基于因子分析与Fisher判别分析法的隧洞围岩分类研究

基于因子分析与Fisher判别分析法的隧洞围岩分类研究

邵良杉，徐 波

（辽宁工程技术大学 系统工程研究所，辽宁 葫芦岛 125000）

摘要：为快速有效地预测隧洞围岩的类别，提高地下工程的稳定性和安全性，应用因子分析与Fisher判别分析理论，选取岩石质量指标、完整性指标、饱和单轴抗压强度、纵波波速、弹性抗力系数和结构面摩擦因数等6个指标作为Fisher判别分析的判别因子。建立基于因子分析的隧洞围岩分类的Fisher预测模型。将现场勘测的30组隧洞围岩数据作为学习样本进行训练。利用回代估计法对模型效果进行检验，正确率为96.7％。将建立的判别模型应用于工程实例，以6组工程数据作为预测样本，进行隧洞围岩的分类预测，并与神经网络方法和Bayes方法进行对比。结果表明：因子分析可以有效提取围岩分类指标，去除冗余影响因素，基于因子分析的Fisher判别模型可有效地预测隧洞围岩的类别，所得预测结果的正确率为100％。

关键词：隧道工程；围岩分类；回代估计法；因子分析；Fisher判别模型

中图分类号：U451.2

文献标识码：A

文章编号：1002-0268（2015）07-0098-07

Research on Classification of Tunnel Surrounding Rock Based on Factor Analysis and Fisher Discrim inant Analysis

SHAO Liang-shan，XU Bo
（System Engineering Institvte，Liaoning Technical University，Hvlvdao Liaoning 125000，China）

Abstract：In order to predict the tvnnel svrrovnding rock category qvickly and effectively and to enhance the stability and safety of vndergrovnd engineering，applying the theory of factor analysis and Fisher discriminant analysis，and selecting rock qvality，integrity，satvrated vniaxial compressive strength，longitvdinal wave velocity，elastic resistance coefficient and strvctvre svrface friction factor as the discriminant factor of Fisher，s discriminant analysis，a Fisher prediction model for tvnnel svrrovnding rock category based on factor analysis is bvilt.Thirty grovps of tvnnel svrrovnding rock data in site svrvey are vsed as learning samples for training. The resvbstitvtion predictingmethod is vsed to test themodel，and the accvracy is 96.7％.The established discriminantmodel is applied to engineering instance，6 sets of engineering data are taken as test samples to forecast the classification of tvnnel svrrovnding rock，and the ovtcome is compared with those of nevral network method and the Bayesmethod.The resvlt shows that the factor analysis can effectively extract the classification indexes of svrrovnding rock and remove redvndant inflvencing factors.The Fisher，s discriminant model based on factor analysis can effectively predict the tvnnel svrrovnding rock category，and its prediction accvracy is 100％.

Key words：tvnnel engineering；svrrovnding rock classification；resvbstitvtion method；factor analysis；Fisher discriminantmodel

0　引言

地下空间的开发与利用已经受到了人们的广泛重视，在地下岩体的施工过程中，隧洞围岩分类是一项重要的研究内容。围岩类别的确定是对岩体质量和稳定性的一种综合评价，同时也对地下工程稳定性、安全性起着非常重要的作用[1]。对围岩分类的预测方法研究受到了国内外学者的共同重视，国外的围岩分类方法有很多，如Q分类体系[2]和RMR方法[3]。国内也有很多学者对此做出了研究，如传统的评价方法——普氏分类法[4]，但是影响围岩稳定性的因素有很多，如地质构造、岩性、岩体结构和地下水等，传统的方法已经无法解决过程如此复杂的围岩分类问题。针对这种复杂性，我国许多学者采用多种地质因素组合来对围岩进行分类，该方法在实际工程应用中取得了一定的成果，并得到了广泛重视。目前，很多不同的方法已经被应用于围岩分类中，如模糊数学方法[5-6]、人工神经网络[7]、马氏距离判别法[8]、层次分析法[9]、Bayes判别分析法[10]、特尔菲-理想点法[11]、支持向量机[12]、非线性耦合分类技术[13]等多个指标的综合判别方法。这些方法都是各位学者针对不同的隧道围岩情况所提出的，在各自的研究领域内都作出了非常有意义的探索，但是也都有一定的局限性，如模糊数学方法在确定各个指标的权重时，主要依靠的是专家经验，有一定的主观性和随意性，而权重的确定是否合理直接关系到判别结果的准确性；基于先验知识的智能预测方法，如人工神经网络有其自组织性、极强的非线性逼近等优点，但该方法有收敛速度慢，容易陷入局部极小值的缺点，对参数的选择是否符合工程实际的问题还需要很好地解决；支持向量机方法在处理小样本事件时优势显著，但在应用过程中参数的确定比较困难。如果从作为围岩分类评判指标的因素来研究围岩的类别，避免各个因素之间的信息重合，可以更好地分析各个因素对围岩类别的综合影响。

基于以上研究，本文将借鉴因子分析可以浓缩数据的优点，结合Fisher判别分析（FDA）方法在无须知道原始数据分布情况下而对新样本进行判别的思想，建立隧洞围岩分类的因子分析-Fisher判别模型，对隧道围岩的类别进行预测，将其运用到实际的工程项目中，验证该模型的可行性和可靠性。

1　因子分析及Fisher判别分析计算理论

1.1　因子分析

因子分析（Factor Analysis）是多元统计分析的一个重要分支，最初由英国心理学家C.Spearman提出。因子分析的主要目的是浓缩数据，通过对诸多变量的相关性研究，用少数变量来表示原来变量的绝大部分信息。目前，常用的因子分析类型有R型因子分析和Q型因子分析，前者是针对变量作因子分析，后者是针对样品作因子分析[14]。

根据研究需要，选用R型因子分析。设原有变量k个，分别为X1，X2，…，Xk，且每个变量经过标准化之后都是均值为0、标准差为1的标准化变量。因子分析的数学模型表示为：

将因子分析的数学模型用矩阵形式表示如下：

式中，X＝（X1，X2，…，Xk）T，F＝（F1，F2，…，Fm）T，e＝（e1，e2，…，ek）T，

式中，X表示可实测的随机向量；F为公共因子，且公共因子F1，F2，…，Fm相互独立且不可测；e是特殊因子，表示了原有变量Xi不能被因子变量所解释的部分，彼此之间是互不相关的。aij是公共因子的负载，表示在各个因子变量不相关的情况下，第i个原有变量和第j个因子变量的相关系数，体现了χi在第j个公共因子变量上的相对重要性，aij的值越大，公共因子Fj和原有变量Xi的关系就越强。

1.2　Fisher判别分析法的思想和求解

Fisher判别分析是由Fisher在1936年提出的，其基本思想是投影[15]，即将高维数据点投影到低维空间上。投影的原则是将总体与总体之间尽可能地分开，然后根据类间距离最大、类内距离最小的原则确定判别分析函数，达到正确分类的目的，进而对新的样本进行分类判别[16]。

设有m个总体G1，G2，…，Gm，各总体的特征指标都是p个，相应均值向量和协方差矩阵分别为μ1，μ2，…，μm（p维），V1，V2，…，Vm（p×p阶）。

对于样本x＝（χ1，χ2，…，χp）T，假定其判别函数为：

式中，u为p维向量；Y为一维的随机变量，Y在各类中的均值和方差分别为：

记B0为Y在各类中的均值ei的离差平方和：

式中，B0反映的是均值ei之间的离散程度，B0的值越大，离散程度就越大，各个总体就越容易被划分开来。记E0是Y在各类中的方差之和：

式中，E0反映的是Y在各类中的方差之和，其值越小，G1，G2，…，Gm就越容易被划分开来。因此，要选择可以使最大的u来作为判别函数Y＝uTx中的系数向量。令，，则B*＝Bni为组间离差平方和，E*＝ Eni为组内离差平方和，其中ni（i＝1，2，…，m）表示样本的数量。若λ是矩阵E-1（　　）B的最大特征根，那么对应于λ的特征向量u就是所要求的判别函数中的系数向量。通常，可以找出对应于（E-1B）的前几个较大特征根λ1，…，λt，且t≤min（m-1，p），并根据贡献率来选取特征根个数[15]，进而找到其对应的特征向量。采用不加权法对待判别样本进行分类，记，其中l＝1，2，…，t；i＝1，2，…，m，若最小，那么χ就属于Gi。

1.3　Fisher判别函数效果的检验

为了检验建立的FDA模型的有效性和可靠性，可以采用回代估计法求误判率来进行判断[17]。将所有的训练样本作为n个新样本，依次代入建立的判别函数并进行判别。误判样本个数N与所有样本的比即为误判率η，η的计算公式为：

2　隧道围岩分类的因子分析-Fisher判别模型

2.1　判别因子的选取及其相关性分析

判别因子的恰当选取是建立Fisher判别模型的重要前提，一般情况下，为了使围岩分类更加准确，要尽量选取多个评判指标因子，但需要的工作量也会大大增加，耗费的计算时间会较长。因此，选择的评价因子要能够反映出岩体的岩体结构、地质构造、岩性等基本特征，同时结合各类指标，这些指标应具有广泛性、适用性和可操作性。根据《水工隧道设计规范》（SL279—2002）及国内外围岩分类经验[18-19]和研究成果[10]，选取以下几个参数作为判别因子：（1）岩石质量指标RQD（X1），该指标反映岩块完整程度及其大小；（2）完整性指数Kv（X2），反映岩体的完整性程度；（3）饱和单轴抗压强度Rc（X3）（单位为MPa），反映岩块软硬特性及岩性特征；（4）纵波波速vp（X4）（单位为km/s），它在一定程度上反映岩体的完整程度以及刚度特征；（5）弹性抗力系数K0（X5），反映了围岩的综合物理力学性质，通常采用查表或者利用弹性公式来确定；（6）结构面摩擦系数f（χ6），它反映结构面粗糙程度、蚀变及充填情况[20]。根据文献[18]提供的广东省东江—深圳供水改造工程中的数据（表1），运用SPSS17.0软件对所选的6个变量进行两两相关分析，以减少变量因素之间信息的冗余，提高相互独立性，求得Pearson Correlation及Sig.（2-tailed）检验结果：6个变量相互之间的t统计量的值显著性概率p均小于0.05，相关系数显著异于0，所以，彼此之间存在较强的相关关系。

2.2　因子分析检验

由于选取的6个判别因子之间存在较强的相关关系，若直接将其作为Fisher判别模型的判别指标，会因变量之间的重复信息使模型缺乏可靠性，因此有必要对变量进行浓缩。首先检验这6个变量是否适合作因子分析，运用SPSS17.0对其进行KMO检验和Barlett检验并得到结果：样本的KMO值为0.852，很适合作因子分析；同时，Barlett球体检验的概率为0，小于显著性水平0.05，拒绝它的零假设，适合作因子分析。

2.3　Fisher判别模型的建立

以《工程岩体分级标准GB50218—94》[21]为依据，结合工程实践经验，将岩体质量分为Ⅰ级、Ⅱ级、Ⅲ级、Ⅳ级、Ⅴ级5个等级，并将其类别值分别设定为1，2，3，4，5。根据文献[18]的隧洞工程中共涉及的6条隧洞（分别为观音山隧洞、笔架山隧洞、石山隧洞、窑坑隧洞、凤岗隧洞和走马岗隧洞）所处工程场地的地质条件，将其分类情况列于表1。选取30个样本（表1），建立基于因子分析的Fisher判别模型。对6个相关程度较高的变量作因子分析，提取适当个数的公共因子，将提取的公共因子作为Fisher判别模型的特征因子。根据因子分析理论及Fisher判别分析理论进行计算和学习。

表1　Fisher判别模型计算样本数据
Tab.1 Calculation sample data of Fisher discrim inantmodel

注：“*”为误判样本

序号判别因子X1　X2　X3　X4　X5　X6　F1　F 第2个2实际类别预测类别　　第1个函数值　函数值1　58　0.59　85　4 207　18　5　-0.261 01　1.734 27　2　2　7.242　-1.259 2　86　0.68　110.2　4 500　18　5　0.642 26　1.497 93　2　2　8.517　-0.214 3　95　0.65　110.2　4 514　18　5　0.881 37　1.306 5　2　2　8.266　0.137 4　94　0.72　110.2　4 660　18　5　1.060 09　1.258 06　2　2　8.51　0.344 5　50　0.57　111.5　4 122　15　5　-0.746 6　2.165 06　2　2　7.944　-1.996 6　60　0.72　111.95　4 060　15　2　-0.349 2　1.537 22　2　2　6.112　-1.235 7　94　0.68　81.5　4 580　18　5　1.324 04　0.697 16　2　2　6.636　0.933 8　75　0.55　55　3 700　5　3　1.164 47　-0.861 78　3　4*　-0.901　1.668 9　45　0.55　55　3700　10　4　-0.103 31　0.508 02　3　3　2.051　-0.396 10　62　0.46　55　3 695　10　4　0.264 26　0.175 11　3　3　1.489　0.165 11　64　0.53　59.5　4 000　10　4　0.551 31　0.127 41　3　3　2.019　0.482 12　70　0.53　59.5　4 014　10　4　0.754 95　-0.015 35　3　3　1.898　0.769 13　66　0.42　68.5　3 580　8　4　0.221 59　0.183 88　3　3　1.418　0.117 14　55　0.46　61.84　3 280　8　4　-0.098 67　0.317 15　3　3　1.192　-0.282 15　81　0.5　55　3 956　10　4　1.088 44　-0.337 49　3　3　1.296　1.29 16　52　0.52　68.7　3 965　10　4　-0.003 01　0.613 98　3　3　2.797　-0.356 17　44.5　0.5　20　3 000　1　1.5　0.389 87　-1.345 49　4　4　-5.13　1.166 18　61　0.52　20　3 959　3.5　3　1.327 04　-1.452 62　4　4　-3.176　2.171 19　70.5　0.49　40.9　3 000　3.5　3　0.876 89　-1.075 76　4　4　-2.628　1.501 22　42　0.24　62.7　2 690　2.5　1.75　-1.034 73　0.035 99　4　4　-1.538　0.315 23　25　0.27　18.5　2 500　3　2　-1.041 17　-0.403 81　4　4　-2.525　2.878 24　31　0.26　25　2 950　2　1.5　-0.719 76　-0.630 33　4　4　-2.533　-1.063 25　22　0.25　8　1 900　1.5　1.25　-1.253　-0.696 87　5　5　-4.559　-0.816 20　33　0.5　38.3　3 896　3.5　3　0.091 14　-0.388 78　4　4　-4.756　-0.363 21　85　0.53　38.3　4 014　3.5　3　1.917 76　-1.647 2　4　4　-6.45　-0.861 26　34　0.14　16.3　2 060　1.5　1.25　-1.130 73　-0.748 2　5　5　-6.366　-0.709 27　24　0.18　16.3　2 330　1　1　-1.239 89　-0.663 78　5　5　-6.265　-0.867 28　33　0.13　14.5　1 960　1.25　1　-1.204 84　-0.794 19　5　5　-6.769　-0.757 29　20　0.17　10　1 960　1　0.75　-1.488 59　-0.666 06　5　5　-6.923　-1.116 30　8.5　0.15　6.3　1 952　1.25　0.75　-1.880 98　-0.430 03　5　5　-6.868　-1.647

对30个样本进行因子分析的过程主要分为3个步骤[22]：

（1）提取公共因子。对样本中相关程度较高的6个变量进行因子分析，运行SPSS17.0软件，得出公共因子碎石图，见图1。从图1中可以看出，前2个成分的特征值变化比较明显，特征值从第3个成分开始变化平缓，根据碎石准则，提取前2个成分作为公共因子F1和F2，其累计方差贡献率为

92.106％，即可以解释原始变量信息的92.106％。

图1　碎石图
Fig.1 Curve of gravel

（2）构造因子变量。公共因子个数确定后，采用方差最大正交旋转方法对因子载荷矩阵旋转，可以得到因子载荷矩阵，如表2所示。正交旋转的目的是为了更好地确定公共因子的实际意义。从表2可知，公共因子F1解释了岩石质量指标、完整性指数、纵波波速3个指标，同时，碎石图中公共因子F1的特征值最为明显，说明其在判别围岩类别中起到重要的作用。同样可以确定，公共因子F2解释了另外3个指标，即饱和单轴抗压强度、弹性抗力系数和结构面摩擦系数。（3）计算因子得分。采用回归方法得出因子得分系数矩阵（见表3），根据得分系数矩阵可以写出因子得分计算公式如下：

表2　因子载荷旋转矩阵
Tab.2 Rotation matrix of component load

主成分岩石质量指标结构面摩擦系数F1完整性指数饱和单轴抗压强度纵波波速弹性抗力系数0.891　0.771　0.421　0.785　0.440　0.656 F20.345　0.557　0.872　0.571　0.876　0.662

表3　因子得分系数矩阵
Tab.3 Com ponent score coefficientmatrix

主成分岩石质量指标结构面摩擦系数F1　0.799　0.387　-0.459　0.390　-完整性指数饱和单轴抗压强度纵波波速弹性抗力系数0.438　0.107 F2-0.569-0.133　0.720-0.130　0.703　0.150

根据式（10）和式（11）计算出公共因子F1与F2具体得分，并列入表1中。

将因子分析后得到的两个公共因子F1和F2作为Fisher判别分析模型的判别因子。应用上述理论，可以得到Fisher判别函数为：

在Fisher判别分析中，判别函数的方差所占的比例体现了判别函数的解释，见表4。从表4可以看出，所得到的两个判别函数的判别能力是显著的。第1个判别函数的方差贡献率为98.4％，其判别效率较高，可以解释样本98.4％的信息，其正则相关系数是0.984，使用一次函数可以完成绝大部分样本的判别，但并不能完成全部样本的判别。运用2个判别函数来对样本进行判别，可以使得累计方差贡献率达到100％，即可以解释样本全部信息，因此，利用2个判别函数能够进行更准确的判别。表4中的组中心值表示各个判别函数在各组别中的中心值。以第1个判别函数为例，其在第Ⅱ类围岩的中心得分为7.604，在Ⅲ类围岩的中心得分为1.473，在Ⅳ类围岩的中心得分为-3.356，在Ⅴ类围岩的中心得分为-6.607。同理可知第2个判别函数在4类围岩中的中心得分。以此为基础，结合Fisher判别分析的计算理论，通过比较待判岩体的函数值与此4类围岩类别的中心值的距离就可以对新样本的围岩类别进行判别。

表4　判别函数的方差及组中心值
Tab.4 Variance and values at group centre of
discrim inant function

函数特征值方差贡献率/％累计方差贡献率/％正则相关性组中心值Ⅱ　Ⅲ　Ⅳ　　Ⅴ1 29.855 98.4　98.4 0.984 7.604 1.473-3.356-6.607 2 0.499 8 1.6　100.0 0.577-0.470 0.384 0.724-0.993

2.4　Fisher判别模型效果的检验

为了检验建立的基于因子分析的Fisher判别分析模型的有效性，采用回代估计法计算误判率，将30个建模样本的数据代入到Fisher判别分析模型中，得到的分类结果列入表1，可以看出，只有样本8与实际出现偏差，判别的正确率为96.7％。而传统Fisher围岩判别模型[20]回判结果中误判样本有2个，其序号为8和23，判别正确率为93.3％。因此，可认为基于因子分析的Fisher判别分析模型的正确率较高，比较可靠，可以运用到实际的工程项目中。此外，从判别函数分组图（图2）可观察到，误判样本8介于类别3和类别4之间，比较容易发生误判。分析其原因可能是：（1）个别不同岩体类别的样本在岩性上比较相近，有较强的关联性；（2）训练样本数据有限，所得到的训练函数精度还不够高。

图2　判别函数分组图
Fig.2 Grouping figure of discrim inant functions

3　工程应用

根据学习好的因子分析与Fisher判别模型对文献[18]中的走马岗隧洞中6个不同桩段的围岩类别进行判别，其具体岩性和指标数据如表5所示。结合式（10）和（11）计算其公共因子F1和F2的因子得分，将其结果列入表5中，并将得到的数值代入判别函数Y1（X）（式（12））中，得到6个不同围岩的Fisher函数得分值，见表6。根据Fisher判别理论，计算各个围岩得分到各类别的中心值的距离D。距离D的计算公式可表示为：距离D＝｜各类别中心值-各围岩Fisher函数得分｜。以第1个围岩为例，可计算得D2为6.478，D3为0.347，D4为4.482，D5为7.733。由于它与第3类围岩的中心点的距离D3最小，则可以判别第1个围岩属于第3类。同理，可对其他围岩的类别进行判别，其判别结果见表6，同时与神经网络模型[18]、Bayes方法[10]相比较。可见，3种方法的预测结果一致，与实际类别也完全相符，正确率为100％。神经网络方法有较强的自学习功能，预测精度较高，但需要专业的技术人员进行操作才会得到理想效果。而Bayes模型在应用过程中处理指标个数较多时效率较低。由此可见，基于因子分析的Fisher判别模型预测隧洞围岩的类别是完全可行和高效的。

表5　走马岗隧洞围岩分类指标实测值
Tab.5 M easured values of surrounding rock classification on Zoumagang tunnel

序号　　围岩岩性描述　评价指标实测值X1　X2　X3　X4　X5　X 1　洞身为微风化千枚岩，洞顶为弱风化和微风化岩F1　F 2 6 75　0.57　82.9　4 145　10　4　0.589 08　-0.089 70 2　洞顶为微风化千枚岩，岩石坚硬，裂隙稍发育　80　0.69　60　4 567　10　4　1.491 81　-0.831 89 3　微风化花岗斑岩，岩石坚硬完整，洞顶微风化和弱风化　68　0.52　120　3 980　18　5.5　-0.740 65　1.913 46 4　弱风化花岗斑岩，岩石坚硬，裂隙发育，完整性较差　42　0.45　62.4　3 681　10　4　-0.552 39　0.310 13 5　弱风化花岗斑岩，岩石坚硬，裂隙发育，完整性较差　25　0.36　62.4　3 300　3.5　3　-1.035 40　-0.014 99 6　洞身为弱风化和强风化花岗斑岩，洞顶强风化岩为主25　0.17　6.3　2 300　1　0.75　-1.120 81　-1.395 81

表6　各围岩样本的得分值和Fisher判别结果
Tab.6 Score of each sample of surrounding rock and Fisher discrim inant result

Fisher函数得分值序号D2　D3　D4　D5判别结果本文方法实际类别神经网络Baye方法1　1.126 6.478 0.347 4.482 7.733　3　3　3　3 2　0.089 7.515 1.384 3.445 6.696　3　3　3　3 3　6.81　0.794 5.337 10.166 13.417　2　2　2　2 4-0.023 7.627 1.496 3.333 6.584　3　3　3　3 5-2.768 10.372 4.241 0.588 3.839　4　4　4　4 s 6-9.298 16.902 10.771 5.942 2.691　5　5　5　5

4　结论

以上的研究表明，基于因子分析的Fisher判别模型的预测能力较强，科学合理，性能可靠，为隧洞围岩的分类预测提供了一条数学化、定量化的新途径。

（1）应用因子分析理论研究隧洞围岩分类的指标，对各个指标的相关性进行分析，避免了信息之间的重合，简化了Fisher判别分析过程的工作量。同时，经过因子分析得到岩石质量指标、完整性指数和纵波波速这3个指标对于识别隧洞围岩的类别重要性较大。

（2）利用对样本中相关性强的指标进行因子分析得到的公共因子F1和F2，建立Fisher判别模型，对隧洞围岩的类别进行判别，预测结果与实际类别完全相符，具有较强的适用性。

（3）基于因子分析的Fisher预测模型以有限的勘测数据为基础，学习样本的数量、代表性和正确性对判别结果的准确性有着直接的影响，对分界点附近的样本判别能力也比较有限。在以后的研究中，

要广泛收集工程实例资料，选取合适数量的训练样本，提高其代表性和正确性，以提高隧洞围岩分类模型的判别精度。

参考文献：

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作者简介：邵良杉（1961-），男，辽宁凌源人，博士，教授，博士生导师.（[e-mail]）

基金项目：国家自然科学基金项目（71371091）；辽宁省高等学校杰出青年学者成长计划项目（LJQ2012027）。

收稿日期：2014-08-27

doi：10.3969/j.issn.1002-0268.2015.07.016