不等式的性质、算术平均数与几何平均数

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一、重难点知识选讲

1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系

　　不等式的等价性：两个实数、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有，

　　（1）＞b －b＞0；

　　（2）=b－b=0；

　　（3）＜b －b＜0.

　　等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据.

　　本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小.

　　用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题.

2、不等式的性质、推论及证明

　　不等式的五个性质和三个推论是不等式这一章的理论依据。

　　（1）＞bb＜；（反身性）

　　（2）＞b，b＞c＞c；（传递性）

　　（3）＞b＋c＞b＋c；（两边同加数号不变）；推论：移项法则.

　　（4）；（两边同乘正数号不变）；

　　（5）；（两边同乘负数号改变）；推论：去系数法则.

　　（6）；（同向相加）

　　（7）；（异向相减）

　　（8）；（同向相乘）

　　（9）；（异向相除）

　　（10）＞b（倒数关系）

　　（11）＞b＞0n＞b n（nN+）；（不等式的幂）

　　（12）＞b＞0（nN+）；（不等式的方根）

3、算术平均数与几何平均数

　　若a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab（当且仅当a=b时取等号）通常称为重要不等式．两正数a，b的算术平均数，几何平均数，平方平均数，调和平均数的大小关系为H≤G≤A≤Q（等号当且仅当a=b时取得），这也称作均值不等式.运用重要不等式和均值不等式，可以比较大小，证明不等式，求最值．

　　基本不等式有：

　　①，；　　　　　②，；

　　③，；　　④，；

　　⑤，；

　　⑥，.

二、典型例题解析

例1、 已知，b∈R+ ,求证：n＋bn≥n-1b＋bn-1．（nN）

分析：

　　比较两个实数的大小，常根据实数的运算性质与大小顺序的关系，归结为判断它们的差的符号来确定. 证明此题要注意分类讨论。

证明：n＋bn －(n-1b＋b n-1)

　=(n-1－bn-1)－b(n-1－b n-1)

　=(－b)( n-1－bn-1)

　若＞b

　

　若=b(－b)( n-1－b n-1)=0.

　若＜b

　

　综上,≥O,即n＋b n －(n-1b＋b n-1)≥O

　∴n＋b n≥n-1b＋b n-1．

小结：

　　比较大小常用作差法，一般步骤是作差——变形——判断符号．变形常用的手段是分解因式和配方，前者将“差”变为“积”，后者将“差”化为一个或几个完全平方式的“和”，也可两者并用.

例2、已知f(x)=px2－q，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.

分析：

　　本题可考虑将f(3)写成f(1)，f(2)的线性组合，即f(3)=mf(1)＋nf(2)的形式，然后用不等式的运算性质推算f(3)的取值范围.

解答：依题意，有

点评：

　　（1）这种类型题目常见的错误是：

　　 由，加减消元得0≤p≤3，1≤q≤7，

　　 从而得－7≤f(3)＝9p－q≤26，事实上，f(3)不可能取到[－7，26]上的一切值.

　　 p，q是两个相互联系，相互制约的量，在得出0≤p≤3，1≤q≤7后，并不意味着p、q可以独立地取得区间[0，3]及[1，7]上的一切值，例如p=0，q=7时，p－q=－7已不满足－4≤p－q≤－1.

　　（2）依不等式的性质求变量的范围是一种常见的题型，变形不等式时要防止扩大了变量的范围.

例3、（1）已知30<x<42，16<y<24，求的取值范围.

　　 （2）已知a，b，x，y都是正数，且，求证：

分析：（1）同向不等式不能相除，应先求出的取值范围.

　　　（2）注意运用取倒法则，优化解题过程.

解：

（1）

　　 

（2）．

　　 

小结：

　　不等式的性质中讲了加法和乘法运算，对于减法和除法必须转化为加法和乘法来运算，千万不能把等式的减、除法运算平移到不等式的运算中来.

例4、已知a，b，c都是正数，且a＋b＋c=1，求证：

　　 

 

分析：

　　在不等式证明中，几个正数的和为1，常常作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键.

证明：

（1） ∵ a＋b＋c=1，且a＋b＋c∈R＋.

　　 

（2）∵ a，b，c∈R＋且a＋b＋c=1.

　　 

（3）∵ a，b，c∈R＋且a＋b＋c=1.

　　 

小结：

　　以上各小题在证题过程中，或是将分子的1看作a＋b＋c，然后拆项，或是将原代数式乘以一个值为1 的因式（a＋b＋c）2以利用整理变形，这些常用的“1”的变换技巧很重要.

利用基本不等式求最值：

　　①当时，不等式成立；

　　②当且仅当时，不等式中，“等号”成立；

　　③若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最小值；

　　④若为定值，不等式即为，当且仅当时，有最大值；

　　注：以上简称“和小积大”；有否最值的关键为是否有定值，且当时，能否求出解来.

例5、若a>b>0，求证：的最小值为3.

证：∵ a>b>0，∴ a－b>0，则

例6、（2005年，黄冈）已知实数a，b，c满足条件：，其中m是正数，对于f(x)=ax2＋bx＋c.

　　（1）求证：；

　　（2）当a为何值时，方程f(x)=0在（0，1）内有解？

分析：本题利用不等式的基本性质，充分体现了函数、方程与不等式之间的关系。

解：

　　

　　∴m>0，∴.

（2）f(0)=c，f(1)=a＋b＋c，当a>0时，由（1）知，∴.

　　若c>0，f(0)=c>0，∴方程f(x)=0在（0，）内有解.

　　若c≤0，f(1)= a＋b＋c=a＋(m－1)·＋c=>0，

　　∴方程f(x)=0在内有解.

　　当a<0时，同理可证.

　　由（1）知a≠0，故当a≠0时，方程f(x)=0在（0，1）内有解.

　　应用问题与不等式的结合考查在高考中非常多见，尤其是运用重要不等式，求最值的题型．

例7、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上、下各留8cm的空白，左、右各留5cm的空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？（2001年全国高考题）

分析：

　　先根据题意画出草图，设画面的宽为自变量x（cm），将所用纸张面积表示成x的函数，再求函数的最小值.

解：如图所示，设画面的宽为xcm，则画面的高为，设纸张面积为Scm2.

　　

答：画面高为88cm，宽为55cm时，能使所用纸张面积最小.

例8、（97·全国·理·文）甲、乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米/时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元．

　　（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；

　　（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

分析：根据题意建立函数关系式，然后运用不等式的性质求最值.

解：

（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为

　　故所求函数及其定义域为.

（2）依题意知S，a，b，v都为正数，故有

　　

　　因为c－v≥0，且a>bc2，故有a－bcv≥a－bc2>0，

　　所以，且仅当v=c时等号成立，

　　也即当v=c时，全程运输成本y最小.

　　综上知，为使全程运输成本y最小，当≤c时行驶速度应为v=；

　　当>c时行驶速度应为v=c.

小结：

　　与不等式有关的应用问题，在用重要不等式求最值时，应注意“正、定、等”三个字，即研究的对象为正数，积或和为定值，相等时取最小值或最大值.

例9、某公司某年需要某种计算机元件8000个，在一年内连续作业组装成整机卖出（每天需同样多的元件用手组装，并随时运出整机至市场），该元件向外购买进货，每次（不论购买多少件）须花手续费500元，如一次进货，可少花手续费，但8000个元件的保管费很可观，如果多次进货，手续费多了，但可节省保管费，请你帮该公司出个主意，每年进货几次为宜，该公司的库存保管费可按下述方法计算：每个元件每年2元，并可按比例折算成更短的时间：如每个元件保管一天的费用为元（一年按360天计算）．每个元件的买价、运输费及其他费用假设为一常数．

解：

　　设购进8000个元件的总费用为F，一年总保管费为E，手续费为H，元件买价、运输费及其他费用为C（C为常数），则 F=E＋H＋C.

　　如果每年进货n次，则每次进货个，用完这些元件的时间是年．进货后，因连续作业组装，一年后保管数量只有（－a）个（a为一天所需元件），两天后只有（－2a）个，……，因此年中个元件的保管费可按平均数计算，即相当于个保管了年，每个元件保管年须元，在这年中个元件的保管费为.

　　每进货一次，花保管费En元，一共n次，故

　　

　　当且仅当=n·500，即n=4时，总费用最少，故以每年进货4次为宜．

说明：

　　这道寻求最佳进货次数的问题，是北京市首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛初赛试题（1993.11），求解的关键数学知识是“的极小值是”.