算术平均数与几何平均数

【基础知识导引】

　　1．什么叫算术平均数？什么叫几何平均数？

　　2．均值定理的内容是什么？运用均值定理不定式要注意哪些条件？

　　3．均值定理有哪些应用？

　　

　　【重点难点解析】

　　1．本节利用不定式的性质，推导出两个基本而又重要的不等式：如果a、，那么（当且仅当a=b时取“=”号）；如果a、b是正数，那么（当且仅当a=b时取“=”号）。这里，我们称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数，因而后者可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，简称均值定理。

　　2．均值定理是本节的重点，在学习时要注意以下几点：

　　（1）a、b的范围，与成立的条件是不同的，前者只要求a，，而后者只有当a，时，，，由不难推导。

　　（2）结论的形式，；，（a，），这是两个重要的基本不等式，常见的形式还有：

　　①；

　　②若a，，；

　　③若a，，；

　　④若a，，；

　　⑤若，，。

　　解题中不仅要记住原来的形式，还要逐步熟练掌握其他几种常见形式及成立条件，这也是学习数学概念应下的功夫，只有这样，才能透彻理解数学公式所表示的若干量之间的本质联系，而不能只满足对某个固定形式的简单识记。

　　（3）等号取到的条件，括号中所说的“仅当a=b时取‘=’是指：一方面当a=b时取“=”号，另一方面当取“=”号时，必有a=b。

　　（4）均值定理中的a、b可以是满足条件的实数，也可以是满足条件的代数式，正因如此，它的应用十分广泛，今后我们遇到不少问题，将可以根据条件，转化为可以利用均值不等式的形式使问题得到解决。

           几何平均数，平方平均数，调和平均数，算术平均数之间的大小关系：

           调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

　　3．教材例1的结论常用来求函数的最值，在运用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”时，必须满足条件“一正二定三相等”：“一正”——字母为正数；“二定”——积或和为定值（有时需通过“配凑法”凑出定值）；“三相等”——等号能否取到。

           一正二定三相等是指在用不等式 A+B≥2√AB  证明或求解问题时所规定和强调的特殊要求．

           一正信息：A、B 都必须是正数．

           二定信息：

          1.在A+B为定值时，便可以知道A·B的最大值；

          2.在A·B为定值时，便可以知道A+B的最小值．

          三等信息

         当且仅当A、B相等时，等式成立；即

        ① A=B ? A+B=2√AB；

        ② A≠B ? A+B>2√AB．

　　4．由（a>0，b>0）可以推广到三个正数的情形（大纲中只要求掌握两个正数的情形），事实上如果a、b、c为正数，那么，当且仅当a=b=c时上式取“=”号（证明见课本阅读材料），而且可以进一步引申出定理：一般地，对于n个正数，我们把，分别叫做这n个正数的算术平均数与几何平均数，这时有，当且仅当时等号成立，即n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，阅读课本有关的阅读材料，可以拓宽我们的知识面。

　　

　　【难题巧解点拨】

　　例1  a、b、，求证：

　　解  ∵，，

　　以上三式相加得

　　而，，

　　以上三式也相加得

　　∴

　　当且仅当a=b=c时等号成立。

　　点评  多次用到均值不等式，但等号成立的条件必须是相同的。

　　

　　例2  下列四个命题：①函数的最小值为2；

　　②函数，的最小值为；

　　③函数的最小值为2；

　　④若a>2，则的最小值为4。

　　其中正确的命题题号为________________________________。

　　分析  四个命题的形式都是的形式，可考虑运用均值不等式。

　　解  对于命题①，函数中由于x≠0，不满足均值不等式中“一正二定三相等”中“一正”之条件，故不正确，其正确范围为y≥2或y≤－2。

　　对于命题②，若，则当且仅当时等号成立，不满足“三相等”之条件，故不正确，若要求y的最值，可令，考察在的单调性（减函数），。

　　对于命题③，，要等号成立，当且仅当，x无解，也不满足“相等”之条件，故不正确，若求y的最值，可令，考察在的单调性（增函数）。

　　对于命题④，通过变形，，当且仅当a－2=1即a=3时等号成立，故命题正确。

　　点评  通过本题，可以看到在运用均值不等式求函数最值时，一定要注意使用条件“一正二定三相等”，对于某些在“形式”上不满足的可以通过适当的“配凑”来实现“定值”，从而运用均值不等式（命题④）；对于某些虽在“形式”上满足，但等号不能成立的可通过函数的单调性来加以解决。

　　

　　例3  设a，b，，求证：

　　

　　分析  本题的难点在于寻找与a+b之间的关系，因此，不难联想，运用此公式，问题就不难解决。

　　解：∵，

　　，

　　∴，则，（当且仅当a=b时，等号成立）

　　同理：，，三式相加得：

　　（当且仅当a=b=c时等号成立）

　　点评  在证明不等式时，要善于分析不等式两边的结构特征，发挥联想，另外，公式在解题中经常用到。

　　例4  若，且，求的最大值。

　　分析  由于是求积的最大值，可考虑运用均值不等式。

　　解  

　　。

　　当且仅当即时式中等号成立。

　　故的最大值为。

　　点评  通常情况下，若所求最值的表达式是（函数）式“和”或“积”的形式，应优先考虑运用均值不等式来解决，在应用过程中还应注意适当的配凑，使之相应的“积”或“和”为定值，本题也可以先消元（消），转化为关于的二次函数来求解。

　　

　　例5  已知函数x，y满足x+2y=1，求的最小值。

　　分析 考虑到x+2y=1，可联想三角换元或“1”的代换。

　　解法一  令，，

　　∴

　　

　　∴的最小值为。

　　解法二

　　。

　　点评  本题的常见错误如下：

　　∵x+2y=1，

　　∴，…………①

　　∴，

　　又 ………………②

　　………………③

　　错误原因：①式中等号成立的条件是x=2y；②式中等号成立的条件是x=y，故③中的等号不能成立。

　　变题：已知求x+2y的最小值。

　　引申：已知（x，y，a，，且a≠b），求x+y的最小值。

　　

　　【拓展延伸探究】

　　例1  求函数的最小值。

　　分析  本题从形式上分析是求一个分式函数的定义域，通法是运用判别式法，但考虑到x>－1这一条件，判别法不能解决，但仍可以运用方程理论（根的分布）解决，但比较繁琐，注意到x+1>0，若令t=x+1，不难化得，下面用均值不等式即可解决。

　　解  令t=x+1，则x=t－1

　　当且仅当，即t=2，亦即x=1时，取等号。

　　故的最小值为9。

　　点评 求解有条件限制的某些分式不等式（分子、分母分别为一、二次函数）最值时，常常可用均值不等式解决，1998年全国高考理（22）题求“流出水中杂质最小”便是一例。

　　

　　例2  甲、乙两地相距skm，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过ckm/h，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（km/h）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元。

　　（1）把全程运输成本y(元)表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；

　　（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？

　　分析 本题是1997年全国高考理（22）题，关键在于建立目标函数，通过均值不等式求最值。

　　解  （1）依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为

　　∴所求函数及其定义域为，

　　（2）依题意知，s，a，b，v均为正数，

　　∴        ①

　　当且仅当则时，①中等号成立。

　　若，则当时有；

　　若，则时有

　　

　　∵c－v≥0且，

　　∴，

　　∴。

　　当且仅当v=c时，有。

　　综上可知：为使全程运输成本最低，

　　当时，

　　当时v=c

　　点评  在本题解答过程中，许多考生只考虑到一种情况，原因在于对均值不等式中等号成立的条件疏忽了，对于形如形式的函数的性质要熟悉，有利我们在求最值时的应用（具体见学法总结）。

　　

　　例3  观察下列不等式

　　（1）若a，，则（当且仅当a=b时等号成立）

　　（2）若a，b，，则（当且仅当a=b=c等号成立）

　　（3）若a，b，c，，则（当且仅当a=b=c=d等号成立）

　　根据以上结论，推广出更一般的不等式，只要写出结论，不要证明，用文字语言叙述。

　　分析  观察（1），（2），（3）的规律，不难得出推广结论。

　　解  更一般的结论为：

　　若，则

　　，

　　当且仅当时，等号成立。

　　文字叙述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

　　点评  本题的编制背景为课本P24的阅读材料，目的在于引导同学要重视课本的阅读材料和实习作业，主动参与到研究性学习中去。

　　对于均值不等式大纲和《考试说明》都作了明确的阐述：“掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单运用”，但对于三个正数的均值不等式也应有所了解，下面举例加以说明。

　　（1）若a，b，，且a+b+c=1，求证：。

　　证明：由及得

　　，即

　　变题1，求证。

　　（提示：（a+b）+（b+c）+（c+a）=2）

　　变题2，求证：

　　（提示：）

　　（2）求的最小值。

　　解：，当且仅当即时等号成立。

　　

　　【命题趋势分析】

　　1．均值不等式“”中的a，b既可以表示具体数字，也可能是比较复杂的代数式，因此，记忆公式时，不必死记，要理解其实质即表示了两个量之间的本质关系，不能只记住其固定形式，善于（敢于）对公式变形并运用。如，由不难得到“”这一常用结论，若a，b，，用分别替代公式中的a，b，c，可得到结论，我们还可以推出，

　　。

　　若a+b+c=1可得出：，等等，对这些结论适当加以记忆，有助于提高解题能力。

　　2．关于函数（a，b为常数，x≠0），它是我们在利用均值不等式求最值时常用到的函数，具体性质如下表：

 

定义域	值域	奇偶性	单调性	渐进线	图像
x≠0		奇函数	在 和 为增函数，在 和 为减函数	y=ax

 

　　3．均值不等式的适用条件为“一正二定三相等”，尤其要注意等号成立的条件，解决形如的函数最值时，若不能运用均值不等式，可利用其单调性求最值。

　　4．连续两次使用均值不等式求最值或证明时，应注意两次“能等”的条件必须一致，否则不可使用。

 

http://ziyuan./BD/beida/FileLibrary/directions/g2v5sxb450aa02/g2v5sxb450aa02.htm