白话微积分（登山对话）

1 山坡走势和斜率

学生和老师一起登山，到达一个平台后一起休息，然后继续往上爬。

生：那么这个平台是不是微分学中的稳定点？

师：你认出来了，到达平台之前山坡在上升，过了平台继续上升，这就叫做稳定点。

他们爬到第二个平台，然后下山。

生：那么这个平台是不是微分学中的局部极大？

师：你认出来了，到达平台之前山坡在上升，过了平台开始下降，这是一个高峰，又称局部极大。

生：至此我们有了山坡的上升、下降、稳定点、极值（极大或极小）点，这些感觉常人都有，不需要数学呀。

师：小学有了自然数，把常人都有的“多或少”的感觉量化为数字，以识别多或少的程度。微分学发明了斜率这个数，把山坡是怎么走的化为斜率的符号（正、负、零、变号）和大小；当沿山坡往前走时上升或下降，升降得快或慢，在什么地方达到稳定或取到极值，以及山坡是怎么弯曲的。

生：斜率对于登山竟然如此基本，能不能将斜率这个概念说明白？

2 斜率和切线

师：如果山坡是直的，斜率就是测量这山坡的方向，如下图：

师：如果山坡是一条光滑曲线，一点在上面运动着，于是它在每一点有一个方向，同时连续地改变它的方向。如下图：

生：感觉会有这样的方向，但是这个方向用什么来决定呢？

师：由切线来定，这是微分学的诀窍，切线是什么呢？现有教材上都有，为了在点t处决定切线，在曲线上取与点t不同的点s，做割线ts，然后让s沿着曲线去接近点t。如果这时割线ts趋向一个极限位置（这是一个假设），则这个极限位置的直线就叫做曲线在点t处的切线，如下图：

师：显然，切线角θ0应该等于割线动角θ的极限。

生：感觉会有这样的极限。但是割线的极限位置或切线一定存在吗？

师：不一定。如果（或假设）曲线每个点存在切线，简称这曲线每点“可微”或处处“光滑”。

生：为什么要用切线？用其他直线（割线）又会怎样呢？

师：切线有特殊的性质。让我们来计算由切线到曲线的“距离”，或起点附近，测量误差=小段高-切线高(斜率*底)。如下图：

生：从上图可见，无须花脑筋计算，这个误差随着曲线小段变小会变小。

师：由上图切线的构造，看到起点附近，如下图：

师：右端已是可见的变量（其中θ是割线动角，C是常数），看得见它随割线趋向切线（或底变小）会变得任意小。

生：以上是图形或感觉，怎样定义切线呢？

师：先感觉后定义。以上是对切线或斜率的感觉，不能算数。反之，今后就把起点附近“相对误差<>

生：那么，其他直线（割线）的相对误差也能变小吗？

师：不能。切线的相对误差趋于零，但割线的相对误差趋于非零常数。如下图：

生：明白了，只有切线的测量误差才是最小（最好的逼近），这就是为什么微分学把曲线小段换成了切线（最好的代替），而不是割线。

师：中学只是对于直线才有方向的意义，现在被推广到曲线上：每一个点的曲线方向就由这一点处的最贴近的那条直线－切线（最好的逼近）来决定，从而获得了原来没有的意义。这是非常明智的。

3 斜率的普遍应用

师：斜率用于登山，只是一个比喻（首先见于法国哲学家C.Bruter(1973)）.斜率有更普遍的应用。

生：我们学微分学时，有一个应用就是判别函数在什么地方能达到极值，它是说极值点必定是斜率等于零（即曲线的切线是水平的点），变成了方程求根。但不充分，因为后者也可能是稳定点。

师：一般说，斜率用来度量变化的世界（变化率），包括经济的走势，升或降，快或慢，或稳定。例如，俄罗斯数学家阿诺德（2006）说到用斜率的符号度量经济的走势。

4 山高和斜率：非构造的正切公式（中值定理）

生：第一段凭着斜率这个数，已经能够量化地叙述山坡（或变化世界）的走势，山坡一点附近的性质。斜率还有别的能耐吗？

师：斜率也能用来测量山高。中学测量树高，便是通过一个斜率，如下图：

只是山坡是弯的，如下图：

师：山坡上不同的点，会有不同的斜率（为了好画，下面只取山坡的一段），如下图：

生：那么要取哪一点的斜率来测量山高呢？

师：这是微分学的基本问题，如果随便取（如在起点），可能有大误差。

生：那么怎么取这个斜率，才不至于有误差呢？

师：感觉会有这样一个斜率，设想（但做不到）把山脚和山顶连成一条线（虚线），然后平行地向上下移动，则在连线脱离山坡的时刻，它就占有这山坡的某个点处的切线位置，如下图：

师：这就是说，在山坡上存在一个点，在这个点的切线角与连线角相同。于是，这个切线角的正切（k=斜率（tanθ））乘上山的底长便是山高，f(b)-f(a)=k(b-a)，这就是曲边三角形的正切定理，又称中值定理。

生：认出来了，原来大学中值定理不过是中学正切定理的推广，两者是统一的，把中学（直）搬到大学（曲），没有一点误差，真聪明！

师：但是这个点取在哪儿呢？我们是近视眼（或蚂蚁），只看到一点附近的性质（斜率），看不到远方，无法去连接山脚山顶这条连线，也不会将它平等地移到山坡的某个点上，所以这条切线取在山坡上的哪个点是未知的！这是一大缺点，这就像买彩票一样，明知头彩是存在的，但是能摸出哪个号预先未知，而且，中值定理的证明要用复杂的理论。

生：太可惜了，中值或k存在但又找不到，能不用中值定理吗？

师：M.Liveshits(2008)避开中值定理，照样证得很多有用的定理，但要用一点实数。而张景中（2008）基于一个非常显然的思想：平均速度一定介在“瞬时速度”之间，所以一定存在这样的点η1，η2，使得：

师：这不是等式，可以代替中值定理（等式）。

5 构造正切公式：基本定理

师：中值定理最聪明，但是不能用作精确计算（因为中值是未知的）。牛顿和莱布尼茨则用最笨的办法，即所谓的微元法：化整为零，分而治之，由零到整。

生：怎么化整为零呢

师：第一步化整为零，就是将山坡全段缩短成小段，如下图：

生：但是曲的还是曲的，这一步还看不出好处！

师：但是曲线小段的每一点斜率差不多相同。第二步分而治之就是选取其中任一点，如起点，以此点处的切线斜率作为曲线小段的斜率，如下图：

师：据此计算出切线在起点附近的高，称为微分高或简称：微分＝斜率*高。

生：但是它并非曲线小段的真高，含有：测量误差=真高-微分。

师：上面讲切线时已经计算过这个误差，它非常小，以至于和所取曲线小段（或底）相比，更有用地，

师：相对误差=测量误差/底，相对误差的值也很小，分而治之，完成了曲线小段求高（微分，最好的逼近）。

生：那么，第三步如何由零到整，延拓到全段上？

师：它就是将分段小段上的微分（中学直边三角形的高）加起来，如下图：

生：那么应该有：全段高≈微分的和？

师：没有那么简单，因为各个小段上的微分都有测量误差，加起来之后会产生一个：全段误差＝测量误差的和。

生：这是全段误差，或测量误差的和，当分割加密，项数会越来越多，那么误差会不会被积累或扩大呢？还是反而会变小？

师：这是最令人担心的问题，究竟怎样，不能凭感觉，有待进一步计算。只有这个和不因加密（和项增加）被放大，反而小于任一指定的数，第三步才有效。

生：那么这个和怎样计算，以便判断会不会被放大呢？

师：全段误差和全段底（或总底）之比：

（其中各项系数为正，而且加起来等于1，所以是加权平均，但当各底相等时，便是算术平均），然后计算这个平均。

生：这个平均又是什么呢？看得见吗？既然已知各段相对误差都能任意小（因为曲线各点可微），而它们的平均又不会超过其中某一个相对误差，那么这个平均就应该任意小吧？

师：没有那么简单。我们担心的是，当网格加密，各段相对误差会不同程序地变小，不见得一致。所以，什么时候平均小，需要交代清楚。

生：从上面的图可以看到，那里的相对误差在各段的分布不见得均匀。

师：如果相对误差在各段的分布均匀（称曲线“一致可微”），即相对误差能一致变小，不依赖于分点的位置，那么能有平均变小。幸亏这个一致变小的假设容易满足（相当于曲线“连续可微”），这时，当网格加密，全段误差才能小于一个指定的数，便有可积性以及基本定理：全段高=微分的积分。这里把“离散”的和写成“连续”的积分。这样才能达到严格化，不至于导致误解，或模棱两可、似是而非。

生：没想到基本定理的证明这么简短（不到一页），只用到平均变小的条件。正统教材必须用中值定理（其证明巧妙且长）。

师：不仅简短，实际上找到了基本定理或可积的充要条件：平均变小。数学追求完美（充要条件）。上面说的“连续可微”条件只是特殊情形，充分非必要。

生：许多人敬畏数学，是因为数学需要高技巧。可是你说的微积分基本定理，没有什么技巧，只用到平均的思想，后者是物理实验常用的办法，不是特殊的概念。

师：不能盲目追求技巧，一般说更大的技巧在于能把通过繁杂计算才能达成的理论认识变得一眼认出、一举得证。数学家华罗庚就是这方面的高手。当过北京大学校长的丁石孙说：“华罗庚当时非常得意，他新完成一个工作，就是证明了所谓射影几何的基本定理。他说他证明这条定理，只用了初等数学的方法，只一页纸就写出来了。过去人们用了很多高等数学的知识，证出的只是特例。后来我才知道，华罗庚只用了很简单的一个公式就证出来了。他的证明，现在一般称作华氏定理。”《科学时报》也报道过数学家张寿武数学心得：“我特别喜欢做数学的过程，坐在那里慢慢地思考、重新规划，把一个非常复杂的问题形成一个很小的问题。我觉得数学最妙的地方是：正确是基于简单的理由，而不是复杂的理由。数学与科学和文学一样，能够留下来的东西都是最简单的。”

生：这太费时间，太慢，原地踏步怎么赶上前沿？要学得快，只能狼吞虎咽，先灌进去，赶快跑到前沿去。

师：这是一对矛盾，不过要选好书，避开长篇阔论，很快入门。

6 微无法的应用

生：没有人会用基本定理来测量山高，即使山坡上的斜率点点都能测量（只涉及一点附近的性质）。相应的底又怎么测量呢？这几乎不可能。所以基本定理会有什么用呢？

师：基本定理首先在于指出山高和斜率，积分和微分之间的关系，但是也能用来计算曲边图形的面积和弧长等。此外，微元法有种种用处，甚至解读托尔斯泰的小说。

生：据文学界人士说，托尔斯泰是头号文豪，他的作品最经得住时间的考验，那么能不能讲一讲他的小说跟微积分有什么关系呢？

师：托尔斯泰（1987）在巨著《战争与和平》中就讲到微积分的应用。他说：人的聪明才智不理解运动（注：相当于光滑曲线）的连续性，人只有在他从某种运动中任意抽出若干单位（注：相当于曲线小段）来进行考察时才逐渐理解。但是把运动分成越来越小的单位，这样处理（注：化为微分）我们只能接近问题的答案，却永远得不到最后的答案，只有采取无限小以及求出它们的总和（注：微积分），已经有了处理无限小求和的技术，从而纠正了人类的智力由于只考察运动的个别单位所不能不犯下的和无法避免的错误。在探讨历史的运动规律时，情况完全一样，由无数人的肆意行为组成的人的运动，是连续的。人的肆意行动的总和永远不能用一个历史人物（一个人、国王或统帅）的活动来表达，只有采取无限小的观察单位－历史的微分，并且运用积分的方法（就是得到这些无限小的总和），我们才有希望了解历史的规律，这个结论倒像是历史学的基本定理：历史=微分的积分。不能用一个历史人物的活动来表达。但是在前面的中值定理又说，理论上（在光滑情形）存在某个救世主（只是找不到），矛盾？

生：这些解读的确牵强附会，但是基本定理毕竟提供一种思维的微元法。例如，金融危机，金融数学家彭实戈说：“这是一个非常大的事情，但又是一个非常小的事情。大楼什么时候倒塌是不确定的事情，确定的是一砖一瓦没有做好，问题出在一砖一瓦没有控制好，才会出现这些大问题。”

师：一位汽车工业的工程师说，他的计划就是先微分再积分，微分指让每一个工厂做好汽车的某一个原件，积分之后就是一部好汽车。好像管理学的基本原理也是做好微分后再积分。

生：也可以说，每人都在做微分，诀窍就在做得最好，精益求精（做成最好的逼近）。所谓细节决定一切，正好微分决定积分。

师：华罗庚讲优选法，讲得最好，讲成世界第一，一位大学校长讲美化环境，说扫地也要世界第一，行行出状元。

7 微积分和自然科学

生：到此，微积分都是取几何图形作参照物，那么微积分只是几何学吗？

师：我们先讲几何，因为图形看得见摸得到，以图代想，看图识字，是认识世界简易可靠的方法。

生：那么除了几何应用，还有别的什么应用？

师：微积分更多的应用在于自然科学，它的语言最适合于自然科学，其中斜率或变化率（一阶导函数），或加速度（二阶导函数）是最基本的概念。自然科学需要变化率、加速度以及微分方程表示它们的规律，并从中解出它们。

生：那么什么是微分方程呢？在中学只知道代数方程和三角方程啊。

师：最简单的微分方程就是已知导函数求函数自身，有最明显的几何意义：已知曲线的斜率求曲线的高，如果退回中学（直角三角形），一眼认出那就是三角方程：已知斜边的斜率，求它的高，所以大学之中认出有中学。

生：这是我所见过的最形象的对微分方程的解读！那么，除基本定理（已知导函数求函数自身）之外，还有别的微分方程吗？

师：多的是！不过最重要的是人口微分方程（导函数依赖于函数自身，或变化依赖于现状，它和基本定理一起构成了一阶微分方程的母方程，别的方程都要变成这两个方程。）

生：我从电视上听到，微分方程的途径产生了自然科学的革命，由牛顿开始用它，之后，所有的科学家（包括麦克斯韦、薛定谔、爱因斯坦）都追随他，所以牛顿是划时代的。

师：有关多变量的微分方程（包括麦克斯韦、薛定谔和爱因斯坦的微分方程）及其解法乃是数学研究的重大课题。数学太多太难了，这也是华罗庚的感叹。我们的对话只是大海中的一滴水，但愿一滴能见全身。