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根据伊斯兰教的教规，信徒无论身在何处，每天都必须朝向麦加祈祷五次，而清真寺的建造也有严格规定，其中的米哈拉布(壁龛)一定要正对着麦加。 至于要如何确定麦加的方位，若是距离不远，问题当然很简单，只要摊开地图，配合指南针即可。不过由于地球是圆的，如果距离拉大，就没有那么容易了。 ●经纬线的差异 无论任何地图，都是把地球表面的一部分转移到平面上。如果是小区域，误差就不会太大，正如把篮球剪成几十片，每片都很容易压成平面，虽然或多或少有些扭曲，但几乎都可以忽略。然而，黄金时代的伊斯兰世界幅员广阔，涵盖了北非、南欧、中亚与中东，想要把这些地区通通画在一张地图上，失真就在所难免了。 所以我们最好还是舍弃地图，改用地球仪来研究这个问题。 先讨论一个特例：如果某地和麦加在同一条子午线上，亦即两地的经度相同，那么问题同样很简单，因为麦加不是位于它的正南就是它的正北方。 可是，如果某地和麦加属于同一条纬圈，也就是两地的纬度相同，我们却不能说“麦加不是在它的正东，就是在它的正西方”。 为什么?因为想要定义方向，就要先定义直线，可是球面上当然没有直线，所以只好退而求其次，用“距离最短的线段”来代替，而这些线段一定是“大圆”的一部分。我们曾经仔细讨论过什么是大圆，在此只做个简单的复习：“经线都是大圆(的一半)，纬线则几乎都不是，只有赤道例外。”其余细节请参考〈不假外求〉这篇文章。由于麦加并非位于赤道，通过它的纬线不是大圆，所以不能用来定义方向。 接下来，我们来研究一个有趣的问题：如果某地和麦加纬度相同(北纬21度25分)，经度相差180度，那么麦加是在它的东方?西方?南方?还是北方? (如果看看地球仪，你会发现这个“某地”在夏威夷群岛附近，姑且称它为X岛吧。) 正确答案是“正北方”!因为从X岛坐飞机到麦加，最短的飞行距离是跨过北极，而不是绕过太平洋或大西洋，当然更不是绕过南冰洋。反之对于麦加而言，X岛同样在它的正北方，而不是正南方!有趣吧? 这就是所谓的“朝向问题”(qibla problem)，它是个极具宗教色彩的球面几何难题。在伊斯兰世界的黄金时代，曾有许多学者研究过这个问题，其中最有名的当数比鲁尼(Al-Biruni， 973-1048)这位波斯籍的全方位学者。 ●地球的数学 在比鲁尼那个时代，他的故乡名义上是阿拉伯帝国的领土，实际上则是小国林立，颇为类似中国的春秋战国。(虽然当时仍属伊斯兰黄金时代，但那纯粹是指文化，而非政治环境。) 比鲁尼一生经历过两个朝代：齐亚尔王朝、伽色尼王朝，这个改朝换代对他的学术生涯有着深远影响。 一夕之间从地位崇高的学者变成高级阶下囚，如果是平常人，很可能从此一蹶不振。但比鲁尼却能随遇而安，继续埋首研究各种学问。举例而言，当伽色尼国王远征印度北部，决定带他同行，他不但欣然前往，还趁机对印度文化做了深入研究，开创了“印度学”这门学问。 总而言之，比鲁尼是个全能学者，对于当时各种学问皆有所涉略，而且几乎都有重大贡献。想要在一篇短文中对他做全面介绍，注定会挂一漏万，不如锁定他在数学方面的重要成就，仔细探讨一番。 无巧不巧，这些成就几乎都和地球有关。 前面提到的“朝向问题”就是最好的例子，比鲁尼发明了四种公式，每种都能让你只要输入所在地的经纬度，便能推算出麦加的方位。 在此所谓的经纬度，可想而知和我们现在使用的不尽相同。原因很简单，当时还没有格林威治天文台，所以经度当然不会以它为准。比方说，比鲁尼所用的经度以加那利群岛某处为零度(原因可远溯至托勒密的著作)，此外就和我们所熟悉的经纬度没什么差异了。 千万别以为经纬度只有几百年的历史，事实上，早在公元前三世纪的古希腊时代，已经有学者提出经纬度的概念。这位学者不是别人，正是鼎鼎大名的埃氏(Eratosthenes)。我们在〈平的还是圆的〉这篇文章中介绍过他，强调他是第一位以正确方法测量地球周长的人。 在比鲁尼之前，想要测量地球周长，唯有使用“埃氏法”一途。这个方法有个大缺点，就是要在两个相隔甚远的地点，同时测量太阳的仰角。比鲁尼则发明了一个取代埃氏法的妙招，让测量人员不必辛辛苦苦越过沙漠，只要爬上一座高山即可。 根据比鲁尼的自述，他是在随军出征印度时想出这个方法的。当时他住在碉堡中，附近有一座高山与一片平原，某天他爬上那座高山，就突然有了灵感。虽然比鲁尼的方法是测量地球的半径，但只要乘以2π就是周长，请参考下图(埃氏法放在旁边以供对照)。 (左)比鲁尼测量地球半径的方法;(右)埃氏测量地球周长的方法 比鲁尼只要在山顶量出α角，即可根据山高h算出地球半径(∵cosα=r/r h)。埃氏的方法则必须在两个地点同时测量太阳的仰角，并量出两地的距离差。 在这个方法中，最困难的部分是测量山顶的高度(其他的测量和计算都易如反掌)，有些人以为比鲁尼是使用大家在中学都学过的“三角测量法”，这种论断犯了过度自信的谬误。胡适曾说：“做学问要在不疑处有疑”，若是可疑之处，当然更要查证。 事实上，比鲁尼甚至没有用到量角器，而是使用一个“很大的正方形”当作测量工具。有趣的是，他测量山高的方法，正如他测量地球半径，无须比较两个地点的测量结果;只要找一个适当的地点，把正方形的倾斜角度调整成如图所示(底边和地面的夹角等于山顶的仰角)，就能利用两组相似三角形的比例关系(△HGC~△CEB， △HCB~△BAF)，推算出山顶的高度。 (左)比鲁尼测量山高的方法;(右)三角测量法(作者绘) 比鲁尼只要在一处量出两条红色线段的长度(FA， CE)，即可利用两组三角形的相似关系算出山的高度(HG)。三角测量法则必须在两个地点进行测量，并量出两地的距离差。 ●自我中心投影 一提到地图投影，大家或许立刻会联想到麦卡托。其实早在麦卡托出生前几百年，比鲁尼就发明了好几种地图投影法，其中最值得一提的是“(正)方位等距投影”(azimuthal equidistant projection)。如果你觉得这个名词太专业，不妨改用“自我中心投影”这个戏称。 通常的地图投影是把地球仪想成半透明的球体，设法用灯光将其上的图案照在纸上。可是“自我中心投影”的操作型定义和灯光或影子都毫无关系，而是一种标准的机械式操作，下面先用“以北极为中心”来做说明。 在桌上铺一张纸，将地球仪倒置在纸面上，这时只有北极这一点和纸张接触。假设这个地球仪刚刚出厂，上面的油墨还没有干，那个北极就会印在纸上，而我们就将它定为地图的“中心”。 然后，让地球仪在纸面上沿着某条直线滚动(只有滚动，完全没有滑动)。在滚动过程中，虽然地球仪与纸张的接触点不断改变，但这些点通通属于地球仪上的同一条经线。因此我们可以想像，这样的滚动会把某条经线(连同其上的地形)印在纸张上。 如果将地球仪“归零”，换一个方向来滚动，就会在纸上印出另一条经线上的地形。由此可知，只要将360度都滚过一遍，大致就能把北极附近的地形全部印在纸上了。 联合国会徽：以北极为中心的正方位等距投影地图(图像来源：维基百科) |
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