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与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，是人们生活中常见的图形，也是“图形与几何”的主要研究对象。本章将在学生前面学习了一些基本的直线形——三角形、四边形等的基础上，进一步研究一个基本的曲线形——圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。本章共安排四节和三个选学内容，教学时间大约需要16课时，具体安排如下（仅供参考）： 24.1 圆的有关性质 5课时 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 5课时 24.3 正多边形和圆 2课时 24.4 弧长和扇形面积 2课时 数学活动 小结 2课时 一、教科书内容和本章学习目标 1．本章知识结构 本章知识结构如下图所示：
2．教科书内容 本章在学习了直线图形有关性质的基础上，研究一种特殊的曲线图形——圆的有关性质。圆是常见的几何图形之一，不仅日常生活中有许多圆形物体，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆的形象。圆的有关性质，也被广泛应用。圆也是平面几何中基本的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学重要的基础。圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变、一般与特殊、矛盾的对立统一等关系。所以本章教学在初中占有重要地位。 本章在小学学过圆的基础上，系统研究圆的概念和性质，圆中有关的角，点与圆、直线与圆、圆与正多边形之间的位置和数量关系。本章共分四节，第1节是“圆的有关性质”，主要内容是圆的概念和有关性质，圆的概念和性质是进一步研究圆与其他图形位置和数量关系的主要依据，是全章的基础。这一节包括“圆”“垂直于圆的直径”“弧、弦、圆心角”“圆周角”四小节。“24.1.1 圆”的主要内容是圆的概念和圆中一些相关概念。圆的概念是研究圆的性质的基础，在小学，学生接触过圆，对它有一定的认识。教科书首先结合生活中一些圆的实际例子，在小学画圆的基础上，用“发生法”给出圆的概念。接下来教科书又分析了圆上每一点与圆心的距离都等于定长，同时到定点的距离等于定长的点都在圆上，这是从点和集合的角度进一步认识圆。这样的呈现过程，进一步加深学生对圆的认识，同时强调确定一个圆的要素——圆心和半径。在认识圆的概念的基础上，教科书给出了半径、直径、弦、弧等概念。让学生结合图形认识这些概念，注意进行比较，分清它们的异同。接下来教科书探究并证明了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理及其推论等。垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本节的重点。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算，证明角相等，证明弧、弦相等等问题提供了简便的方法。由于垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆；圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对分类证明的必要性难以理解，所以这两部分内容是本节教学的难点。 第2节是“点和圆、直线和圆的位置关系”。当点在圆上时，由这些点得到的多边形（圆内接多边形）的角和边的性质更加丰富；同样，当直线和圆相切时，由这些直线得到的多边形（多边形的外切圆）的边和角的性质更加丰富。在“点和圆的位置关系”中，教科书首先结合射击问题，给出了点和圆的三种不同位置关系，接下来讨论了过三点的圆及三角形的外接圆，并结合“过同一直线上的三点不能作圆”介绍了反证法。在“直线和圆的位置关系”中，教科书首先讨论了直线和圆的三种位置关系，然后重点研究了直线和圆相切的情况，给出了直线和圆相切的判定定理、性质定理，探索并证明了切线长定理，在此基础上介绍了三角形的内切圆。本节中，直线和圆的位置关系是中心内容，切线的判定定理、性质定理，切线长定理等是研究直线和圆的有关问题时常用的定理，是本节的重点内容。反证法的思想在前面章节有所渗透，在这节正式提出。由于反证法是一种间接证法，学生接受有一定的困难，因此反证法的教学是本节的一个难点；另外切线的判定定理和性质定理的条件和结论容易混淆，证明性质定理又要用到反证法，因此这两个定理的教学也是本节的难点，同时是本章的难点。 有了对于点和圆、直线和圆的位置关系的学习基础，对于圆和圆的位置关系，研究方法与研究点和圆、直线和圆的位置关系一脉相承，都是从几何特征（交点个数）和代数特性（圆心的距离和半径的关系）两个角度考虑。考虑到研究内容和研究方法的连贯性，本节最后安排了“实验与探究”的选学内容，让学生类比点和圆、直线和圆的位置关系，研究圆和圆的位置关系，进一步体会其中的研究方法。 正多边形是一种特殊的多边形，在生产和生活中有着广泛的应用，它有一些类似于圆的性质。例如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合。正多边形也是轴对称图形，有n条对称轴；当n为偶数时，它也是中心对称图形，而且绕中心每旋转 第4节是“弧长和扇形的面积”，它包括“弧长和扇形的面积”“圆锥的侧面积和全面积”两部分。“弧长和扇形的面积”是在小学学过的圆周长、面积公式的基础上推导出来的，应用这些公式，可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积。由于圆锥的侧面展开图是扇形，所以教科书接下来介绍了圆锥的侧面积和全面积的计算，它们是圆的弧长和扇形面积的直接应用。这些计算是几何中基本的计算，在日常生活中也经常用到，运用这些知识可以解决一些简单的实际问题。圆锥侧面积的计算还可以培养学生的空间观念，对这部分内容的教学要重视。 3．本章学习目标 （1）理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点和圆的位置关系。 （2）*探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。 （3）探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，理解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补。 （4）了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会用三角尺过圆上一点画圆的切线。*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。 （5）了解三角形的内心和外心，会利用基本作图作三角形的外接圆、内切圆。 （6）了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，会利用基本作图作圆的内接正方形和正六边形。 （7）会计算圆的弧长、扇形的面积。 （8）结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生演绎推理能力；通过本章的教学，进一步培养学生综合运用所学知识，分析问题、解决问题的能力。 二、编写时考虑的几个问题 1．突出图形性质的探索过程，实现直观感知、操作实验和逻辑推理的有机结合 圆既是日常生活中常见的图形之一，又是平面几何中的基本图形。本章重点研究了与圆有关的一些性质。教科书在编写时，注意突出图形性质的探索过程，重视直观感知、操作实验和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、操作确认、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。 例如，结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点和圆、直线和圆之间的位置关系等等。在学生通过观察、操作、变换探究得出图形的性质后，要求学生能对发现的性质进行证明，实现直观感知、操作实验和逻辑推理的有机结合，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论后的自然延续。 2．注意联系实际，突出知识的背景和应用 圆是人们日常生活和生产中应用较广的一种几何图形，不仅日常生活中有许多圆形物体，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆的形象。这部分内容与实际联系比较紧密。教科书编写时充分注意到这一点。例如，在引入圆、正多边形等概念时，举了大量实际生活中的例子；在介绍点和圆、直线和圆的位置关系时，注意从它们在实际生活中的应用引入；利用垂径定理解决赵州桥主桥拱半径问题；利用正多边形的有关计算求亭子的地基；实际问题中有关弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算问题等等。教科书的例、习题中也有很多实际应用的例子等等。这些材料都从实际中提炼出来，通过这些知识，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。 3．渗透一般与特殊、已知与未知转化等数学思想方法 本章涉及的数学思想方法比较多。例如，圆周角定理证明中的通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况进行证明；研究点和圆、直线和圆的位置关系时分类的思想；研究正多边形的有关问题是通过把问题转化为直角三角形中的问题来解决；正多边形的画图通过等分圆来完成；等等。通过这些知识，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。 另外，在本章通过理论联系实际，对学生进行唯物论认识论教育；通过圆的许多性质之间的内在联系，圆与其他图形之间量变与质变、一般与特殊之间的关系等，对学生进行辩证唯物主义观点的教育，培养他们良好的个性品质。 4．重视知识间的联系与综合，实现图形的性质、图形的变化和图形的证明的有机结合 圆是学生学习的第一个曲线形。由直线形到曲线形，在认识上是一个飞跃。在教学时，应注意充分利用学生学过的圆的知识，作好前后衔接。注意加强圆和直线形的联系，把圆和直线形的有关问题对照讲解。如在讲“不在同一直线上的三个点确定一个圆”时，可以和“两点确定一条直线”对照，加深学生对知识的理解。教科书在编写时，注意从学生学习规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用。例如，在讲圆的定义时，先回顾小学学过的定义，在分析圆上的点的特征的基础上，用集合语言重新给出描述；在学习圆及正多边形的计算时，注意将新知识与直角三角形的知识、小学学过的圆的周长与面积的知识联系起来，使新知识在学生眼里不陌生，容易接受。 圆是一种特殊曲线，它有独特的对称性。它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任何一条直径所在直线都是它的对称轴。绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合（旋转对称性）。圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此应当让学生很好地掌握。在研究圆的有关性质时，充分利用圆的对称性也是本章编写的一个特点。如垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线长定理等，都是让学生充分利用圆的这些对称性，通过观察、实验等探究出性质，再进行证明，实现图形的性质、图形的变化和图形的证明的有机结合。 三、对教学的几个建议 1．进一步培养推理论证能力 从培养学生的逻辑思维能力来说，“圆”这一阶段处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段。不仅要求学生能熟练地用综合法证明命题，通过探索，展现推理过程，而且要求了解反证法。教学中要重视推理论证的教学，进一步提高学生的思维能力。在推理与证明的要求方面，除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外，有一些图形的性质直接由已有的结论经过推理论证得出（如圆周角定理的推论、圆内接四边形对角互补等）。另外，为了巩固并提高学生的推理论证能力，本章定理证明中，除了采用规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明方法。这种方法不是先有定理再去证明，而是根据题设和已有知识，经过推理，得出结论。这些对激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，发展学生思维能力都有好处。教学中要注意启发和引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展。 另外，这部分内容涉及的图形很多是圆和直线形的组合，题目也比较复杂，教学时应注意多帮助学生复习有关直线形的知识，做到以新带旧、新旧结合，加强解题思路的分析，帮助学生树立在一定条件下，已知与未知、简单与复杂、特殊与一般可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的方法。如对于圆周角定理的证明，可以先从最简单的情况——角的一边经过圆心时入手，再推广到一般情形。通过这样的训练，可以提高学生的逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力。 2．加强研究方法的引导，通过类比学习相关内容 圆是平面几何中一种基本的图形，它是一种特殊的曲线。圆的许多性质是通过与圆有关的线段（如直径、弦、切线等）和角（如圆心角、圆周角等）体现的。在本章的教学中，要注意结合相关内容，体现这种研究圆的思路。例如，垂径定理建立了直径、弧、弦之间的关系；有关弧、弦、圆心角的定理建立了弧、弦、圆心角之间的关系；圆周角定理建立了圆周角与圆心角之间的关系，从而把圆周角与弧、弦联系起来，等等。 另外，在本章，许多内容之间、研究方法相同或相近。在教学中，要注意体现这种联系，通过类比学习相关。例如，类比圆心角的概念学习圆周角的概念，不仅有助于概念的理解，也有助于发现同弧所对的圆周角与圆心角的关系。再如，对于点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系，也可以通过类比学习。对于这些位置关系，都可以从两个方面研究：一方面研究它们的几何特征，即交点的个数；另一方面研究它们的代数特征，即圆的半径和两个图形之间的距离（如果把圆抽象成一个点，点和圆的距离就是点和圆心的距离；直线和圆的距离就是圆心到直线的距离；圆和圆的距离就是两个圆心之间的距离）之间的数量关系。 3．注意把握好知识内容和演绎论证的要求 教学内容应当限制在课标和教材范围之内，按照课标要求删减的内容，教学中不要再拣回，以免影响学生对基础知识的学习。对于推理论证的要求，在本章，要求学生对于一些圆的有关性质进行证明，并利用这些性质去证明一些相关的结论。但要注意，这里的证明也要控制难度，对于一般学生，控制在教科书“综合应用”的题目难度内，对于学有余力的学生，可以要求他们完成“拓广探索”栏目的习题。 另外，圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性（轴对称和旋转不变性），教科书在证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性。但是，因为用对称的定义证明问题，对学生来说比较困难，所以在本章的教学中，一方面要重视利用圆的对称性（教科书中在使用圆的对称性）；另一方面又不要求学生严格地利用对称性写出证明过程。教学中要把握好这个要求。 4．关于反证法 反证法的思想在七年级上册开始涉及，在后续章节也有相关应用。但当时只是渗透反证法的思想，没有作为一种证明方法提出。在本章，结合“过同一直线上的三点不能作圆”，正式提出了反证法，并且在后续内容，如“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明时得到应用。但是反证法不是直接证法，而是一种间接证法，学生接受起来有一定难度。因此，教科书主要要求让学生理解反证法的思想，也没有安排相应的习题。一定要把握好对反证法的要求，知道它是证明问题的一种方法，不要求让学生做过多过难的关于反证法的习题。 5．重视信息技术的应用，在动态变化中发现图形的性质 在本章教学中，有条件的学校应重视信息技术工具的使用。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，让图形动起来。许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形运动变化过程中发现其中不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质。 例如，本章许多图形的性质都可以利用计算机软件设置一些探究活动，让图形动起来，在这种运动变化中发现图形的性质。如弧、弦、圆心角之间的关系。许多计算机软件具有测量功能，可以方便地测出角的大小和线段的长度，这有利于在运动变化中观察它们的关系，发现图形的性质。如圆周角定理。另外还可以通过计算机软件让图形动起来，在动态变化过程中去发现点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系，通过测量，发现与这种位置关系对应的数量关系，如直线和圆的位置关系中圆心到直线的距离与圆的半径的关系，两圆位置关系中圆心距与圆的半径的关系等。 |
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来自： 百眼通 > 《10九上数学_学-314》
