专题04 基本不等式及其应用 （解析版）

【考点预测】

1.基本不等式

如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号；

基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号.

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致.

【方法技巧与总结】

1.几个重要的不等式

（1）

（2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).

特例：（同号）.

（3）其他变形：

①(沟通两和与两平方和的不等关系式)

②(沟通两积与两平方和的不等关系式)

③(沟通两积与两和的不等关系式)

④重要不等式串：即

调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值(注意等号成立的条件).

2.均值定理

已知.

（1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.

（2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”.

3.常见求最值模型

模型一：，当且仅当时等号成立；

模型二：，当且仅当时等号成立；

模型三：，当且仅当时等号成立；

模型四：，当且仅当时等号成

立.

【题型归纳目录】

题型一：基本不等式及其应用

题型二：直接法求最值

题型三：常规凑配法求最值

题型四：消参法求最值

题型五：双换元求最值

题型六：“1”的代换求最值

题型七：齐次化求最值

题型八：利用基本不等式证明不等式

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【典例例题】

题型一：基本不等式及其应用

例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（       ）

A．                                                  B．

C．                                     D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.

【详解】

解：对于A选项，当时，不等式显然不成立，故错误；

对于B选项，成立的条件为，故错误；

对于C选项，当时，不等式显然不成立，故错误；

对于D选项，由于，故，正确.

故选：D

例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x，y都是正数，且，则下列选项不恒成立的是（       ）

A．                                               B．

C．                                             D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据基本不等式判断．

【详解】

x，y都是正数，

由基本不等式，，，，这三个不等式都是当且仅当时等号成立，而题中，因此等号都取不到，所以ABC三个不等式恒成立；

中当且仅当时取等号，如即可取等号，D中不等式不恒成立．

故选：D．

例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（       ）

A．                            B．

C．                            D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设，得到，，在直角中，利用勾股定理，求得，结合，即可求解.

【详解】

设，可得圆的半径为，

又由，

在直角中，可得，

因为，所以，当且仅当时取等号．

故选：D.

例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（       ）

A．                                      B．

C．                             D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由得的范围可判断A；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B；作差比较与的大小可判断C；作差比较与的大小可判断D.

【详解】

因为，所以，所以，故A错误；

只有在时才成立，故B错误；

因为，所以，所以，故C错误；

因为，所以，故D正确.

故选：D.

（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（       ）

A．                                           B．

C．                                              D．

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.

【详解】

解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.

对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.

对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.

对于D选项，，

当且仅当，即无解，故D不正确.

故选：BC.

（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设，，下列结论中正确的是（       ）

A．                                  B．

C．                                         D．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

利用基本不等式可判断ACD选项的正误，利用特殊值法可判断B选项的正误.

【详解】

对于A选项，，

当且仅当时，等号成立，A对；

对于B选项，取，则，B错；

对于C选项，，，

所以，，即，当且仅当时，等号成立，C对；

对于D选项，因为，则，

所以，，当且仅当时，两个等号同时成立，D对.

故选：ACD.

【方法技巧与总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.

题型二：直接法求最值

例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a，b满足，则ab的最大值为（       ）

A．2                           B．1                           C．                         D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用基本不等式求解积的最大值.

【详解】

∵，，

∴，即，当且仅当时等号成立，

∴．

故选：D．

例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x，y为实数，且，则的最小值为（       ）

A．18                         B．27                          C．54                         D．90

【答案】C

【解析】

【分析】

利用基本不等式可得答案．

【详解】

由题意可得，

当且仅当时，即等号成立.

故选：C．

例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数（）的值域为，则的最小值为（       ）

A．                        B．4                           C．8                           D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据的值域求得，结合基本不等式求得的最小值.

【详解】

由于二次函数（）的值域为，

所以，所以，

所以，

当且仅当即时等号成立.

故选：B

例10．（2022·湖北十堰·三模）函数的最小值为（       ）

A．4                           B．                      C．3                           D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用不等式性质以及基本不等式求解.

【详解】

因为，当且仅当，即时等号成立，

，当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为4.

故选：A

（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（       ）

A．的最小值是1                                       B．的最大值是1

C．的最小值是                                D．的最大值是

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据等比中项整理得，直接由基本不等式可得的最大值，可判断AB；由展开后使用基本不等式可判断CD.

【详解】

因为，所以，

所以，可得，当且仅当时等号成立，

所以的最大值为1，故错误，B正确．

因为，

故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．

故选：BC

例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若，且，则的最大值是_______________.

【答案】##.

【解析】

【分析】

利用基本不等式可直接求得结果.

【详解】

，，，，

即（当且仅当，即，时取等号），

，即的最大值为.

故答案为：.

例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数、满足，则的最小值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】

因为、为正数，由基本不等式可得，所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.

故答案为：.

【方法技巧与总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件.

题型三：常规凑配法求最值

例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（       ）

A．最大值              B．最小值               C．最大值                D．最小值

【答案】A

【解析】

【分析】

将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.

【详解】

因，则，

于是得，当且仅当，即时取“=”，

所以当时，有最大值.

故选：A

例15．（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值是（       ）

A．                                                            B．

C．                                                         D．

【答案】D

【解析】

由，利用基本不等式求最小值即可.

【详解】

因为，所以，当且仅当，即时等号成立.

所以函数的最小值是.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题.

例16．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为（       ）

A．3                           B．                  C．                   D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用给定条件确定，变形并借助均值不等式求解即得.

【详解】

因，且，则，即有，同理，

由得：，

于是得，

当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值为.

故选：D

例17．（2022·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.

【答案】3

【解析】

【分析】

由，及，利用基本不等式可求出最小值.

【详解】

由题意，，

因为，所以，当且仅当，即时等号成立.

所以函数的最小值为3.

故答案为：3.

例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知，且，则最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可．

【详解】

解：由且，可得，代入，

又，

当且仅当，即，

又，可得，时，不等式取等，

即的最大值为，

故答案为：．

例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值；

（2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值.

【答案】（1）函数的最小值为5，此时；（2）函数的最小值为5，此时.

【解析】

（1）整理，利用基本不等式求解即可；（2）令，将代入整理得，利用基本不等式求解即可；

【详解】

（1）∵，

∴，

当且仅当即时，等号成立.

故函数的最小值为5，此时；

（2）令，

将代入得：

，

∵，

∴，

当且仅当，

即，

即时，等号成立.

故函数的最小值为5，此时.

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题.

【方法技巧与总结】

1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．

2．注意验证取得条件．

题型四：消参法求最值

例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线过点，则的最大值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

将点代入直线方程可得，将平方，结合均值不等式可得答案.

【详解】

直线过点，则

又，设，则

 

由，当且仅当，即时等号成立.

所以，即

所以的最大值为，当且仅当时等号成立.

故答案为：

例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数，，满足，则当取得最大值时，的最大值为（       ）

A．                          B．                          C．                         D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用可得，根据基本不等式最值成立的条件可得，代入可得关于的二次函数，利用单调性求最值即可.

【详解】

由正实数，，满足，

．

，

当且仅当时取等号，此时．

，当且仅当时取等号，

即的最大值是1．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题.

例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b满足，则的最小值是（　　）

A．2                           B．                 C．                 D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

根据变形得，进而转化为，

用凑配方式得出，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

由，得，

所以，

当且仅当，即取等号.

故选：B.

例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数，满足，则的最大值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2 （）²+，然后结合二次函数的性质可求．

【详解】

因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，

所以a＝，

则＝＝＝﹣2 （）²+，

当，即b＝2 时取得最大值．

故答案为：．

【点睛】

思路点睛：b+3a＝2ab，可解出，采用二元化一元的方法减少变量，转化为的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.

例24．（2022·全国·高三专题练习）若，，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据题中所给等式可化为，再通过平方关系将其与联系起来，运用基本不等式求解最小值即可.

【详解】

因为且，则两边同除以，得，

又因为，当且仅当，即时等号成立，所以.

故答案为:

例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据已知可得，求得，再将条件变形结合基本不等式可求得，由此将变形为，采用换元法，利用导数求得结果.

【详解】

由题意得： ，则 ，

又，当且仅当 时取等号，

故，故，

所以，

令 ，则 ，，

则当 时，，递减，

当 时，，递增，

故，而 ，，

故，即，

故答案为：

【方法技巧与总结】

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

题型五：双换元求最值

例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设，，若，则的最大值为（       ）

A．                   B．                      C．                   D．

【答案】D

【解析】

【分析】

法一：设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；

法二：由题知进而根据三角换元得，再根据三角函数最值求解即可.

【详解】

解：法一：（基本不等式）

设，则，

条件，

所以，即.

故选：D.

法二：（三角换元）由条件，

故可设，即，

由于，，故，解得

所以，，

所以,当且仅当时取等号.

故选：D.

例27．（2022·天津南开·一模）若，，，，则的最小值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

令 ，则，由此可将变形为，结合基本不等式，即可求得答案。

【详解】

由题意，，，，得：，

设 ，则 ，

故

 ，

当且仅当 ，即 时取得等号，

故的最小值为，

故答案为：

例28．（2022·天津市蓟州区第一中学一模）已知x＋y＝1，y＞0，x＞0，则的最小值为____________．

【答案】##1.25

【解析】

【详解】

将x＋y＝1代入＋中，得＋＝＋＋，设＝t＞0，则原式＝＋＝＝·＝ [(1＋2t)＋＋1]≥×2＋＝，当且仅当t＝时，即x＝，y＝时，取“＝”．

例29．（2022·全国·高三专题练习）已知，，，则取到最小值为 ________．

【答案】．

【解析】

【详解】

试题分析：令，∴，

∴

，当且仅当时，等号成立，

即的最小值是．

考点：基本不等式求最值．

【思路点睛】用基本不等式求函数的最值，关键在于将函数变形为两项和或积的形式，然后用基本不等式求出最值．在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数最值；另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值，但无论哪种方法在用基本不等式解题时都必须验证等号成立的条件．

例30．（2022·全国·高三专题练习）若，且，则的最小值为_________

【答案】

【解析】

【分析】

令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解.

【详解】

令，则，

则，即，

则

，

当且仅当，即时等号成立，

故的最小值为.

故答案为：.

【点睛】

关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令，化简得出利用基本不等式求解.

例31．（2022·全国·高三专题练习）若正实数，满足，则的最小值是__________．

【答案】

【解析】

【详解】

根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为.

点睛：本题主要考查了基本不等式，关键是根据分式的运算性质，配凑基本不等式的条件，基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.

【方法技巧与总结】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．

1．代换变量，统一变量再处理．

2．注意验证取得条件．

题型六：“1”的代换求最值

例32．（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x，y满足，则的最小值为（       ）

A．2                           B．4                           C．8                           D．12

【答案】C

【解析】

【分析】

依题意可得，则，再由乘“1”法及基本不等式计算可得；

【详解】

解：由，且，可得，

所以

，当且仅当，即，时取等号．

故选：C

例33．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列的前项和为，若，则的最小值为（       ）

A．                           B．                          C．                          D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用等差数列的求和公式以及等差数列的性质可求得，将代数式与，展开后利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】

由是等差数列，得，解得，

所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，所以的最小值为．

故选：B．

例34．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数，满足，则的最小值为（       ）

A．                          B．                          C．                          D．

【答案】A

【解析】

【分析】

对已知条件和要求最值的代数式恒等变形之后应用均值不等式即可求解

【详解】

因为，，所以，

又

所以

当且仅当即，时，取等号

所以

故选：A

例35．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知，则的最小值为（       ）

A．13                         B．19                          C．21                         D．27

【答案】D

【解析】

【分析】

由基本不等式“1”的妙用求解

【详解】

由题意得，当且仅当即时等号成立．

故选：D

例36．（2022·四川·石室中学三模（文））已知，且，则的最小值是(       )

A．49                         B．50                          C．51                         D．52

【答案】B

【解析】

【分析】

将中分子1替换为a+b，将中分子8替换为8(a+b)，化简即可利用基本不等式求该式子的最小值．

【详解】

由已知，得

，

当且仅当，即，时等号成立．

因此，的最小值是50．

故选：B．

例37．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a，b满足，则的最小值为___________.

【答案】9

【解析】

【分析】

由得，则，展开利用基本不等式可求得最值.

【详解】

由得，所以，

当且仅当，即，时取等号，故的最小值为9.

故答案为：9

例38．（2022·天津·南开中学模拟预测）设，，，则的最小值为______．

【答案】#.

【解析】

【分析】

两次运用“1”进行整体代换，结合基本不等式，即可得结果.

【详解】

因为，所以

当且仅当时，等号成立，即的最小值为，

故答案为：.

例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数图象过定点，点在直线上，则最小值为___________.

【答案】##4.5

【解析】

【分析】

根据指数函数过定点的求法可求得，代入直线方程可得，根据，利用基本不等式可求得最小值.

【详解】

当时，，过定点，

又点在直线上，，即，

，，，

（当且仅当，即，时取等号），

的最小值为.

故答案为：.

【方法技巧与总结】

1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．

1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．

2．注意验证取得条件．

题型七：齐次化求最值

例40．（2022·全国·高三专题练习）已知，满足则的最小值是（       ）

A．                      B．                      C．                      D．

【答案】D

【解析】

【分析】

设，然后代入方程，进而根据“法”解得答案.

【详解】

由题意，设，代入方程得：，

所以，即的最小值为：.

故选：D.

例41．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数的定义域为R，则的最大值是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由题意得到，恒成立，进而得到，即，再代入，令，利用基本不等式求解.

【详解】

解：因为函数的定义域为R，

所以，恒成立，

所以，即，

所以，

令，则，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最大值是，

故答案为：

例42．（2022·全国·高三专题练习（理））若a，b，c均为正实数，则的最大值为（       ）

A．                         B．                          C．                       D．

【答案】A

【解析】

【分析】

对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可.

【详解】

因为a，b均为正实数，

则

，

当且仅当，且，即时取等号，

则的最大值为．

故选：A．

【点睛】

易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”中的“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.

例43．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数在上单调递增，则最小值为（       ）

A．                B．                  C．                  D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数单调性可知恒成立，结合二次函数图象与性质可确定，由此化简所求式子为；利用，配凑出符合对号函数的形式，利用对号函数求得最小值.

【详解】

在上单调递增，恒成立，

，，，，

，

令，设，

则，

，，（当且仅当，即时取等号），

，即的最小值为.

故选：.

【点睛】

本题考查利用对号函数求解最值的问题，涉及到根据导数的单调性确定参数范围、分式型函数最值的求解问题；关键是能够通过二次函数的图象与性质确定的关系，进而构造出符合对号函数特点的函数.

例44．（2022·天津·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为____________.

【答案】

【解析】

【分析】

先变形：，再根据基本不等式求最值.

【详解】

当且仅当，即时取等号

即的最小值为.

故答案为：.

例45．（2022·浙江·高三专题练习）已知x，y，z为正实数，且，则的最大值为______．

【答案】2

【解析】

【分析】

由已知得，再根据基本不等式求得，由此可得最大值.

【详解】

解：因为，所以，

又x，y，z为正实数，所以，当且仅当时取等号，

所以，即，所以，当且仅当时取等号.

所以的最大值为2，

故答案为：2.

例46．（2022·全国·高三专题练习）若且，则的最小值为___________.

【答案】

【解析】

【分析】

由对数运算和换底公式,求得的关系为，逆用作常数替换，为齐次式,再利用基本不等式求最小值即可.

【详解】

因为,,,

所以,所以.

故，

当且仅当,即时取等号，结合,即时取等号，

所以最小值为.

故答案为：

【方法技巧与总结】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．

题型八：利用基本不等式证明不等式

例47．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知，．

(1)若，证明：；

(2)若，证明：．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）把所求式转化为，再利用二次函数去求其值域即可；

（2）利用均值定理“1”的代换去求的最小值即可.

(1)

因为，所以，又，，所以，

所以，

当时，取得最小值，即取得最小值；

当时，，即，

所以．

(2)

由得，       

所以，        

．          

当且仅当，时等号成立．

所以

例48．（2022·陕西渭南·二模（文））设函数．

(1)求不等式的解集．

(2)若的最大值为，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】

分类讨论去绝对值，并解不等式即可；

求出函数的最大值，进而利用基本不等式求证即可.

(1)

解：当时，原不等式等价于，解得；

当时，原不等式等价于，解得；

当时，原不等式等价于，解得．

综上所述，原不等式的解集是．

(2)

解：证明：因为，所以，

则．

因为，，

所以，即，

当且仅当时，等号成立，故．

例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正数，，满足．

(1)求的最大值；

(2)证明：．

【答案】(1)1

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由三个正数的基本不等式进行求解；（2）凑项后利用基本不等式进行证明.

(1)

由，当且仅当时，取得等号．

又，所以．

故当且仅当时，取得最大值1．

(2)

证明：要证，需证．

因为

，

即，当且仅当时取得等号．故．

例50．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（理））设a，b，c为正实数，且.证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）利用进行代换，再利用基本不等式即可证明；

（2）利用立方和公式将进行变式，再利用基本不等式即可证明.

(1)

证明：

，

（当且仅当时，等号成立）

(2)

证明：

三式相加得

即

（当且仅当时，等号成立）

例51．（2022·河南洛阳·一模（文））已知a，b，c都是正数.

(1)证明：；

(2)若，证明：.

【答案】(1)具体见解析；

(2)具体见解析.

【解析】

【分析】

（1）将左边化为，进而利用基本不等式证明问题；

（2）根据条件得到，进而左边化为，进一步得到，然后用基本不等式证明问题.

(1)

因为已知a，b，c都是正数，所以，左边，当且仅当时取“=”.

即成立.

(2)

因为已知a，b，c都是正数，，所以，

则左边

.

当且仅当时取“=”.

即成立.

【方法技巧与总结】

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明.

题型九：利用基本不等式解决实际问题

例51．（2021·全国·高三专题练习（理））设计用的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为，则车厢的最大容积是（            ）

A．（38－3 m³    B．16 m³                     C．4 m³                D．14 m³

【答案】B

【解析】

【详解】

设长方体车厢的长为xm，高为hm，则，即，

∴，

即，

解得，

∴．

∴车厢的容积为．当且仅当且，即时等号成立．

∴车厢容积的最大值为．选B．

例53．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知，，那么当_______时，矩形花坛的面积最小，最小面积为______.

【答案】     4     48

【解析】

【分析】

设，则，则，结合基本不等式即可得解.

【详解】

解：设，则，则，

则，

当且仅当，即时等号成立，故矩形花坛的面积最小值为．

即当时，矩形花坛的面积最小，最小面积为48.

故答案为：4；48.

例54．（2022·全国·高二课时练习）根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为的球挖去一个三棱锥后得到的几何体，其中，平面PAB，．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC的长．

【答案】．

【解析】

【分析】

用料最省时，即三棱锥体积最大，由垂直关系确定为球直径，由球体积求得，设，表示出棱锥体积，由基本不等式得最大值．

【详解】

解：设球的半径为R，由球的体积，解得．

因为平面PAB，与平面内直线垂直，即，，．

因为，，平面，所以平面ABC，而平面，所以．所以中点是球心，所以．

由可知，AC为截面圆的直径，故可设，

在中，，

在中，，

所以

．

当且仅当，即时，等号成立．

所以当用料最省时，．

例55．（2022·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．

(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；

(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？

【答案】（1）；（2）2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大

【解析】

【分析】

（Ⅰ）由题意，根据，求得的值，得到，进而得到函数利润万元表示为年促销费用万元的函数；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，化简函数的解析式，利用基本不等式，即可求解.

【详解】

（1）由题意有，得

故

∴

 

（2）由（1）知：

 

当且仅当即时，有最大值.

答: 2019年的年促销费用投入2.5万元时，该厂家利润最大.

【点睛】

本题主要考查了函数的实际问题，其中解答中认真审题，建立函数的解析式，化简解析式，利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以推理与运算能力.

【方法技巧与总结】

1．理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．

2．注意定义域，验证取得条件．

3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．

【过关测试】

一、单选题

1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知点E是的中线上的一点（不包括端点）．若，则的最小值为（       ）

A．4                           B．6                           C．8                           D．9

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据向量共线可知，表达出和的关系式后利用基本不等式的代“1”法解基本不等式即可.

【详解】

解：由题意得：

点E是的中线上的一点（不包括端点）,则由共线向量定理可知：

设

当且仅当，即时取等号，故的最小值为.

故选：C

2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知为正实数，且，则的最小值为（       ）

A．                          B．                          C．                          D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.

【详解】

由题意，可得，

则有，解得，

当且仅当，取到最小值.

故选：B.

3．（2022·安徽马鞍山·三模（理））若，，，则的最小值为（       ）

A．                      B．                 C．6                           D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据对数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】

由，

因为，，所以，即，

所以，

当且仅当时取等号，即时取等号，

故选：B

4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知，为平面的单位向量，且其夹角为，若，则的最大值为（       ）

A．                      B．                      C．                      D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的模的运算将原式化解，再利用基本不等式可得的最大值.

【详解】

在等式两边平方得，，

所以，

得，当时，满足题意，

故选：B

5．（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（       ）

A．6                           B．9                           C．                      D．18

【答案】B

【解析】

【分析】

依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；

【详解】

解：，，且，

且，

，

当且仅当，即且时取等号，

故的最小值为9；

故选：B

6．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知等比数列的公比为q，且，则下列选项不正确的是（       ）

A．             B．             C．       D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据等比数列的通项公式可得，，，，再利用基本不等式判断A，利用特殊值判断B，根据完全平方数的非负性判断C，根据下标和性质判断D；

【详解】

解：因为等比数列的公比为q，且，所以，，，，

所以，当且仅当，即时取等号，故A正确；

所以，当时，故B错误；

，故C正确；

，故D正确；

故选：B

7．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知a，，满足，则下列错误的是（        ）

A．                                           B．

C．                                                       D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据基本不等式可判断A;判断a，，将化为,构造函数，利用导数判断B; 当时，，可判断C;利用柯西不等式判断D.

【详解】

A，由，得，当时等号成立，正确；

B，,故，故a，，

由，得且a，，

令且，则，递减，

所以，，即成立，正确；

C，当时，，错误；

D，，当且仅当时等号成立，正确，

故选：C

8．（2022·河北保定·二模）已知a，，且，则的最大值为（       ）

A．2                           B．3                           C．                      D．

【答案】C

【解析】

【分析】

由题知，进而得，再结合已知得，即可得答案.

【详解】

解：，

则，当且仅当时，“=”成立，

又a，，所以，当且仅当时，“=”成立，

所以的最大值为.

故选：C

二、多选题

9．（2022·河北张家口·三模）已知，（m是常数），则下列结论正确的是（       ）

A．若的最小值为，则

B．若的最大值为4，则

C．若的最大值为m，则

D．若，则的最小值为2

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据已知等式，利用基本不等式逐一判断即可.

【详解】

由已知得，

，解得，当时取等号，故A错误；

，，当时取等号，故B正确；

，，当时取等号，故C正确；

对于D，

，当时取等号，又，且，所以等号取不到，故D错误，

故选：BC.

10．（2022·河北·模拟预测）已知，则以下不等式成立的是（       ）

A．               B．             C． D．

【答案】BCD

【解析】

【分析】

直接利用基本不等式即可判断ACD，由，可得，整理即可判断B.

【详解】

解：对于A，因为，

所以，所以，

当且仅当时取等号，故A错误；

对于B，

，

当且仅当时取等号，

所以，即，故B正确；

对于C，，

当且仅当，即时取等号，故C正确；

对于D，，

当且仅当且，即时取等号，故D正确.

故选：BCD.

11．（2022·山东菏泽·二模）设a，b为两个正数，定义a，b的算术平均数为，几何平均数为．上个世纪五十年代，美国数学家D．H. Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中p为有理数．下列结论正确的是（       ）

A．                                   B．

C．                                      D．

【答案】AB

【解析】

【分析】

根据基本不等式比较大小可判断四个选项.

【详解】

对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；

对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确；

对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；

对于D，当时，由C可知，，故D不正确.

故选：AB

12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数，且正实数，满足，则下列结论可能成立的是（       ）

A．                                                     B．的最大值为

C．                                                      D．的最小值为

【答案】AC

【解析】

【分析】

去绝对值分类讨论，判断一个命题是假命题要举反例

【详解】

当，时，，

则

所以，所以，故A正确

当，时，，，

则

所以，故C正确

当，时，，

则

所以

对于B，当，，且时

取，时，

（，）

当，且时

取，时，

当，且时，

取，时，

故B错误

对于D， 当，且时，，时，等号成立，故D错误

故选：AC

三、填空题

13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知正实数x，y满足，则的最小值为__________．

【答案】2

【解析】

【分析】

构造函数，根据函数的单调性求解x+2y的值，再利用基本不等式即可求解.

【详解】

根据题意有，令，则，

令，则，

所以函数在R上单调递减，

又因为，所以，

所以，

当且仅当时等号成立，所以的最小值为2；

故答案为：2.

14．（2022·吉林·模拟预测（理））已知，则的最小值是______．

【答案】6

【解析】

【分析】

根据给定条件，利用均值不等式计算作答.

【详解】

，则，当且仅当，即时取“=”，

所以的最小值是6.

故答案为：6

15．（2022·重庆·三模）已知，，且，则的最小值为___________.

【答案】4

【解析】

【分析】

由题得，再利用基本不等式求出的最小值即得解.

【详解】

解：由题得，

所以.

(当且仅当时取等)

因为，所以的最小值为4.

故答案为：4

16．（2022·浙江·模拟预测）已知正实数x，y满足：，则的最小值为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据，可得，再令，再利用基本不等式即可得出答案.

【详解】

解：因为，

所以，

所以，

所以，

令，

则，

当且仅当即时取等号，

所以的最小值为.

故答案为：.

四、解答题

17．（2022·江西·二模（理））已知函数．

(1)解不等式的解集；

(2)设到的最小值为，若正数，满足，求的最小值．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）用零点区间讨论法求解即可（2）先用绝对值三角不等式求得的最小值，再用均值不等式求的最小值

(1)

原不等式等价于

① 或②   或③

解①得，解②得，解③得．

所以原不等式解集为

(2)

当且仅当时取等即，所以．

所以

当且仅当且即时取“=”

所以最小值为．

18．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数，已知不等式恒成立.

(1)求的最大值；

(2)设，，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）分类讨论可得解析式，进而得到的图象，采用数形结合的方式可确定；

（2）令，可得，代入不等式左侧，利用基本不等式可求得，由此可得结论.

(1)

当时，；当时，；当时，；

由此可得图象如下图所示，

恒成立，则由图象可知：当过点时，取得最大值，

.

(2)

由（1）知：只需证明；

令，解得：，

（当且仅当，即时取等号），

，即.

19．（2022·江西九江·三模（文））设函数．

(1)若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围；

(2)在平面直角坐标系中，所围成的区域面积为S，若正数b，c，d满足，求的最小值．

【答案】(1)或；

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值不等式的性质可知，可知，解次绝对值不等式，即可求出结果；

（2）根据题意作出围成的区域，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中边长为，可知，再将，利用基本不等式即可求出结果.

(1)

解：，

依题意，得，

即或，解得或，

∴的取值范围为或；

(2)

解：由，得，

如图，

平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中心为，四个顶点分别为, 其边长为，

所以，所以，

而都为正数，所以.

当且仅当时取等号，

故的最小值为.

20．（2022·陕西·模拟预测（理））设函数

(1)当时，求不等式的解集；

(2)已知不等式的解集为，，，，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意，分，，三种情况讨论求解即可；

（2）由题知的解集为，进而得，再根据基本不等式求解即可.

(1)

解：当时，，

所以，当时，，解得该不等式无解；

当时，，解得；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为

(2)

解：因为不等式的解集为，

所以，的解集为，即的解集为

如图，要使的解集为，则，解得或

因为，，即.

因为，，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为.

       

21．（2022·河南·模拟预测（文））设a，b为正数，且．证明：

(1)：

(2)．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）将不等式左边因式分解为，对使用基本不等式，然后综合可证；

（2）利用已知条件消元，然后由基本不等式可证

(1)

，

，当且仅当“”时取“＝”，

，当且仅当“”时取“=”，

所以，

所以．

(2)

因为

所以

所以，

因为a，b为正数，且，

所以，

所以，

所以．

22．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a，b，c均为正数，且．

(1)求的最小值；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）依题意可得，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；

（2）利用柯西不等式证明即可；

(1)

解：，，都是正数，且，，

当且仅当即时等号，

即的最小值为；

(2)

证明：由柯西不等式得

即，

故不等式成立，

当且仅当时等号成立；