不等式

不等式

 

二. 教学目标：

1. 了解算术平均数与几何平均数的意义，掌握两个正数的算术平均数不小于几何平均数的定理及其逆定理．

2. 掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式（组），会用分类、换元、数形结合的方法解不等式．

3. 掌握解指数、对数不等式的方法，一般来说，与解指数、对数方程的方法类似即：

（1）同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意对其进行讨论并注意到对数真数大于零的限制条件．

（2）转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（注意转化的等价性）．

（3）换元法：多用于不等式两边是和的形式，或取对数后再换元，并注意所换“元”的范围．

4. 通过复习不等式的性质及常用的证明方法（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等），使学生较灵活的运用常规方法（即通性通法）证明不等式的有关问题；

5. 掌握用“分析法”证明不等式；理解反证法、换元法、判别式法、放缩法证明不等式的步骤及应用范围．

 

三. 知识要点：

（一）本章知识结构：

（二）基本不等式

1. 常用的基本不等式和重要的不等式

（1）当且仅当

（2）

（3），则

（4）

2. 最值定理：设

（1）如积

（2）如和

即：积定和最小，和定积最大．

运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等．

3. 均值不等式：

两个正数的均值不等式：

三个正数的均值不等式：

n个正数的均值不等式：

 

（三）不等式的解法

1. 解不等式问题的分类

（1）解一元一次不等式．

（2）解一元二次不等式．

（3）可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．

①解一元高次不等式；

②解分式不等式；

③解无理不等式；

④解指数不等式；

⑤解对数不等式；

⑥解带绝对值的不等式；

⑦解不等式组．

2. 解不等式时应特别注意下列几点：

（1）正确应用不等式的基本性质．

（2）正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．

（3）注意代数式中未知数的取值范围．

3. 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法

步骤：①形式：．

②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正．

③判断或比较根的大小．

 

（四）不等式的证明方法

（1）比较法：作差比较：

作差比较的步骤：

①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．

②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和．

③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小．

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……

①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．

（4）反证法：正难则反．

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的．

放缩法的方法有：

①添加或舍去一些项，如：；；

②将分子或分母放大（或缩小）

③利用基本不等式，

如：；

④利用常用结论：

Ⅰ、；

Ⅱ、； （程度大）

Ⅲ、； （程度小）

（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元如：

已知，可设；

已知，可设（）；

已知，可设；

已知，可设；

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、结论的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

数学归纳法证明不等式将在数学归纳法中专门研究．

 

【典型例题】

例1  若a>b>0， 求的最小值．

分析： 的结构不对称，关键是的分母（a-b）b，而（a-b）+b=a， 故问题突破口已显然! 也可以逐步进行：先对b求最小值，然后再对a求最小值．

解法一： =[（a—b）+b]² +

≥[2]² +=4（a—b）b+≥16

当且仅当b=a-b且（a-b）b=2，即a=2b=2时取等号，故的最小值为16

解法二： =

当且仅当b=a-b且，

即a=2b=2时取等号，故的最小值为16．

点评：在运用均值不等式求最值时，凑出定值是关键!但在定值的过程中，不一定就能凑出定值来，实际上，分几步凑也是可以的，只要每步取等号的条件相同便可．

 

例2  若x>0，y>0，x+y=1， 求证：（1+）（1+）≥9

分析： x+y常数，xy可有最大值

证法一：  左边＝（1+）（1+）=1+++=1++

=1+≥1+=9＝右边  （当且仅当x=y=时取“=”号）

证法二： 令x=    y=，  0<<

左边＝（1+）（1+）=（1+）（1+）

=1+++·=1+

=1+≥1+8=9＝右边

0<2<，=时，x=y=时取等号．

证法三：∵x+y=1

∴左边＝（1+）（1+）=（1+）（1+）=（2+）（2+）

=5+2（+）≥5+4=9＝右边  （当且仅当x=y=时取“=”号）

 

例3 解不等式

解：由 

其零点分别为：-1，0，1（二重），2，画出数轴如下：

由图知，原不等式的解集为

 

例4 若不等式kx²-2x+1-k<0对满足的所有k都成立，求x的取值范围．

解：原不等式可化为．

设  ，是关于k的单调函数，

根据题意有：

，即。

解得．

点评：用换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法．

 

例5  解不等式：（1）；（2）

解：（1）原不等式与不等式组，或同解，

分别解不等式组得或，

原不等式的解集为．

（2）原不等式与不等式组同解，

解之得或，

原不等式的解集为．

点评 ：一个无理不等式转化为两个不等式组还是转化为一个不等式组，这是解无理不等式的一个基本问题。（1）中的第一个不等式组中可省去，（2）中的不等式组中则不可省去任何一个。（1）的结果可从函数和的图象上看出，让学生学会用图象法解不等式．

 

例6  已知a，b∈R，且a+b=1。   

求证：   

证法一：（比较法）    

                                        

即（当且仅当时，取等号）。

证法二：（分析法）

因为显然成立，所以原不等式成立。

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件。

证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）．

证法四：（反证法）假设，

则    。

由a+b=1，得，于是有．

所以，

这与矛盾．

所以

证法五：（放缩法）∵

∴左边＝

＝右边．

点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式．

证法六：（均值换元法）∵，

所以可设，，

∴左边＝

＝右边

当且仅当t=0时，等号成立

点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元

证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）

设y=（a+2）²+（b+2）²，

由a+b=1，有，

所以，

因为，所以，即

故

 

例7  设实数x，y满足y+x²=0，0<a<1求证：

证明：（分析法）要证，

，只要证：，

又，

只需证：

∴只需证，

即证，此式显然成立

∴原不等式成立

 

例8  设m等于，和1中最大的一个，当时，求证：

分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m等于，和1中最大的一个”翻译为符号语言“，，”，从而知

证明：（综合法），

 

例9  已知

的单调区间；

（2）求证：

（3）若求证：

解：（1）对已知函数进行降次分项变形，得，

       

        （2）∵

∴

而

⑶   

∴       

      

点评：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新，是既考知识又考能力的好题，在高考备考中有较高的训练价值。

 

【模拟试题】

1. 设a、b≥0，a＋b=1， 试比较大小：     2（填“≥”，“≤”或“=”）

2. 比较大小：若a>b>0， 则       （填“>”，“<”或“=”）

3. 若x， y∈R⁺， 且x＋y=s， xy=p， 则下列命题中正确的是（  ）

A. 当且仅当x=y时，s有最小值2 

    B. 当且仅当x=y时，p有最大值

    C. 当且仅当p为定值时，s有最小值2

    D. 若s为定值，则当且仅当x=y时，p有最大值

4. 若x， y∈R⁺， x＋y≤4，则下列不等式中成立的是（  ）

     A. ≤           B. ＋≥1             C. ≥ 2               D. ≥1

5. 不等式组与不等式（x－2）（x－5）≤0同解，则a的取值范围是（  ）

A. a>5                         B. a<2                         C. a≤5                       D. a≤2

6. 不等式>－3的解集是（  ）

A. {x|x<－}                                                        B. {x|x<－或x>0}

C. {x|x>－且x≠0}                                      D. {x|－<x<0}

7. 不等式<2的解集是（  ）

A. {x|x>}                 B. {x|x<或x>}       C. {x|x>}                 D. {x|<x<}

8. 不等式ax²＋ax＋（a－1）<0的解集是全体实数，则a的取值范围是（  ）

A. （－∞， 0）                                                   B. （－∞， 0）∪（，+∞） 

C. （－∞， 0）                                                   D. （－∞， 0）∪（，+∞）

9. 设，求证：．

10. 己知都是正数，且成等比数列，

求证：

 

 

 

 

【试题答案】

  1. ≤          2. >        3. D        4. B提示：＋≥2≥2≥1

  5. B  提示： 不等式组的解是2≤x≤5且x（x－a）≥0， 即要求x（x－a）≥0的解包含2≤x≤5，∴ a<2

  6. B

  7. B

  8. C  提示： 不等式ax²＋ax＋（a－1）<0的解集是全体实数， ∴a=0时成立，当a<0时， 判别式△<0，得a<0时成立，∴a∈（－∞，0）

  9. 证明：

=

=

=

，则

故原不等式成立．

点评：（1）三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式：

（2）用比较法证不等式，关键在于作差（或商）后进行变形，常见的变形是通分、因式分解或配方．

  10. 证明：

成等比数列，

都是正数，

   

点评：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分是运用比较法的外部特征，除了通分、因式分解或配方法，局部运用基本不等式，也是用比较法证不等式时的一种常用手段．