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数学归纳法教学问题研究
5月8日，在浙江省衢州高级中学参加“中学数学核心概念与思想方法教学设计”课题研讨会，听了四位老师精彩的研究课，其中两节课分别是浙江省衢州高级中学何豪明老师和浙江省黄岩中学李柏青老师上的“数学归纳法”。通过这次研讨，对数学归纳法的教学加深了认识，本文对此内容的一些教学问题作探讨。
一、数学归纳法教学难点分析
数学归纳法是证明数学命题的一种方法，但数学归纳法的教学一直是高中数学教学的一个难点，究其原因，也许是由于在教学中没有把这种方法在逻辑上讲得很清楚，从而导致学生对于理解和运用这种数学方法的困难。许多学生只是借助于像多米诺骨牌这样的事例作类比来认识这种方法的可靠性，但没有认识到方法在逻辑推理上的严格性。不少学生则是在没有比较好地理解基础上机械地运用数学归纳法的两个步骤去证明数学结论，从而导致证明过程中出现表述上的种种错误。从词意上分析，“数学归纳法”名称中有“归纳法”三个字，那么这种方法到底是不是“归纳法”呢？从推理论证角度认识，归纳法常常用于数学结论的“猜想”，而不能用于“证明”数学结论。那么，第一方面，数学归纳法与归纳法有什么联系呢？另一方面，在数学论证中，只能用演绎法证明数学结论，数学归纳法能够用于证明数学结论，那么，数学归纳法就应该纳入演绎法的范围中，但这又怎样去理解呢？另外，从学生数学学习心理的角度看，在数学归纳法的第二个步骤“归纳递推”中用了“假设”一词，学生会想，既然是一种假设，怎么就可以作为进一步证明结论的一个基础呢？以上种种疑惑，都是导致形成高中学生理解数学归纳法的困难的原因。
要解决以上的种种认识问题，就应该适度地阐明，数学归纳法本质上是一种演绎法，或者准确地说，是在推理过程、叙述形式上被约缩了的演绎法.实际上，在数学归纳法中隐含着一连串的三段论。其中第一个三段论是：
大前提： 如果命题P(n)对n=k成立，那么命题P(n)对n=k+1也成立；（这个大前提在数学归纳法的第二个步骤“归纳递推”中得到证明） 小前提： 命题P(n)对n=1成立；（这个小前提在数学归纳法的第一个步骤“归纳奠基”中也得到证明） 结论： 命题P(n)对n=2成立。 于是，有第二个三段论式： 大前提： 如果命题P(n)对n=k成立，那么命题P(n)对n=k+1也成立； 小前提： 命题P(n)对n=2成立；（这个小前提是前一个三段论中已经证明的结论） 结论： 命题P(n)对n=3成立。 于是，又有第三个三段论，从中得到命题P(n)对n=4成立。 ……
这样，每一个三段论都得到命题链中的一个命题的证明，直至无穷，从而得到所要证明的数学命题（可以看成是由无穷个命题组成的命题）的证明。
以上就说明了数学归纳法与演绎法之间的本质联系。上面的分析还说明了能用数学归纳法证明的命题系列的结构关系：
命题P(1)→命题P(2)→命题P(3)→······→命题P(n)→······
命题系列的结构与正整数之间的关系结构具有一致性：
1→2→3→······→n→······
所以，数学归纳法不能用于证明树状结构的命题系统，如几何课程中的命题系统。
在应用数学归纳法证明数学结论的逻辑结构中，第二步“归纳递推”证得的命题“P(K)
数学归纳法证明数学结论具有以下的逻辑结构图景:
对以上的逻辑结构图景作少许的变化，就可以得到数学归纳法的几种变式方法。法国著名数学家彭加勒称现在所说的数学归纳法为“循环推理法”，这与上述的螺旋式的循环模式图景恰好相符。彭加勒在他的著作《科学与假设》中论述了这种方法:“循环推理法的主要特性是在它能包含无数的三段论，而集中在可认为唯一的公式中。”“在循环推理法中，人们仅限于陈述第一三段论的小前提，以及含有以一切大前提为特例的普遍公式。因此这一串永无止境的三段论可缩减为几行的语词”。这是他对于数学归纳法逻辑本质的比较准确的描述。
二、对数学归纳法教学的一个建议
目前，数学归纳法的教学常常借助于多米诺骨牌游戏让学生对数学归纳法有一个直观的认识，这是一种很好的教学设计。为了判断实际教学中学生是否真正理解了数学归纳法，从教学评价的角度分析，建议教学中可以提出以下的问题：“你是怎样理解数学归纳法的？”准确地说，就是要问学生“与多米诺骨牌游戏类似，请你自己提出一种能反映数学归纳法方法原理的实际情景。”如果学生能够比较准确地说出这类实际背景的例子，并清楚实际情景中的现象怎样对应数学归纳法中相应的证明步骤，就说明学生对于数学归纳法已经有了较好的理解。实际上，学生也许能够提出他们更为熟悉的能够有助于理解数学归纳法的实际背景。以下问题可供参考。
例1：同学排队问题：有许多已经编号的同学（号码依次为1，2，3，4，5，6，·····）（有限人数，或无限人数），要求按号码顺序排成一队，可以按照以下的两个步骤来达到目标： 1.第一人能按照要求排好队； 2.人人遵守以下规则：如果第n号学生按照要求排好队，那么第n+1号学生也一定能按照要求排好队。
以上两条做到了，则所有同学就都能按要求排成一队了。
例2：火车顺利开动（整列火车，包括火车头，后续各节车箱顺利开动）的条件： 1.火车头开动； 2.火车头与后续车箱、各节车箱之间的很好连接。
俗话说“火车跑得快全靠车头带”，此话只说对了一半，联系数学归纳法，比较完整的说法：“火车跑得快，一靠前面车头带，二靠后面车箱都能跟上来”。
三、教学设计的一款设想
课堂教学是艺术，所以课堂教学就可以有不同款式的设计。实际教学中，就目前对于数学归纳法的认识，对于引入数学归纳法的教学就有以下的教学过程设想。
首先引入一个具体计算问题：
当然，如果学生们对与此有关的数学变形方法非常熟悉，则此问题就不能使用了，可以考虑采用其他的类似的问题，如求前n个正整数的立方和问题，选择问题的原则是应该使问题的研究具有探究性，从中可以体现归纳、递推的分析过程，在教学中应根据学生实际情况预备适当的引入问题。这里仅仅仍用以上这个相对简易的问题说明设计的教学基本过程。由于以上求和式中加数的项很多，很难逐项相加得到要求的和，学生就会希望能够找到一个求和的规律性方法，也就是希望最好能得到解决问题的一个一般性公式。从分析、归纳中可以发现，实际上解决原来的问题就可以转化成解决以下具有普遍价值的一般性数学问题：
后面再逐渐展开分析，让学生自然地逐渐形成数学归纳法的证明方法，并类比多米诺骨牌游戏等理解数学归纳法。个人认为，这样的教学过程也许更能让学生认识引入数学归纳法的必要性，并也许能够说明，数学归纳法与“归纳法”又有什么联系。在数学归纳法中，不作一系列（一般说是无限个）特殊的递推步骤，而代之以一个一般性的“递推步骤”，即第二步“归纳递推”步骤，而这一般性的递推步骤证明的方法常常是从最先几个特殊递推中得到启发而来的，这是从特殊到一般的方法的运用，也正是归纳法的思想的运用。不过，这只是数学归纳法证明数学命题过程中的一部分，并不是数学归纳法的全部，也说明了数学归纳法的方法中确实蕴涵着归纳法的成分，但又不同于一般的归纳法，故命名为“数学归纳法”。浙江省金华市教研室张耀光老师指出“数学归纳法是有归纳成分的演绎法”，这个认识是有道理的。
四、数学归纳法用于证明有限序列的数学命题
一般地说，用数学归纳法可用于证明涉及正整数的无限个命题的数学结论（当然，这个涉及正整数的无限个命题的数学结论本身也可以看成是单个的数学命题，实际上数学命题的单位并没有严格的标准），但从上面的分析看，这也是不绝对的。用数学归纳法也可用于证明涉及正整数的有限个数学命题的数学结论，只要两个步骤(特别是递推步骤)在有限步内能够实施。真如数列有有限数列和无限数列之分，函数的定义域可以被限定在一个闭区间内一样，我们也可以把要证明的数学结论所涉及的正整数n限定在有限集内，这是容易做到的，只需要对n作一个恒等变换，把它的变化范围作出限制就可以。以下就是两个只涉及有限个正整数的数学命题，它当然也可以应用数学归纳法的方法加以证明，只是在归纳递推步骤中变量需要满足一定的限制条件。
例1：证明：
例2：证明：
实际上，以上的对于n的恒等变换方法具有一般性。
参考文献：
①人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书《数学》（选修2-2）[M].北京：人民教育出版社.2007.1.
②俞求是.试论数学的科学性及其特点与数学教学.数学教育学报[J].2008.10.
③吕学礼.中学数学教学一得集[M].广东教育出版社.1985.8
④彭加勒.科学与假设[M].北京：商务印书馆.1930.
⑤俞求是.数学归纳法.初中生之友[J].2007.10. |
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P(K+1)
