运用基本不等式的多种变形，该如何入手？

 

小数老师说

均值定理的应用是一个难点，前几年一般情况下会直接考察，现在考察的话会结合其他知识，比如函数、圆锥曲线、解三角形等考察，但是不管怎么考察，同学们首要的任务是先掌握好均值定理的变形应用，这样才能有的放矢！

（2014年和平区月考）

分析

首先通过题目条件，要进行“定性”，这是一道使用“基本不等式”的题目，是怎么判断的呢？

小数老师给大家一个窍门，如果题目条件中有两个字母参数，且有关于这两个字母的等式，基本就能确定是运用基本不等式了，如果再加上“正”或“同号”的条件，那就肯定是了！

如果是关于这两个字母参数的不等式呢？那一般情况下就是线性规划题目了！为啥小数老师这么说呢？因为运用基本不等式的三个条件，还记得么？

回顾

1、  基本公式

基本不等式	不等式成立的条件	等号成立的条件
	a>0，b>0	a＝b

2、利用基本不等式求最值：设x，y都是正数．

(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时和x＋y有最小值.

(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时积xy有最大值.

强调：

在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.   

正：两项必须都是正数；

定：求两项和的最小值，它们的积应为定值；求两项积的最大值，它们的和应为定值。

等：等号成立的条件必须存在.

解析

虽然知道本题应用基本不等式（均值定理），但是通过题目条件并不能完全满足一正二定，所以我们需要对题目进行变形，创造条件，然后运用均值定理；

说到这里，不知大家对下面这道题有没有印象

例：已知点A（m,n）在直线x+2y=1上，其中m*n>0，则的最小值为______.

当然，这道题目可以变化为m+2n=1，m*n>0，求的最小值；

接下来我们是怎么处理的呢？用到了1的代换，上面题目变成

=（）*1

=（）*（m+2n）

因为m*n>0，所以可以应用基本不等式求解了。

小数老师为什么会在这里提到上面这道题呢？是因为这两题太像了，所以，在小数老师刚拿到这道题时，就努力想用刚才的方法进行变形，结果半天也没有解出来！

现在，大家请看下面，这两道题其实是有区别的，在于两个字母参数在已知条件和未知中所处的位置不一样，前面这道题，是已知在分子，未知在分母，后面这道题，已知未知都在分母，所以再用代换，不会产生刚才的结果了！

m+2n=1，m*n>0，求的最小值；

则的最小值是？

看出区别来之后，接下来的变形就简单多了，大家请看：

所以答案选A。

总结

大家通过这两道题能否看出，当创造条件时，应该进行如何变形呢？当求和的最值时，如果题目中没有积的定值，那此时一定创造积的定值，根据题目条件创造互为倒数的即可，例如这两道题目中，和，你会了吗？