不等式恒成立，原来这样做最简单！

 

小数老师说

今天又是一道导数题，是微信上一个同学问的，我一看这题目很典型，因此也就分析了一下发了上来！对于不等式恒成立的问题，一直是个考察的热点，也是难点，关键还在于同学们能从题目中获取有效信息并能对其进行下面的转化，那题目就不会太难了！

 

分析

这道题还是一道导数应用的题目，与1月27日题目考察的方向不同，主要考察两个点：已知极值，求参数的值；不等式恒成立问题。下面跟小数老师一起来看看这道题该怎么做！

解析

（1）       第一问是送分题，比较简单，但是有部分同学会丢分，出错点在：导数为0，是函数取得极值的必要条件而不是充分条件，所以求出参数值之后，还要注意检验是否真的取到极值。

因为函数f(x)在x=1处取得极值，所以f’(1)=0，

f’(x)=2x-a-a/x，所以f’(1)=2-a-a=2-2a=0，所以a=1.

经检验，当a=1时，函数f(x)在x=1处取得极值。

哈哈，你看清楚了吗？一般情况下，如果求出两个值，那你必须要去检验，看看会不会舍掉一个答案，如果仅求出一个值，那就不用真的检验，像小数老师那样，写一句话就好了！

（2）       由（1）得，，

所以要证明，

只需证明，

化简可得：

即

注意

当条件中的不等式两边都含有x时，一定要都移到一边，然后根据下面的规律找最值：

对任意x∈M，有f(x) ≥a，转化为f(x)的最小值≥a即可；

对任意x∈M，有f(x) ≤a，转化为f(x)的最大值≤a即可；

若存在x∈M，有f(x) ≥a，转化为f(x)的最大值≥a即可；

若存在x∈M，有f(x) ≤a，转化为f(x)的最小值≤a即可。

所以令（x>0），

只要g(x)的最小值大于等于0即可，

所以接下来求g(x)的最小值。

此函数中没有参数，按照先求单调性，再求最值的方法即可。

     

x	(0,1)	1	(1,+ ∞)
g’(x)	-	0	+
g(x)	递减	极小值	递增

由上表可知，当x=1时，g(x)取得最小值，g(1)=0，所以g(x) ≥0恒成立，所以结论得证。

（3）       当时，恒成立，求a的取值范围，

按照（2）的转化条件，我们应该是求f(x)在[e,+ ∞)上的最小值即可，

但是这道题却不能直接这么做，因为f(x)中有参数，如果通过讨论参数的范围，然后确定函数的最值的话，太麻烦，所以，在直接找最值之前，先看看能否“参变量分离”！

所谓“参变量分离”就是指，把参数a与变量x分开，如果能分并且好分，那就分离之后找最值，如果不好分，或者分开后计算量更大了，那就不分直接找最值！

对于这道题，我们可以直接采用参变量分离法去做，具体看下面：

要使，

须使，

即

同学们，你看明白了吗？看明白的话，就试着自己做一下！数学很忌讳“每道题都能看明白，但是一做就出错！”

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