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【圆】相关笔记整理

一：圆的相关概念

 

圆的定义

在一个个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径。

 

直线圆的与置位关系

 

1.线直与圆有唯公一共时，点做直叫与圆线切

 

2.三角的外形圆接的圆叫做三心形角外心

 

3.弦切角于所等夹弧所对的圆心角

 

4.三角的内形圆切的圆叫做三心形角内心

 

5.垂于直径半直线必为圆的的切线

 

6.过径半外的点并且垂直端于半的径直线是圆切线

 

7.垂于直径半直线是圆的的切线

 

8.圆切线垂的直过切于点半径

圆的几何表示

 

以点O为圆心的圆记作“⊙O”，读作“圆O”

 

二：垂径定理及其推论

 

垂径定理

 

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

 

推论1

(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

(3)平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

 

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。垂径定理及其推论可概括为：过圆心、垂直于弦、直径、平分弦、知二推三、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧

三：弦、弧等与圆有关的定义

 

1、连接圆上任意两点的线段叫做弦。

2、经过圆心的弦叫做直径。

3、圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

4、圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。弧用符号“⌒”表示。大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示);小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)

四：圆的对称性

 

1、圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

 

五：弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

 

1、顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、从圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦想等，所对的弦的弦心距相等。

 

六：圆周角定理及其推论

 

1、顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

 

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

 

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

 

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

 

七：点和圆的位置关系

 

设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：

 

位置关系	数量关系
点在圆外	d>r
点在圆上	d=r
点在圆内	d<r

八：过三点的圆

 

1、过三点的圆

不在同一直线上的三个点确定一个圆。

 

2、三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

 

3、三角形的外心

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

 

4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。

九：反证法

 

先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

 

十：直线与圆的位置关系

 

直线和圆有三种位置关系

具体如下：

(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;

(2)相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，

(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：

位置关系	数量关系
相离	d>r
相切	d=r
相交	d<r

 

十一：切线的判定和性质

1、切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

 

2、切线的性质定理

圆的切线垂直于经过切点的半径。

 

十二：切线长定理

 

1、切线长

在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

 

2、切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

 

十三：圆和圆的位置关系

 

1、圆和圆的位置关系

如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

 

2、圆心距

两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

 

3、圆和圆位置关系的性质与判定

设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么

位置关系	数量关系
外离	d>R+r
外切	d=R+r
相交	R-r<d<R+r
内切	d=R-r
内含	d<R-r

 

4、两圆相切、相交的重要性质

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。