各种常见的曲线拟合方法

通过上一篇文章《什么是曲线拟合？》，我们已经明白为了获得想要的模态参数，必须对测量数据进行曲线拟合。在进行曲线拟合时，根据选择的拟合方法又分为时域与频域拟合、单自由与多自由度拟合和局部与整体拟合等方法。

当你对测量数据进行模态分析时，你的头脑中会迅速出现一些疑问：我需要怎样选择模态数据？模型存在多少阶模态？曲线拟合频带之外的模态对结果有何影响？对所有模态可以采用相同的拟合技术吗？何时使用SDOF（单自由度）拟合技术，何时使用MDOF（多自由度）拟合技术？应该使用时域还是频域拟合？整体拟合还是局部拟合？本文主要介绍以下内容：

1.    时域与频域拟合；

2.    单自由度与多自由度拟合；

3.    局部与整体拟合。

1. 时域与频域拟合

结构的模态可以通过下面的频域表达式来描述

对上式进行傅立叶逆变换，可以得到脉冲响应函数，如下所示

图1 由频响函数到脉冲响应函数

频响函数与脉冲响应函数本质上数学关系是相同的，只是看起来形式不同而已，这类似于时域与频域。很多时候我们以某种给定形式书写数学关系式，是因为这些形式的关系式含有一些数学处理技巧，使得方程更易于求解或从计算角度来考虑求解更高效。但是，本质上时域和频域是等价的，例如，从时域上看信号的幅值是很方便的，从频域去看频率成分是很方便的。因此，从理论上讲，采用时域拟合或频域拟合并没有什么大不同，但是还是有一些现实方面的差异。

模态分析要获得极点和留数，至少有一点是比较明确的，即从频域上很容易一眼就看出在关心的带宽内有多少阶模态，每阶模态频率是多少。但是这些信息从时域上看却不能一眼就看出来，需要进一步分析才能得到。

由于脉冲响应函数是近似指数衰减的信号（与锤击法响应相似），如果阻尼太大，那么脉冲响应函数将衰减非常快，导致信号中包含的有用的数据点过少，这样对于模态参数提取是非常不利的。因此，很多时候我们趋向于对小阻尼系统使用时域拟合技术，大阻尼系统使用频域拟合技术。

2. 单自由度与多自由度拟合

单自由度拟合是指一个拟合带宽内只拟合一阶模态，而多自由度拟合是指一个带宽内同时拟合两阶或两阶以上的模态。需要意识到一件事，就是拟合区域不必重叠或覆盖整个频率带宽。

如果各阶模态相隔较远，即相互之间影响小，那么可以对每阶模态使用单自由度拟合。如果各阶模态相互之间影响严重，或者模态密集程度高，那必须使用多自由度拟合。如在图2所示带宽内，第一阶模态与后面两阶模态相隔甚远，那么对这阶模态可使用单自由度拟合，而后面两阶模态相距很近，属于密集模态，所以对这两阶模态使用多自由度拟合。

图2 可能的曲线拟合带宽

因此，何时使用SDOF或者MDOF拟合技术，取决于从一阶到下一阶模态是否相互影响严重或重叠较多，如图2所示，从后两阶模态的分解成单自由度曲线可以看出，这两阶模态重叠区域较多。如果系统阻尼非常小，各阶模态相隔较远。这类模态可以用SDOF拟合技术。但如果系统阻尼非常小，各阶模态较密集，从一阶到下一阶模态存在一定的重叠，故SDOF拟合不能合理的补偿重叠模态，需要采用MDOF拟合这些模态。另外，如果模态相隔较远，但是阻尼引起了一定的重叠，同样需要MDOF进行拟合。

从图2可以看出，在一次模态分析过程中，可以同时使用单自由度和多自由拟合方法，这取决于选择的带宽内存在的模态阶数。而前面的时域拟合或频域拟合，只能选择一种拟合方法。

3. 局部与整体拟合

我们知道极点是系统的全局特性，也就是说测量不同测点时系统极点不会改变。但留数是局部特征，会随着测量位置的变化而变化。因为系统极点不随每个测量位置的改变而改变，这说明系统极点是系统的一个“整体”特性。这意味着从一次测量到下一次测量，留数会发生改变，但是极点不会改变，至少理论上是成立的。但是现实测量中，未必是这样的。现实测量时系统极点可能会移动，这将会引起问题。

由于实际测量时，系统极点也可能变化，这依赖于使用的FRF，将导致估计的极点可能存在差别，虽然理论上表明这是不会发生的。然而，用实测的FRF提取模态参数，且单独考虑每个FRF时，那么的确会出现极点发生移动的情况。这个过程称为“局部”拟合。也就是说，局部拟合对每条FRF数据单独进行分析，由分析人员判定哪个估计最佳或设法求出所有估计的最佳平均。

为了规避这个问题，同时使用所有的FRF作为一组数据，采用最小二乘法找到最佳极点，描述极点的“整体”表达。一旦估计出系统极点，接下来在模态参数估计方程中使用“整体”的极点估计去估算留数。这个过程共有两个步骤，首先估计系统的“整体”极点，接下来使用先前估计的系统“整体”极点估计留数，此时的极点已锁定为一个固定值，不管每个FRF可能的变化值，这就是“整体”拟合。也就是说整体拟合要使用全部的测量数据。

当使用局部拟合时，如果选取的FRF不合适，在所选择的FRF曲线中没有峰值，如图3所示，如选择红色或绿色FRF进行估计，那么怎么估计系统极点？这将会引起严重的问题，如果对这类数据采用局部拟合，对这两个FRF采用局部拟合，那么提取得到的模态参数将包含较差的提取值，这是因为极点估计较差。这个现象类似于模态参考点，如果模态参考点位于节点上，那么，将得不出来这阶模态。同样，这样的问题也是局部拟合的常见问题。

图3 用于拟合的FRF数据

当采用整体拟合时，首先估计系统最合适的整体极点，然后立刻用整体极点估计留数。确切地说，此时估计得到结构的模态振型才是预期想得到的模态振型。当采集数据时，必须不断的尝试，以确保数据满足整体拟合的条件：在所有测量得到的FRF中，模态必须是整体的！如果数据不一致，那么在参数估计过程中可能会产生误差。

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