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100以内质数表 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 质数的个数是无穷的。 欧几里得的《 几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法： 反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p 1，p 2，……，p n，设N=p 1×p 2×……×p n，那么，p n加一是素数或者不是素数。 如果p n加一为素数，则p n加一要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。 如果p n加一为 合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以p n加一不可能被p 1，p 2，……，p n整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数 集合中。 因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。 其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉利用 黎曼函数证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用 拓扑学加以证明。 素数两性定理 6（x）+-1=（pP）6乘以完全不等数加减1是一对孪生素数。 其中，6（X-1=（P 6乘以阴性不等数减去1等于阴性素数； 6X）+1=P）6乘以阳性不等数加上1等于阳性素数。 （X=/=6NM+-（M-N）阴性不等数不等于阴性上下两式； X）=/=6NM+-（N+M）阳性不等数不等于阳性上下两式。 （x)=/=6NM+-(M+-N) 完全不等数不等于阴阳上下四式产生的数。 （N，M两个自然数，N=《M） 素数分布规律 以36N（N+1）为单位，随着N的增大，素数的个数以波浪 形式渐渐增多。 孪生质数也有相同的分布规律。 以下15个区间内质数和孪生质数的统计数。 S1区间1——72，有素数18个，孪生素数7对。（2和3不计算在内，最后的数是孪中的也算在前面区间。） S2区间73——216，有素数27个，孪生素数7对。 S3区间217——432，有素数36个，孪生素数8对。 S4区间433——720，有素数45个，孪生素数7对。 S5区间721——1080，有素数52个，孪生素数8对。 S6区间1081——1512，素数60个，孪生素数9对。 S7区间1513——2016，素数65个，孪生素数11对。 S8区间2017——2592，素数72个，孪生素数12对。 S9区间2593——3240，素数80个，孪生素数10对。 S10区间3241——3960，素数91个，孪生素数18对。 S11区间3961——4752素数92个，孪生素数17对。 S12区间4752——5616素数98个，孪生素数13对。 S13区间5617——6552素数108个，孪生素数14对。 S14区间6553——7560素数113个，孪生素数19对。 S15区间7561——8640素数116个，孪生素数14对。（以上没有校正，可能有误差。） 素数分布规律的发现，许多素数问题可以解决。 质数 对于一定范围内的素数数目的计算 尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。 素数定理可以回答此问题。 在一个大于1的数 a和它的2倍之间（即区间(a, 2a]中）必存在至少一个素数。 存在任意长度的素数等差数列。（格林和 陶哲轩，2004年 ） 一个偶数可以写成两个合数之和，其中每一个合数都最多只有9个质因数。（ 挪威数学家布朗，1920年） 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个合成数，其中合数的因子个数有上界。（瑞尼，1948年） 一个偶数必定可以写成一个质数加上一个最多由5个因子所组成的合成数。后来，有人简称这结果为 (1 + 5)(中国 潘承洞，1968年) 一个充分大偶数必定可以写成一个素数加上一个最多由2个质因子所组成的合成数。简称为 (1 + 2)(中国 陈景润)
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