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基本不等式在原来的教材中叫做重要不等式，从这个命名方式大家就可以想见它的重要程度，这个内容在数学教材必修第一册中是这样给出的。  这部分内容就算是初中生读起来也没有任何难度。但是，基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系来说，基本不等式（也叫做均值不等式）不仅本身是一个重要的数学知识模块，而且能与多个知识分支相互融合；从思维能力角度来说，基本不等式反映了创造性和严谨性的有机结合，发散性思维和收敛性思维的辩证统一。所以我们要重视这块内容的学习，在考试中，这一块还是会出现一些很难的题目的，值得我们好好研究一下。 【问题一】什么叫算术平均数和几何平均数？ 平均数也叫均值，它是表示一组数据集中趋势的量数，我们经常用它来比较两组数据的差异。 我们先看这样一个问题：在高一入学后进行的两次数学考试中，A同学的得分分别是60和 120，B同学的得分分别是70和110。哪一个同学的平均成绩更好？ 很明显，这两位同学两次考试的平均分都是90分，我们可以认为两位同学的成绩从均值的角度是一致的。我们的算法是将两次的得分相加，再除以2。这样得出的平均数在数学上就叫做“算术平均数”。  对于上面的问题，我们增加一个条件，在高一入学后进行的两次数学考试中，第一次考试的满分是100分，第二次考试的满分是150分，A同学两次的得分分别是60和120，B同学两次的得分分别是70和110。哪一个同学的平均成绩更好？ 此时如果我们仍然用前面的方法，显然就不妥当了，因为两次考试的维度不一致，我们可以把两个维度统一之后再比较看看。如果我们把第一次的分数按满分为150分换算，那么，A同学的得分就换算为90分，B同学的得分就换算为105分，所以两次考试。A同学的平均分为105分，B同学的平均分为107.5分，B同学平均成绩更好。在这个问题中，我们用算术平均数来计算，显然两位同学的平均分相等，这个结论是错误的。当然，如果这里我们通过计算 10%，2月份比上月增长20%，3月份比上月增长40%，那么，这三个月的平均增长率就为  对于两个正数a和b，若a和b不相等，则这些平均数的大小都会介于两者之间；若a和b相等，则这些平均数的大小都会等于a和b（这也是记忆这些平均数的方法）。因此我们就需要研究这些平均数之间的大小关系，从而得到了“均值不等式”。 【问题二】如何证明基本不等式。 基本不等式的内容：   理解了公式的证明方法，也就能很轻松的记住和记牢公式。这是我们在学习新公式时要遵循的方法，先考虑知其所以然，再知其然。因为“过程都清楚了，结论自然就搞定了，不但搞定了，往往也就会用了”。 【问题三】基本不等式有什么用？ 1.基本不等式的变形 基本不等式讲的是两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，需要注意的是这两个数可以是a和b，当然也可以是a 1和b-1，甚至是x y-1和2x 3y 5，只要它们是两个正数，就满足基本不等式，这一点一定要想明白。   要想用好基本不等式，就需要搞明白上面的变式，理解它们的来龙去脉才可以。 2. 基本不等式的用法 基本不等式最主要的作用是用来证明不等式和求最值，由于高考主要考查的是求最值，并且两种用法差异不大，因此这里只介绍用基本不等式求最值的方法。 关于这个问题，教材上是以一个例题的形式呈现的： 这也是高中数学教材的一个特点，一些重要的知识、方法可能是以例题、练习或习题的形式出现的，阅读教材不能只是去关心那些黑体字部分，不然你会丢失掉很多很多东西。 通过上面的例题我们就得到利用基本不等式求最值的解题步骤： 第一步：找到两个正数x,y，注意它们是变量，不是常数，字母不一定是变量，也可以是常数。这是基本不等式求最值的第一个重点，基本不等式研究的是双变量的最值问题，找出这两个正数是这里最关键的步骤，因为这两个正数可以是x,y,也可以是x 2y和2x 3y,这是需要你根据题意进行判断，题目可能明示，也可能暗示，甚至可能需要你通过变形、通过化简、通过换元等等方法才能发现。很多同学这种题目做不好，往往就是因为缺少这一步的思考，直接就胡乱的套公式。这一步我们把它简称为“一正”，确定两个正数。 第二步：若xy为定值（常数），则x y就可能有最小值。（积定和最小） 若x y为定值（常数），则xy就可能有最大值。（和定积最大） 这一步的关键是定值，因此这一步我们把它简称为“二定”，找出或构造定值。 第三步：验证不等式的等号能取到，如果取不到等号，则说明方法有误。在求最值的问题中如果前两步很容易就满足的话，等号很多是取不到的。因为我们知道“天上不会掉馅饼”，“来得太容易的往往是假的，是坑”。这一步我们把它简称为“三相等”，保证取等，得出最值。 简单说就是：一正，二定，三相等。积定和最小，和定积最大。 本题尽管不算难，但它体现的方法非常重要，大家可以多想几遍，理解透彻了，很多题就能解决了。“换元”是一个很有用的方法，我们今后会经常用到它。 上面两道题分别对应了两种情况：积定和最小，和定积最大。因此解题时还要注意分析所求的是最大值还是最小值，这可以帮助我们判断研究的是积还是和，因为和与积其实是相对的。看下面的例子： 这道题已知与结论都是以和的形式呈现的。 在用基本不等式求最值中，认清两正数是关键，认清后，换元是重要方法，通过换元可以把题目迅速的转化为我们熟悉的问题。 这种题型非常重要，是试题中一个重要的出题点，很多题目的原型都是它。所以我们先给出这道题的一个通用的解法，它的理论依据来自于前面给出的一个变式。 需要注意的是，下面的解法是错误的，大家想想错在哪了。 当然，这道题也可以用前面3个例子的方法完成，毕竟它们的本质都是一致的，也就是下面的方法二，但这里的变形，还是需要一点技巧的，大家要认真体会这种变形方法。 上面的方法看起来很繁琐，但仔细理清其中的道理，你对基本不等式的理解会有很大的提升。数学的很多方法其实都是这样的，很多看似完全不相关的问题，其本质往往是一模一样的。 当然，这道题还可以用函数的方法来处理，过程也很简洁。 这道题最终我们还是转化成用基本不等式的方法来求函数的最值。当然，我们不用基本不等式，直接通过研究函数的单调性也是可以的，只是研究其单调性，用高二选择性必修中的导函数处理会更方便一些，用单调性的定义处理就会比较麻烦。事实上，利用基本不等式求函数、特别是分式型函数的值域和最值，也是非常重要的方法。 由于函数与方程是息息相关的，因此，这道题还可以用方程的方法（判别式法）来处理。 这个方法又叫做“万能k法”，它的特点是“问谁设谁（为k）”，把k看成常数，然后转化为的一元二次方程（k以系数的方式出现）问题，最后用判别式构造关于k的不等式处理，但一定不要忘了判断取等的条件。既然叫“万能k法”，适用面是非常广的，前面的几个例子（也包括后面的题目），都是可以用的。 这道题除了前面给出的四种方法以外，还可以用“三角代换法”和“几何法”处理，这两个方法需要用到三角函数、解析几何、导函数相关的知识，这里就不展开了。 以上8道题都属于【例3】的类型，如果你都能解决，这块知识就达到一定的火候了。 问题：什么时候取等号? 这个方法处理起来并不难，但有一点巧合，如果求 本题除了上面的方法，函数法与“万能k法”都是可以的。 与前面的例子相比，本题没有定值条件，但基本方法并没有改变，我们仍然需要确定两个正数。因此有 自己试一下，别急着看答案。 基本不等式求最值的基本方法就这些了，如果你能把这里给出的所有题目弄清楚，搞明白，对付一般的考试应该是没有多大的问题了。但是，更高阶的方法这里仍然没有涉及，象强基竞赛党，还需要进一步研究，这里就不展开了。 【写在最后】 从基本不等式这个内容来说，课本上只有很少的几页，但如果我们深入的去研究，就会觉得似乎无穷无尽，这也是高中数学的一个特点，就象佛经中所说的“芥子纳须弥”。“芥子”指芥菜的种子，佛家以“芥子”比喻极为微小；“须弥”指须弥山，佛家以“须弥山”比喻极为巨大。生如芥子有须弥，心似微尘藏大千。很多东西，你以为搞清楚了，其实只是在你的认知层面上搞清楚了，也许别人是在更高的层面上俯视你，你看到的只是“芥子”，别人看到的是整座“须弥山”。因此，多思考、多探索，学无止境永远都是真理。 芥子纳须弥 |
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和
来比较两人的平均分，仍然会得到B同学的成绩好。这个方法求的就是几何平均数，它研究的是两个维度上（或多个维度）的问题。类似的问题还有很多， 如：某企业今年1月份的销售额比上月增长
，并不是
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