【原】特殊四边形背景下与比例线段相关的几何证明

一

中考真题·方法介绍

以2014年上海中考23题为例，介绍特殊四边形背景下与比例线段相关的几何证明的一般方法和解题策略。

中考真题链接

解法分析：2014上海中考23题的背景是等腰梯形，主要考察了平行四边形的判定和三角形一边的平行线的性质定理。

本题的第(1)问需要证明ACED是平行四边形，根据题意，只需要证明AD=CE或AC//DE即可。根据等腰梯形的性质，可以证明△ABD≌△ACD，即∠ABD=∠ACD，再结合∠CDE=∠ABD，可得∠CDE=∠ACD，即AC//DE，进而得到ACED是平行四边形；

本题的第(2)问需要证明线段间的比例关系。由于图中有着丰富的平行线，因此通过“三角形一边的平行线的性质定理”建立线段间的比例关系。

此类问题的突破口往往从结论出发。该结论的左边是DG:GB，则确定AD-BE-X型基本图形，该结论的右边是DF:BD，则确定为AD-BC-X型基本图形，由于这两种图形均有中间量AD，因此借助合比性质建立线段间的比例关系。

方法小结

01 善于发现隐藏在特殊四边形中的A/X型基本图形

ABCD是平行四边形，左右两张图中有2组X型基本图形。

如左图：DE:BC=DF:BF=EF:CF；如右图：AB:DE=AF:EF=BF:DF；但是右图中的X型基本图形常常会被忽略，因此当出现平行线及X型基本图形时，列出比例线段即可。

02 善于利用三角形一边的平行线的性质定理建立线段间比例关系

根据题设和结论，寻找比例线段所处于的平行线和三角形性，再建立线段间的比例关系。

03 善于发现图中的“燕尾三角形”构造平行线建立比例关系

如上图，讲这样的图形称为“燕尾三角形”，“燕尾三角形”往往与比例线段结合起来进行考察。要证明线段间的比例关系，往往可以联想“三角形的一边平行线”，即通过作平行线的方式，构造“A”或“X”型基本图形(往往是2组基本图形)，从而借助中间比或相等的线段达到转化的的目的。

04 善于发现图中的“燕尾三角形”构造平行线建立比例关系

对于特殊四边形的判定定理和性质定理必须熟知，从边、角、对角线的特点进行记忆。特别地，对于特殊四边形，联结对角线往往是常见的辅助线添加方式，由于平行四边形的对角线互相平分，平行四边形对角线的交点结合其他关键点的比例关系能衍生出丰富的比例线段的信息。这里是需要强调的。

如2022年上海中考25题第(3)问(部分解法)

二

善于发现图中的基本图形，建立比例关系

01

菱形背景下的特殊四边形证明题组

解法分析：本题是菱形和平行四边形背景下的题组。充分结合上述的方法1和方法2进行问题解决。本题的难点是在于发现夹在AC、AD间的X型图，这也是此类问题中最容易忽略的基本图形。

02

特殊四边形背景下的结合证明应用

解法分析：本题的解题关键在于充分利用图中“中点”性质。第(1)问中发现ME、NF分别是△BNC和△DMC的中位线，即可得到ME//CN、NF//CM；第(2)问中通过联结AC，利用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”得证。

解法分析：本题的解题关键在于根据结论中的等积式，找出夹在MN//CD和EN//AD的两组平行线间的基本图形建立线段间的比例关系。

三

能够借助图形中的燕尾三角形添加辅助线

01

添加平行线构造基本图形

解法分析：本题的图形是一个典型的“燕尾三角形”，第(1)问可以过关键点添加平行线进行几何证明，方法不唯一，这里提供两种辅助线的添线方法。

第(2)问是平行四边形的证明，可以用两种方法进行证明：即证明两组对边分别平行的四边形是平行四边形以及对角线互相平分的四边形是平行四边形。

解法分析：本题的难点1在于发现E为线段BC的黄金分割点，本题的难点2在于添加辅助线进行线段间的转化，最后的落脚点在于证明CF=BE，进而求出∠CBF的正切值。

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