分析法

分析演绎归纳类比推理

分析法是"综合法"的对称。把复杂的经济现象分解成许多简单组成部分，分别进行研究的方法。其实质是: 通过调查研究，找出事物的内在矛盾，并对矛盾的各个方面进行深入研究。剔除那些偶然的、非本质的东西，抽象出必然的、本质的因素，并由此得出一些反映本质的简单规定，以把握矛盾的各个方面的特殊性。分析法所提供的只是对于经济现象的片面理解，它还不能从总体上、从各个部分之间的相互联系上来把握经济现象。因此，在分析的基础上，还必须运用综合的方法，使分析得到的各个方面的本质规定，按照经济现象内在的逻辑联系，形成有机的体系，这样才能全面、深刻地认识经济现象，提出解决问题的有效办法。

从已知数量与已知数量的关系入手，逐步分析已知数量与未知数量的关系，一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。

分析法--通过对事理原因或结果的周密分析，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。也称为因果分析。事物都有自己的原因和结果。从结果来找原因，或从原因推导结果，就是找出事物产生、发展的来龙去脉和规律，这就起到了证明论点的合理性和正确性的作用。

综合分析法是指运用各种统计综合指标来反映和研究社会经济现象总体的一般特征和数量关系的研究方法。 

主要释义

1.从求解的问题出发，正确地选择出两个所需要的条件，依次推导，一直到问题得到解决的解题方法叫做分析法。

2.用分析法解题时如果解题所需要的两个条件，(或其中一个条件)是未知的时候，就要分别求解找出这两个(或一个)的条件，一直到问题都是已知的时候为止。

3.分析法指从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到归结为判定一个显然成立的条件(已知量、定义、公理、定理、性质、法则等)为止，从而证明论点的正确性、合理性的论证方法。也称为因果分析、逆推证法或执果索因法。

数学思想

从求证的不等式出发，"由果索因"，逆向逐步找这个不等式成立需要具备的充分条件。

事物都有自己的原因和结果。从结果来找原因，或从原因推导结果，就是找出事物产生、发展的来龙去脉和规律，这就起到了证明论点的合理性和正确性的作用。

基本思想是:由未知探需知，逐步推向已知。

适用范围

1.不易直接证明结论;

2.从结论很显然能推出明显正确的条件。

(在数学中，条件探究题一般用分析法进行逆推来获得正确答案)

反证法(Proofs by Contradiction，又称归谬法、背理法)，是一种论证方式，他首先假设某命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证。

综合法，分析法在平面几何中常见

分别是从条件网结论推和从结论网条件到推

各个分支有着不同的证明方法

比如无穷递降法 奇偶分析法大部分用于数论

三角法 解析法 同一法 用于几何

求导法 著名不等式法 用于证明不等式和最值

比较基本的方法就是直接证或者反证

高中数学常用证明方法有哪些？

1.比较法         比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)。 

2.综合法         利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。

3.分析法         分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。

4.反证法         有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B。凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法。 

5.换元法         换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。主要有两种换元形式。(1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示。此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题根据具体问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可设x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③对于含有的不等式，由于|x|≤1，可设x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量换元法：在对称式(任意交换两个字母，代数式不变)和给定字母顺序(如a>b>c等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元。 

6.放缩法         放缩法是要证明不等式A<B成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的理论依据主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较。常用的放缩技巧有：①舍掉(或加进)一些项；②在分式中放大或缩小分子或分母；③应用均值不等式进行放缩。

物理中的分析方法

归纳法:不完全归纳推理是统计推理归纳事务中比较常用的一种方法。以关于某类事物中部分对象的判断为前提，推出关于某类事物全体对象的判断做结论的推理。在归纳推理中，完全归纳推理是不多的，不完全归纳推理则是大量的。有两种：(1)简单枚举归纳推理，这是或然性推理；(2)科学归纳推理，这是必然性推理由于完全归纳推理具有一定的局限性和不可实现性，当需要归纳推理的单位数量过大，例如:某乡镇5000名农民均在最低生活标准以下。在这个命题下，归纳者若需要遵循完全归纳推理原则，就需要调查全部5000名农民的实际情况，对集合内所有要素进行逐一了解，这是一种不实际的推理原则。完全归纳推理，又称"完全归纳法"，它是以某类中每一对象(或子类)都具有或不具有某一属性为前提，推出以该类对象全部具有或不具有该属性为结论的归纳推理。

完全归纳推理的作用主要有二:

一是具有认识作用。虽然完全归纳推理的前提所断定的知识范围和结论所断定的知识范围相同，但它仍然可以提供新知识。这是因为，它的前提是个别性知识的判断，而结论则是一般性知识的判断，也就是说，完全归纳推理能使认识从个别上升到一般。

二是具有论证作用。由于完全归纳推理是一种前提蕴涵结论的必然性推理，因而人们常常用它来证明论点，反驳谬误。

综合法         综合分析，整体分析 

等效法         电路中用的比较多，将一个复杂电路等效为一个简单电路，力学等也较常用 

类比法         例如将力学问题与电学问题类比等

一、控制变量法         通过固定某几个因素转化为多个单因素影响某一量大小的问题。 7、探索磁场对电流的作用规律; 8、研究电磁感应现象; 9、研究焦耳定律。

 二、等效法         将一个物理量，一种物理装置或一个物理状态(过程)，用另一个相应量来替代，得到同样的结论的方法。 1、在研究物体受几力时，引入合力。 2、曹冲称象。 3、在研究多个用电器组成的电路中，引入总电阻。

 三、模型法         以理想化的办法再现原型的本质联系和内在特性的一种简化模型。 1、在研究光学时，引入“光线”概念。 2、在研究磁场时，引入磁感线对磁场进行描述。 3、理想电表。 

四、转换法(间接推断法) 累积法         把不能观察到的效应(现象)通过自身的积累成为可观测的宏观物或宏观效应。 1、用压紧铅柱的方法来显示分子面的引力作用。 2、在研究分子运动时，利用扩散现象来研究。 3、根据电流所产生的效应认识电流。 4、根据磁铁产生的作用来认识磁场。 

五、类比法         根据两个对象之间在某些方面的相似或相同，把其中某一对象的有关知识、结论推移到另一个对象中去的一种逻辑方法。 1、水压--电压 2、抽水机提供水压类似电源提供电压。 3、用速度的定义公式引入压强公式。 

六、比较法         找出研究对象之间的相同点或相异点的一种逻辑方法。 1、研究蒸发和沸腾的异同点。 2、比较电压表与电流表在使用过程中的相同点和相异点。 3、比较电动机与发电机的结构和原理的相同点和异同点。 4、汽油机和柴油机的相同点和异同点。

 七、归纳法         从一系列个别现象的判断概括出一般性判断的逻辑的方法。 1、从气、液、固的扩散实现现象，得出结论:一切物体的分子都在作无规则的运动。 2、物理学中的实验规律(如串、并联电路中电流、电压的特点等)几乎都用了此法。

综合法与分析法

 学习目标

掌握综合法和分析法的基本思路，能用综合法和分析法证明有关问题；了解数学归纳法，会用此方法证明问题。

1、综合法与分析法

（1）综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。

它的基本思路是“由因导果”，即从“已知”得“可知”，再逐步推向未知的方法。

（2）分析法

我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法。

它的基本思路是“执果索因”，即从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法，当从题设不易入手的题目，而从结论上较易打开思路时，多用分析法证明。

2、两种方法的利弊特点

分析法从“未知”看“需知”，渐渐靠拢“已知”，逐步的推理，实际上是寻找它的充分条件. 它叙述冗长，但常常根底渐近，有希望成功.

综合法从“已知”看“可知”，渐渐推向“未知”，逐步的推理，实际上是寻找它的必要条件. 它形式简洁，条理清晰，逻辑结构严谨，但往往枝节丛生，难以一下子达到目的. 

注：我们在实际解题时，应把两种方法结合起来运用，先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表达解题过程，这就达到了扬长避短、相互协调、相得益彰的良好目的.

3、综合法的思维特点是：由已知推出结论. 

用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：

； （ ）； （ ）；（a，b同号）， （ ）。

【典型例题】

例1. 已知a、b、c是不全等的正数，求证：a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）≥6abc．

【观察】a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）≥6abc．具有结构循环特点

【变异】a（b2+c2）+b（a2+c2）+c（a2+b2）-6abc>0再变异为a（（b2+c2）-2bc）+b（（a2+c2）-2ac）+c（（a2+b2）-2ab）>0

【分析】  采用综合法证明，利用性质（a2+b2）≥2ab.证明：略

本题主要考查不等式的证明．证明用到了分析法，分析法是从要证明的结论出发，一步步相前推，得到一个恒成立的不等式，或明显成立的结论即可．

例2. 已知，➜ 求证：。      证法一（综合法）：

证法二（分析法）：，为了证明Y，➜ 只需证明  X，➜ 即C，➜ 即B，A，➜ 即Z.➜ 成立，➜ 成立

说明：分析法和综合法是对立统一的两个方面，分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推.

例3. 已知a，b，c∈R+，求证：

（1）（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc；

分析： 用综合法证明，注意构造定理所需条件.

证明：

（1）ab+a+b+1=（a+1）（b+1），

ab+ac+bc+c2=（a+c）（b+c）.

∴（a+1）（b+1）（a+c）（b+c）≥16abc

因此，当a，b，c∈R+，有

（ab+a+b+1）（ab+ac+bc+c2）≥16abc.

说明： 用均值定理证明不等式时，一要注意定理适用的条件，二要为运用定理对式子作适当变形，把式子分成若干部分，对每部分运用均值定理后，再把它们相加或相乘.

例4. 已知：a，b∈R＋，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b＋ab2.

求差比较

证法1：（a3＋b3）-（a2b＋ab2）

=（a+b）（a2-ab+b2）-ab（a＋b）

=（a＋b）（a2-2ab＋b2）

=（a＋b）（a-b）2.

由a，b∈R＋，知a＋b＞0，又a≠b，则（a-b）2＞0，

进而（a＋b）（a-b）2＞0，即（a3＋b3）-（a2b＋ab2）＞0，

所以a3＋b3＞a2b-ab2.

分析法：

证法2：

欲证a3＋b3＞a2b＋ab2，

即证（a＋b）（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），

因为a＋b＞0，

故只需证a2-ab＋b2＞ab，

即证a2-2ab＋b2＞0，

即证（a-b）2＞0，

因为a≠b，

所以（a-b）2＞0成立，

所以a3＋b3＞a2b＋ab2成立.

综合法：

证法3：

由a≠b，知（a-b）2＞0，即a2-2ab＋b2＞0，则a2-ab＋b2＞ab

又a＋b＞0，则（a＋b）・（a2-ab＋b2）＞ab（a＋b），

即a3＋b3＞a2b＋ab2.

注：熟练地应用学过的证明方法，对同一命题用三种方法进行了证明，开阔了思路. 应学会针对具体题目，灵活地选取方法.

例5. 用数学归纳法证明4+3n+2能被13整除，其中n∈N*

证明：①当n=1时，42×1+1+31+2=91能被13整除

②假设当n=k时，42k+1+3k+2能被13整除，则当n=k+1时，

42（k+1）+1+3k+3=42k+1・42+3k+2・3－42k+1・3+42k+1・3

=42k+1・13+3・（42k+1+3k+2?）

∵42k+1・13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除

∴当n=k+1时也成立 

由①②知，当n∈N*时，42n+1+3n+2能被13整除 

【模拟试题】

一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

1、已知f（n）=（2n+7）・3n+9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m整除f（n），则最大的m的值为（    ）

A. 30                    B. 26                            C. 36                    D. 6

2、如果命题p（n）对n=k成立，则它对n=k+2也成立，又若p（n）对n=2成立，则以下说法正确的是（   ）

A. p（n）对所有的正整数n成立

B. p（n）对所有的正偶数n成立

C. p（n）对所有的正奇数n成立

D. p（n）对所有大于1的正整数n成立。

3、对于任意实数a、b、c、d，命题①；②

③；④；⑤.

其中真命题的个数是 （     ）

A. 1                     B. 2                             C. 3                 D. 4 

4、数列1，，，…前100项的和等于（   ）

A.             B.                                  

5、中有（    ）个不小于2

A. 3                     B. 0                             C. 至少一个               D. 至多1个

6、设，且的取值范围是（    ）

A.                                        B. 

C.                                             D. 

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7、已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为________，由此猜想an=________ 

8、已知x>0,y>0.且x+2y+xy=30,则xy的最大值为________

9、有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，则这n个圆把平面分成f（n）＝_______个部分.

10、若△的内切圆半径为，三边长为、、，则△的面积为。若四面体的内切球半径为，四个面的面积为、、、，则四面体的体积____________________.

三、解答题（本大题共4题，共50分）

11、已知a，b，m，n∈R，且a2+b2=1，m2+n2=1，求证：|am+bn|≤1.

12、若a、b、c是不全相等的正数，求证：

13、在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－成等比数列 

（1）求a2,a3,a4，并推出an的表达式；

（2）用数学归纳法证明所得的结论；

（3）求数列{an}所有项的和 

14、已知，，，求证：在三数中，不可能都大于.

【试题答案】

1、解析：∵f（1）=36,f（2）=108=3×36,f（3）=360=10×36

∴f（1）,f（2）,f（3）能被36整除，猜想f（n）能被36整除。

证明：n=1,2时，由上得证，设n=k（k≥2）时，

f（k）=（2k+7）・3k+9能被36整除，则n=k+1时，

f（k+1）－f（k）=（2k+9）・3k+1?－（2k+7）・3k

=（6k+27）・3k－（2k+7）・3k

=（4k+20）・3k=36（k+5）・3k－2?（k≥2）

f（k+1）能被36整除

∵f（1）不能被大于36的数整除，∴所求最大的m值等于36。

答案：C

2、B

3、A

4、A

5、C

6、C

解：设，

    则

7. 解析：

、、、  

8、18

9、f（n）＝n2-n＋2

10、

11、证法一：（比较法）

证法二：（分析法）

∵a，b，m，n∈R，∴上式成立，因此原不等式成立.

证法三：（综合法）

∵a，b，m，n∈R，∴（|a|-|m|）2≥0，（|b|-|n|）2≥0.

即a2+m2≥2|am|，b2+n2≥2|bn|

∴a2+m2+b2+n2≥2（|am|+|bn|）

∵a2+b2=1，m2+n2=1，∴|am|+|bn|≤1

∴|am+bn|≤|am|+|bn|≤1.

证法四：（换元法）

由已知，可设a=sinα，b=cosα，m=sinβ，n=cosβ.

于是|am+bn|=|sinαsinβ+cosαcosβ|=|cos（α-β）|≤1.

【说明】一个不等式的证明方法往往不只一种，要注意依据题目特点选择恰当的方法.

12、证明：∵a，b，c∈R+，

abc成立. 上式两边同取常用对数，得

13、解  ∵an,Sn,Sn－成等比数列，

∴Sn2=an・（Sn－）（n≥2）                       （*）

（1）由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入（*）式得:a2=－

由a1=1，a2=－,S3=+a3代入（*）式得  a3=－

同理可得  a4=－,由此可推出  an=

（2）①当n=1,2,3,4时，由（*）知猜想成立 

②假设n=k（k≥2）时，ak=－成立

故Sk2=－・（Sk－）

∴（2k－3）（2k－1）Sk2+2Sk－1=0

∴Sk= （舍）

由Sk+12=ak+1・（Sk+1－）,得（Sk+ak+1）2=ak+1（ak+1+Sk－）

由①②知，an=对一切n∈N成立 

（3）由（2）得数列前n项和Sn=,∴S=Sn=0 

14、分析：此命题的形式为否定式，宜采用反证法证明. 假设命题不成立，则三数都大于，从这个结论出发，进一步去导出矛盾.

证明：假设三数都大于，

即，，.

又∵，，，

∴，，.

∴   ①

又∵，，.

以上三式相加，即得：

  ②

显然①与②相矛盾，假设不成立，故命题获证.

说明：一般情况下，如果命题中有“至多”、“至少”、“都”等字样，通常情况下要用反证法，反证法的关键在于“归谬”，同时，在反证法的证明过程中，也贯穿了分析法和综合法的解题思想.