and the resonant response was discussed.Finally，the modified modal super position method was proposed and a numerical example was given.It is shown by the numerical results that the seismic responses of the saddle-shaped latticed shell structure were mainly made up of certain modal responses with certain frequencies.For structural response in thezdirection，the couple response should not be neglected，while for the responses in thexand theydirection，the couple response could be neglected.Moreover，it was demonstrated by the numerical example that the efficiency and accuracy of the proposed modified modal super position method were better than those of the traditional modal super position method.

KEY WORDS：saddle-shaped latticed shell；seismic excitation；frequency domain response；modified modal super position method

DOI：10.13206／j.gjg201612008

国家自然科学基金项目（51378379）。

作 者:廖冰，男，1983年出生，工学博士。

Email:[e-mail]

收稿日期：2016-07-20