数学：暑假专题2

数学：暑假专题2——从握手问题谈起

2011-7-28 15:28:00 来源： 人气：12533 讨论：0条

 

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

暑假专题2——从握手问题谈起

 

二. 学习重难点：

解决握手问题的思考方法以及研究方法，类比思想是本节课的重点也是难点

 

三. 知识要点讲解：

【从握手问题谈起】

问题1：参加某次会议有6人，见面后相互问候并相互握手，那么他们之间一共握手几次？

探究：设参加会议的六个人分别记作：A、B、C、D、E、F

方法1：列举法求握手的次数：AB、AC、AD、AE、AF、

BC、BD、BE、BF、

CD、CE、CF、

DE、DF

EF

∴6个人一共握手15次

方法2：连线法：

思考：六边形共有多少条对角线？

问题2：在问题1中，若参加会议的有50人，一共握手几次？n个人呢？

探究：

方法1：列表法——50人的分类计算

分类	第1人	第2人	第3人	第4人	第5人	第6人	……	第49人	第50人
次数	49	48	47	46	45	44		1	0

∴50人一共握手次数为：

49+48+47+46+……+2+1+0=_______________

n个人的分类计算

分类	第1人	第2人	第3人	……	第n－3人	第n－2人	第n－1人	第n人
次数	n－1	n－2	n－3		3	2	1	0

∴n个人一共握手次数为：

（n－1）+（n－2）+（n－3）+……+3+2+1+0=_______________

方法2：归一法求解

归一：∵50人中每个人与他人一共握手________次，

∴ 50个人一共握手__________次。

归一：∵n个人中每个人与他人一共握手_________次，

∴ n个人一共握手__________次。

注意：这种算法会重复，如：三个人记作A、B、C，

则A握手2次，AB、AC， B握手2次，BA、BC，C握手2次，CA、CB

其中：AB、BA相同，CA、AC相同，BC、CB相同，所以计算结果要除以2。

问题3：在上面的问题中，0+1+2+3+……+（n－2）+（n－1）=______如何计算呢？

方法1：（运用结合律——进行配对法）

总结：同学们，前面我们探讨了握手问题的思考方法，主要运用了归一法、图示法、连线法、列表分类法、结合配对法、列举法等处理数学问题的方法，同时也得到了一个计算公式：1+2+3+……+（n－2）+（n－1）+n =，这一公式在处理一些数学问题时常常要运用到，不要死记公式，更重要的是学会公式的推导方法。

思考：你会计算下列各式的值吗？

①2+4+6+8+……+2（n－1）+2n

②1+3+5+7+……+（2n－3）+（2n－1）

【类比应用——多题同律】

问题4：

①平面上有n个点，则以这n个点为端点的线段一共有__________条。

解法1：（分类计算法）

n个点组成线段的分类计算

分类	第1点	第2点	第3点	……	第n－3点	第n－2点	第n－1点	第n点
次数	n－1	n－2	n－3		3	2	1	0

∴n个点一共组成线段的条数为：

解析：在该问题中，三角形的个数可以看作是由点A与BC边上的线段组成，这样就转化为数线段的问题，也就转化为问题①。

方法总结：事实上，上述问题的数学原理都与握手问题的数学原理相同，或者是转化为握手问题。

 

【典型例题】

例1、如果把数字按如图所示排列起来，从上开始，依次为第一行，第二行，第三行、……，中间用虚线围成的一列，从上至下依次为1、5.13、25、…，则第十个数为：______

解：从图中可以看出，1、3、5、…分别在第1行、第3行、第5行、…，

所以第10个数应该是第19行的中间的一个数，也就是第19行的第10个数，

前18行共有1+2+3+……+18=（1+18）×18÷2=171，

所以这个数是：171+10=181

思考：2009这个数在第____行、从左数第______个数。

 

例2、（1）你知道下面每个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？

（2）完成下表：

一条边上的小圆圈数	1	2	3	4	5
小圆圈的总数

（3）如果用n表示六边形一条边上的小圆圈数，m表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m和n之间的关系是什么？

解：

图形	1	2	3	4	…	n
小圆圈的总数	1	7	19	37
增加的小圆圈数		6	12	18		6（n－1）

∴ m=1+6+12+18+……+6（n－1）

=1+6[1+2+3+……+（n－1）]

=1+6×（1+n－1）（n－1）÷2

=1+3n（n－1）

=3n²－3n+1

如图，利用上题求这个“海星图”中的小圆圈的总数

例3、根据如图所示的（1）、（2）、（3）三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（   ）个。

（2）完成下表：

一条边上的小圆圈数	1	2	3	4	5
小圆圈的总数

（3）如果用n表示等边三角形一条边上的小圆圈数，m表示这个三角形中小圆圈的总数，那么m和n之间具有怎样的函数关系？

2. 如果将正整数按下列方式排列：

（1）填写下表：

n	1	2	3	4	5	…	n
y	1	3	7	13
增加小黑点的个数	1	2	4	6

（2）当n=8时，y=________

（3）第n个图形中小黑点的个数y=___________.

5. 下面是用棋子摆成的“T”字.

（1）摆成第1个“T”字需要多少枚棋子？第2个呢？

（2）按这样的规律摆下去，摆成第10个“T”字需要多少枚棋子？第n个呢？

6. 下面是用棋子摆成的“小屋子”.

摆第1个“小屋子”需要5枚棋子，摆第2个需要        枚棋子，摆第3个需要   枚棋子。

按照这样的方式继续摆下去。

（1）摆第10个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？

（2）摆第n个这样的“小屋子”需要多少枚棋子？你是如何得到的？你能用不同的方法解决这个问题吗？与同伴进行交流。

7. 将一个正三角形纸片剪成四个全等的小正三角形，再将其中的一个按同样的方法剪成四个更小的正三角形，……如此继续下去，结果如下表：

所剪次数	1	2	3	4	…	n
正三角形个数	4	7	10	13	…	an

则a_n＝          （用含n的代数式表示）．

8. 观察下面的图形：

它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有      个★。

【试题答案】

1. （1）21

n	1	2	3	4	5	…	n
y	1	3	7	13	21		n2－n+1
增加小黑点的个数	1	2	4	6	8		2（n-1）

（2）57

（3）y= 1+2+4+6+……+2(n-1)= 1+2[1+2+3+……+(n-1)]=n²－n+1

5. （1）5、8（2）32、3n+2

6. 11；17  （1）59   （2）6n-1  (交流略)

7. 3n+1

8. 60（第n个图形有3n个）

9. 4+6+8+10+12+14+16+18=88（根）

10. 17行45列