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一、知识网络
二、合情推理 （一）归纳推理 1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。 2. 归纳推理的一般步骤： 第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质； 第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。 题型1：用归纳推理发现规律 （1）观察： 对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故 （2）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数。则 【解题思路】找出的关系式 [解析] 总结：处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 （二）类比推理 1. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。 2. 类比推理的一般步骤： 第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； 第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想. 题型2：用类比推理猜想新的命题 （1）已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 [解析] 原问题的解法为等面积法，即，类比问题的解法应为等体积法，即正四面体的内切球的半径是高 总结： ① 不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比。 ② 类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等 （三）合情推理 1. 定义：归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。简言之，合情推理就是合乎情理的推理。 2. 推理的过程： 思考探究： （1）归纳推理与类比推理有何区别与联系? ① 归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 ② 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。 三、演绎推理 （一）含义： 1. 演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。演绎推理又叫逻辑推理。 2. 演绎推理的特点是由一般到特殊的推理。 （二）演绎推理的模式 1. 演绎推理的模式采用“三段论”： （1）大前提——已知的一般原理(M是P)； （2）小前提——所研究的特殊情况(S是M)； （3）结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P)。 2. 从集合的角度看演绎推理： （1）大前提：x∈M且x具有性质P； （2）小前提：y∈S且SM （3）结论：y具有性质P （三）演绎推理与合情推理 合情推理与演绎推理的关系： 1. 从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理。 2. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。 四、直接证明与间接证明 （一）三种证明方法：综合法、分析法、反证法 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。 综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 反证法：它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个命题的一般步骤： （1）假设命题的结论不成立； （2） 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 （3） 断言假设不成立 （4）肯定原命题的结论成立 用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。 重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题 考点1：综合法 在锐角三角形中，求证： [解析] 考点2：分析法 已知，求证 [解析] 总结：注意分析法的“格式”是“要证—只需证—”，而不是“因为—所以—” 考点3：反证法 已知，证明方程没有负数根 【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾 [解析] 总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多 五、数学归纳法 1. 数学归纳法的定义： 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： （1）证明当时命题成立； （2）假设当时命题成立，证明n=k 1时命题也成立。 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立。这种证明方法称为数学归纳法。 2. 数学归纳法的本质： 无穷的归纳→有限的演绎（递推关系） 3. 数学归纳法步骤： （1）（递推奠基）：当n取第一个值结论正确； （2）（递推归纳）：假设当时结论正确；（归纳假设） 证明当n=k 1时结论也正确。（归纳证明） 由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数n都正确。 题型1： 已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设时命题为真，则还需证明（ ） A. n=k 1时命题成立 B. n=k 2时命题成立 C. n=2k 2时命题成立 D. n=2（k 2）时命题成立 [解析] 因n是正偶数，故只需证等式对所有偶数都成立，因k的下一个偶数是k 2，故选B 总结： 用数学归纳法证明时，要注意观察几个方面： （1）n的范围以及递推的起点 （2）观察首末两项的次数（或其它），确定n=k时命题的形式 （3）从的差异，寻找由k到k 1递推中，左边要加（乘）上的式子 题型2：用数学归纳法证明不等式 [解析]
总结： （1）数学归纳法证明命题，格式严谨，必须严格按步骤进行； （2）归纳递推是证明的难点，应看准“目标”进行变形； （3）由k推导到k 1时，有时可以“套”用其它证明方法，如：比较法、分析法等，表现出数学归纳法“灵活”的一面。 本文来源于网络，无法核实具体出处，如有侵权，请联系我们 |
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