07.02：所有的模态指示函数之间的不同之处

imelee 2017-07-11

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让我们来探讨一下……

这是个相当不错的问题。模态指示函数非常有用。这些不同的模态指示函数通常在实验模态分析处理数据时用到。让我们来谈谈这些常用工具中的每一个，说明它们的优点和缺点，以及每一个工具是怎样解释实际情况的。

当然，测量得到的频响函数可以看出存在多少阶模态，但当只有一条频响曲线时，就很难辨别出有多少阶模态存在了。这会是个问题，因为在一条FRF曲线中，可能没有激起所有感兴趣的模态。所有模态可能都具有方向性，由一条FRF曲线可能不容易观测到所有模态。这个问题在驱动点测量中尤为普遍，因为所有的峰值都具有相同的相位关系；空间上非常靠近的两阶模态可能很难识别。因此，为了帮助选择系统极点，多年来人们开发了许多不同的工具。现在主要使用的是：

- SUM：集总函数；

- MIF：模态指示函数；

- MMIF：多变量的模态指示函数；

- CMIF：复模态指示函数；

- SD：稳定图。

让我们来讨论以上每一个工具。使用一块平板结构作为例子结构，如图1所示。这块平板空间上存在一些密集模态，这些密集模态的存在加重了这些模态指示工具的负担。对这块平板进行MIMO测试，2个激振器作为参考点，15个加速度测量位置。

图1 用2个参考点测试平板结构

首先讨论的工具是集总函数SUM。这是一个非常简单的计算公式。本质上，SUM函数是所有测量得到的FRF之和（有时也仅使用所有FRF的一个子集）。在系统模态区域，SUM函数将达到极值。SUM函数的基本思想是：如果考虑所有的FRF，那么所有模态在绝大多数FRF中都是可见的。随着考虑的FRF越来越多，那么所有模态在所有FRF所组成的总的FRF中都可见的机会就更大。这明显优于某一条FRF，在一条FRF曲线中可能不是所有的模态都可见。

一条由所有频响函数组成的SUM函数，所图2所示。集总函数能合理地辨别出各阶模态，特别是各阶模态频率间隔比较远时。在这个图中，能观测到五个峰，这就表明在显示的频带范围内至少有5阶模态存在。集总函数的另一个重要特征是每个峰都相当宽胖，如果空间上存在非常靠近的密集模态，那么集总函数可能不能有效地显示出这些模态。

图2 2个参考点和15个加速度测点下的SUM函数

虽然SUM函数非常有用，但是不能总是有效地分辨清楚空间上的密集模态。另一个新颖的工具：模态指示函数（MIF）为识别空间上的密集模态提供了更有效的途径。MIF函数的数学表达式是FRF函数的实部。因为实部在共振峰迅速通过零位置，MIF函数通常在通过模态频率处发生急剧变化。FRF的实部在共振峰处值为零，因此在模态频率处，MIF函数的值将下降到最小。MIF函数的延伸是多变量的MIF函数（MMIF），它是对多参考点的FRF数据而言的，是多参考点的MIF函数的数学扩展。MMIF函数同样遵循单个MIF函数的基本特征。MMIF函数最大优点是多参考点数据将具有多个MIF函数（每一个参考点数据对应一个MIF函数），并且能甄别重根。MMIF函数如图3所示。

图3 2个参考点和15个加速度测点下的MMIF函数

如果第一个MIF函数出现向下坠落，那么表明这儿有一个系统极点。图3所示的1号MIF函数（图中绿色）的每一个向下坠落处都指示了系统一阶模态。注意这个函数有6个坠落尖峰，比由SUM函数观测到的模态多出了一阶。显然，在300Hz左右有一阶模态与另一阶非常靠近，而这一阶显然不能由SUM函数识别出来。

如果第二个MIF函数与第一个MIF函数同时在某个频率处向下坠落，那么表明这儿有一个重根（或者一个伪重根）。显然，图3所示的第二个MIF函数（黄色表示）在靠近100Hz处第一次向下坠落，这表明这儿有一个重根（注意到SUM函数在这个频率附近只能识别出一阶模态）。然而，第二个MIF函数的另一个向下坠落的小尖峰出现在300Hz附近，但这并不表明这儿存在一阶模态，因为第二个MIF函数向下坠落的频率与第一个MIF函数向下坠落的频率不同。指示重根的两个MIF函数必须在同一个频率处同时向下坠落。

MMIF函数是一个更准确的模态指示工具。然而，前提条件是FRF的实部在共振处，其值为零。如果FRF测量存在失真或者频响函数只有相位信息（与无实部的实模态或者复模态相关），那么MMIF函数可能不能准确地指示出这些模态。

在这种情况下，复模态指示函数（CMIF）便成为了一个更有效的工具。CMIF函数是基于FRF矩阵的奇异值分解方法确定FRF中观测到的所有主模态。奇异值图也有助于识别系统极点。CMIF函数达到极大值处就指明了系统极点。每个参考点存在一条CMIF函数曲线，如图4所示。

图4 3个参考点和15个加速度测点下的CMIF函数

显然，其中两条CMIF曲线的峰值靠近100Hz，这表明在那个频率处有两个共振峰。在300Hz附近，有迹象表明这个频率附近有两阶模态（或者可能是三阶）。CMIF函数在感兴趣的频带内为确定极点个数提供其他一些额外洞察信息。

所有的模态指示工具在参数提取过程中帮助工程师们选择系统极点。最后一个工具是稳定图（SD）。稳定图的基本原理是，如果极点是系统的全局特征，那么随着阶数的增加，由阶数逐渐增加的数学模型提取到的系统极点将重复出现。随着模型阶数的增加，其他的指示工具不具备这种连续性指示的特点。当极点达到稳定后，用图形表征这些特性将对系统极点提供一些额外的洞察。图5所示的为比先前的频带更窄的稳定图。注意到在100Hz附近表明有一对重根，而另一对重根靠近300Hz（有关稳定图的详细探讨将在接下来的某一章节中）。因此这能再次确定从MMIF函数和CMIF函数中已经确定的这些极点。