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高考数学:六招破解高考导数压轴题

2018-08-24  Zsy201512...

纵观近十年高考数学课标全国卷导数压轴题,容易发现有如下特点:主要考查导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,研究方程和不等式.试题有一定的综合性,并与数学思想方法紧密结合,对函数与方程的思想、分类与整合的思想等都进行了深入的考查.

下面介绍破解高考导数压轴题的六种策略.

一、分类讨论

分类讨论是解答高考数学压轴题的常用方法,近年来高考数学课标全国卷解答题压轴题,几乎都要用到分类讨论.高考要求考生理解什么样的问题需要分类讨论,为什么要分类,如何分类.

 

二、分离参数

讨论含参数的方程或不等式解的问题时,进行分类讨论有时显得比较复杂.如果我们将含参数的方程经过变形,将参数分离出来,使方程的一端化为只含参数的解析式,而另一端化为与参数方程无关的主变元函数,通过函数的值域或单调性讨论原方程的解的情况,则往往显得非常简捷、有效.

例2. (2013年高考数学全国乙卷Ⅰ 卷.理21)

三、构造函数

利用导数解决不等式问题是导数的一个非常重要的应用,其关键是根据不等式的结构特点,构造恰当的辅助函数,进而通过研究函数的单调性和最值,最终解决问题.运用构造函数法来解题是培养学生创新意识的手段之一.

四、合理放缩

高考数学压轴题往往涉及函数不等式问题,由于高考命题基本上涉及超越函数,研究其单调区间时一般涉及解超越不等式,难度非常高,往往陷入绝境.放缩法是解决函数不等式问题的一把利器,关键是如何合理放缩.常见的一种放缩法是切线放缩法,曲线的切线为一次函数,高中阶段大部分函数的图像均在切线的同侧,即除切点外,函数的图像在切线的上方或下方,利用这一特性,可以将参与函数放缩成一次函数.


五、虚设零点

导数在研究函数的单调性、极值和最值方面有着重要的应用,而这些问题都离不开一个基本点——— 导函数的零点,因为导函数的零点既可能是原函数单调区间的分界点,也可能是原函数的极值点或最值点.可以说,抓住了导函数的零点,就抓住了原函数的要点.在高考导数压轴题中,经常会遇到导函数具有零点但求解相对比较复杂甚至无法求解的问题.此时,不必正面强求,只需要设出零点,充分利用其满足的关系式,谋求一种整体的代换和过渡,再结合其他统计解决问题,这种方法即是“虚设零点”.

六、多次求导

高中函数压轴题一般需要求导,利用导函数的正负来判断原函数的增减.有些试题,当你一次求导后发现得出的结果还存在未知的东西,导函数的正负没有清晰地表现出来时,就可以考虑二次求导甚至三次求导,这个时候要非常细心,观察全局,不然做到后边很容易出错.

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