高中数学：基本不等式

一、基本不等式的内容：

如果a,b是正数，那么

说明：（ⅰ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此不等式又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

证明2：要证：，

只要证：

只要证：

只要证：

因为最后一个不等式成立，所以不等式成立，当且仅当）

证明3：∵

即

显然，当且仅当

二、不等式的几何意义：

均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”。

以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b。过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即

这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立。

三、推论：如果，那么 （当且仅当时取“=”）

证明：

四、关于“平均数”的概念

如果 则：叫做这n个正数的算术平均数；叫做这n个正数的几何平均数。

推广： ≥    

语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

例1、已知x,y都是正数，求证：

（1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值

（2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值。

证明：因为x,y都是正数，所以  

（1）积xy为定值P时，有   

上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值。

（2）和x+y为定值S时，有   

上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值。

说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：

（ⅰ）函数式中各项必须都是正数;

（ⅱ）函数式中含变量的各项的和或积必须是常数；

（ⅲ）等号成立条件必须存在。

例2、已知x、y都是正数，求证：（1）≥2；

（2）（x＋y）（x²＋y²）（x³＋y³）≥８x³y³。

分析：在运用定理：时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质（把握好每条性质成立的条件），进行变形。

证明：∵x，y都是正数，∴＞0，＞0，x²＞0，y²＞0，x³＞0，y³＞0

（1）＝2即≥2。

（2）x＋y≥2＞0；x²＋y²≥2＞0；x³＋y³≥2＞0

∴（x＋y）（x²＋y²）（x³＋y³）≥2·2·2＝８x³y³

即（x＋y）（x²＋y²）（x³＋y³）≥８x³y³。

例3、已知a,b,c,d都是正数，求证：

分析：此题要求注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识。

用均值不等式证明题时，要注意为达到目标可先宏观，而后微观；均值不等式在运用时，常需先凑形后运用；均值不等式和不等式的基本性质联合起来证题是常用的行之有效的方法。

证明：∵a,b,c,d都是正数，∴ab＞0，cd＞0，ac＞0，bd＞0。

得    

由不等式的性质定理4的推论1，得

即

 

例4、设0＜x＜2，求函数f（x）=的最大值，并求出相应的x值。

分析：根据均值不等式：，研究的最值时，一要考虑3x与８－3x是否为正数；二要考查式子［3x＋（８－3x）］是否为定值。

解：∵0＜x＜2, ∴3x＞0，８－3x＞0

∴f（x）＝≤＝4

当且仅当3x＝８－3x时，即x＝时取“＝”号。

故函数f（x）的最大值为4，此时x＝。

例5、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m³,深为3m，如果池底每1m²的造价为150元，池壁每1m²的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理。

此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得

当

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。

小结：基本不等式（）常用于证明不等式以及求某些函数的最大值与最小值。在解决问题时，我们重点从以下三个方面加以考虑：一是均值不等式成立的条件（各因式或项都取正值）；二是合理寻求各因式或项的积或和为定值；三是确定等号能够成立。只有这样，我们才能在分析具体问题的特点的过程当中合理运用公式的适当形式和具体方式，解决某些函数的最值问题。