|
解决数学问题，特别是碰到几何问题，我们很多时候都需要用到辅助线。很多问题看上去很困难，其实是出题人“故意”把题目中的一些条件“省略”，此时就需要我们通过添加辅助线构造新图形，使原来的图形出现新的变化，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题。因此，如何正确添加辅助线，就成了很多人关心的话题。 虽然辅助线对大家来说很熟悉，但如何才能正确添加辅助线，是很多人非常头痛的问题。一条巧妙的辅助线常常使一道难题迎刃而解，今天我们就一起来简单聊聊如何利用基本图形来添加辅助线。 数学学习，背诵几个定理很简单，难的是学会运用知识点、定理去解决具体问题。如我们所学习的每一个跟几何有关的定理，其实都能找到与之对应的基本几何图形。因此，我们添加辅助线，关键在于两点，一是要非常熟悉所有几何定理，二是添加辅助线要紧靠这些几何定理相关的基本图形。 中考数学里常见的基本图形，一般有以下这么9种： 1、添加平行线： 2、构造等腰三角形： 当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。 3、利用等腰三角形中的重要线段，如三线合一 出现等腰三角形底边上的中线、角平分线、垂线等等。 4、利用直角三角形斜边上的中线 5、利用三角形中位线 几何问题中出现多个中点时，我们可以考虑添加三角形中位线进行证明。 典型例题1： 我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形． （1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点． 求证：中点四边形EFGH是平行四边形； （2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想； （3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明） 考点分析： 平行四边形的判定与性质． 题干分析： （1）如图1中，连接BD，根据三角形中位线定理只要证明EH∥FG，EH=FG即可． （2）四边形EFGH是菱形．先证明△APC≌△BPD，得到AC=BD，再证明EF=FG即可． （3）四边形EFGH是正方形，只要证明∠EHG=90°，利用△APC≌△BPD，得∠ACP=∠BDP，即可证明∠COD=∠CPD=90°，再根据平行线的性质即可证明． 解题反思： 本题考查平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型。 6、构造特殊图形，如全等三角形、相似三角形 相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。 7、利用特殊的角，来构造新图形 在数学学习，一些特殊角作用是非常，往往成很多问题解题关键，如30度，45读，60度，90度等等特殊角。 8、学会利用圆当中的圆周角、圆心角等特殊角。 典型例题2： 已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°． （1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系； （2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF； （3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离． 考点分析： 四边形综合题． 题干分析： （1）结论AE=EF=AF．只要证明AE=AF即可证明△AEF是等边三角形． （2）欲证明BE=CF，只要证明△BAE≌△CAF即可． （3）过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，根据FH=CF·cos30°，因为CF=BE，只要求出BE即可解决问题． 解题反思： 本题考查四边形综合题、菱形的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题． 添加辅助线，说白了就是把不完整的图形，想办法补成完整基本图形。掌握好相应知识概念、定理等等，学会运用知识去解决问题，活用知识，那么添辅助线也是有规律可循。 |
|
|
