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利用均值不等式求最值是高考的高频考点，主要以选择题或填空题出现，全国卷以解答题作为选考出现，难度一般中档。 利用均值不等式求最值应同时满足三个条件： （1）一正，即各项或各因式为正； （2）二定，即和或者积为定值； （3）三相等，即各项或各因式能取到使等号成立的条件。 若题目直接满足均值不等式的条件，则直接使用均值不等式求得最值；若不能直接满足均值不等式的条件，则改变结构，通过代换创造使用均值不等式的条件；若一次使用均值不等式不能达到目的，则多次使用，但要注意取等一致。 下面以2018年高考数学江苏卷第13题为例。 一·套路二·脑洞本题借助三角形考查不等式求最值，涉及解三角形、均值不等式、柯西不等式等知识点，考查分析与应用能力、逻辑推理与计算能力，属于中档题。 法1，消元法，这是解决二元问题最直观的想法，将二元转化为一元，然后利用分离常数法构造使用均值不等式的条件，由均值不等式求出最小值。 法2，1的代换，借1代换是数学中一个非常有用的技巧，在三角函数中也经常使用，通过1的代换后构造使用均值不等式，进而求得最小值。 法3，万能设t法，这其实是一种主元的思想，通过t的代换，得到一个关于主元的一元二次方程，然后利用判别式求得t的范围。 法4，柯西不等式，柯西不等式简直就是解决最值问题的一把屠龙刀，干脆利索。 值得说明的是，均值不等式求最值的难点在于构造，常常使用“拆、拼、凑”等技巧，使其满足均值不等式中“正、定、等”的条件。 三·迁移均值不等式求最值的类似题目不胜枚举，尤其是上述这种，几乎都是大同小异，所以下面随便举一例即可。 |
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