行程问题

题1：一辆汽车从A城开往B城，如果把车速提高20%，则可比原定时间提前1小时到达B城，如果按原速度行驶100千米后，将车速提高30%，也恰好比原定时间提前1小时到达B城。求A、B两城的距离。

 

解析：

通过第一句话提速至120%，时间减少1小时，可知，速度是原来的120%,行驶同样的路程，时间则是原来的100/120,即5/6,则原来所用的时间为:1÷(1-5/6)=6(小时),那么提速至120%所用时间为：6-1=5(小时)

题中第二句话可转化成：以原始速度行驶一段路程(100千米)后提速至130%行驶完全程，此时全程的速度是原始速度的120%，则令原始速度行驶的时间是T1,提速至130%行驶的时间是T2,则

T1*(120%-1)=T2*(130%-120%)

则T2=2T1,而

T1+T2=5小时

所以

T1=5/3小时，T2=10/3小时

即汽车以原始速度行驶5/3小时的路程是100千米，则其速度是

100÷5/3=60千米/小时

则A、B两地的距离为：60×6=360（千米）

 

 

题2：A、B两地之间有条公路，小王步行从A地去B地，小张骑摩托车从B地出发不停地往返于A、B两地之间，若他们同时出发，前后速度保持不变，60分钟后两人第一次相遇，70分钟后小张第一次超过小王。当小王到达B地时，小张和小王迎面相遇过______次。

 

解析：

此题可以借助画线段分析会更加清楚

(手机上不好勾画)

我就直接分析：1、确定前提：小王步行从A到B，小张骑摩托车从B到A且不停地往返AB之间(摩托车速度比人快)，他们前后的速度保持不变；

2、他们第一次相遇的时间是60分钟，即60分钟*他们的速度和=AB的距离

3、相遇后，摩托车先到达A地返回B方向，从相遇到追上仅用70-60=10(分钟)，即摩托车用10分钟所走的路程等于小王步行60+70=130(分钟)的路程，即摩托车的速度是步行速度的130/10=13倍

此时可知小王步行全程所需时间:60*(13+1)=840分钟，而此时摩托车共走的路程是步行路程的13倍，即往返BA两地13趟，奇次趟数为相遇，偶次趟数为追及，所以相遇的趟次为1.3.5.7.9.11.13。追及的趟次为2.4.6.8.10.12。

那么相遇的次数是7次，追及的次数是6次，当小王到达B地时，小张刚好到达A地。

 

 

题3：一只野兔逃出80步后猎狗才发现，开始追它。已知野兔跑8步的路程，猎狗只需跑3步；猎狗跑4步的时间，野兔要跑9步。那么猎狗至少要跑_____步才能追上野兔。

 

解析：

这是一道追及问题，也是常用题型。

列举两个已知条件，尽可能得出更多的结论

野兔 × 8步 =  猎狗 × 3步  (距离相同)

T(猎狗4步)   = T(野兔9步）     (T代表时间)

 

此题的关键就是找出相同时间内猎狗的速度比野兔快多少步，而后知晓追上80步（距离差）所需要的时间。

 

由已知条件  T（猎狗4步）   =  T（野兔9步 ）

——>  T（猎狗12步）    =  T（野兔27步)   （1）

由已知条件   3步（猎狗）      =    8步（野兔）

——>     12步（猎狗）   =    32步（野兔)  （2）

由（1）（2）两个式子分析

（1）式即是：在猎狗跑12步的时候，野兔跑27步

（2）式即是：猎狗跑12步的路程相当于野兔跑32步的路程

则在相同时间T（猎狗12步）内，猎狗比野兔多跑：

 32步(野兔） - 27步(野兔） = 5步(野兔）

而野兔事先逃出80步，则可知猎狗要追上这80步需要跑：

80÷5×12=192（步）

 

 

题4：龟兔进行10000米赛跑，已知兔子的速度是龟的速度的5倍。当它们从起点一起出发后，龟不停地跑，兔子跑到某一地点开始睡觉了。兔子醒来时，龟已经领先它5000米。兔子奋起直追，但当龟到达终点时，兔子仍落后100米。那么兔子睡觉期间龟跑了多少米？

 

解析：

此题可用两种思路求解。

第一种把兔子作为参照对象，算出龟的对应量；

第二种就是把龟作为参照对象，算出兔子的对应量。

第一种更直接一点。

当龟到达终点时，兔子还剩100米，即兔子跑了10000-100=9900(米)，按照龟兔的速度关系，龟在兔子醒的时候跑了9900÷5=1980(米)，那么龟在兔子睡觉期间跑了10000-1980=8020(米)。题中5000米有点迷惑的嫌疑。

 

 

题5：已知C地为A,B两地的中点。上午7点整，甲车从A出发向B行进，乙车和丙车分别从B和C出发向A行进。甲车和丙车相遇时，乙车恰好走完全程的3/8，上午10点丙车到达A地，10点30分当乙车走到A地时，甲车距离B地还有84千米，那么A、B两地距离是多少千米？（15分）

 

解析：

此题为路程问题，表面上感觉繁琐，深入分析较为简单。利用内在的关系可解，根据各已知条件可相关结论。

第一步：确定乙走完的时间、速度

时间：10:30-7:00=3小时30分=7/2小时

速度：把AB全程看成单位1，那么乙速度为：2/7

 

第二步：确定甲、丙的速度和与时间

当乙走完全程的3/8，此时甲丙相遇，即走完全程的1/2，那么按照乙走完全程的时间计算出甲丙共同走完全程的时间：

7/2 ×3/8 ×2=21/8

甲丙的速度和：8/21

 

第三步：丙的时间与速度

时间：(10:00-7:00)×2=6小时

速度：1/6

 

则甲的速度：8/21-1/6=3/14

则甲走完全程的时间为：14/3

 

第四步：剩余84千米占全程的几分之几

甲从7:00-10:30共花7/2小时，此时走完全程的几分之几：

7/2÷14/3=3/4

则84千米占全程AB的1-3/4=1/4

 

全程AB的距离S=84÷1/4=336(千米)

 

 

题6：小海龟爬沙丘，上坡路长30米，小海龟白天只能爬坡8米，然而晚上还要滑下7米，小海龟经过几天的奋斗爬到丘顶，然后延原路返回，假设返回时白天和晚上的速度不变，则小海龟从第一天爬坡开始算，第几天能返回原点？  （10分）

 

解析：

此题的关键是小海龟几天能爬到丘顶。

由题意可知，只要知道小海龟几天离丘顶8米时，第二天就能到达丘顶，则有

(30-8)÷(8-7)=22(天)

即第22天离丘顶为8米，那么第22+1=23天到达丘顶

根据题意，返回速度每天为8+7=15米，则返回时间为30÷15=2天，那么23+2=25，即是第25天返回原点。

 

提问：是第25天白天返回原点还是晚上？

 

 

 

题7：甲乙两车分别从相距360千米的AB两地同时相向而行，3小时相遇。如果两车从原地同向而行，慢车在前，快车追赶，则快车15小时可追上慢车。求两车的速度各是多少？  （10分）

 

解析：

此题同时涉及到追及问题和相遇问题

相遇时，即速度和：360÷3=120千米/时

追上时，即速度差：360÷15=24千米/时，此时就变成了和差问题，则有

快车速度：(120+24)÷2=72千米/时

慢车速度：(120-24)÷2=48千米/时

 

 

题8：甲、乙两车在一条长600米的直路上来回行驶，甲车的速度是25米/秒，乙车的速度是15米/秒。若甲乙两车同时从一端出发行驶了15分钟，则他们在这段时间内共相遇了多少次？(端点不计，转弯时间忽略)  （15分）

 

解析：

根据相遇的特点：甲乙两车每走两个全程相遇一次，那么15分钟时他们共同走了多少个全程？(25+15)×15×60÷600=60

下一步考虑，在端点相遇的次数

看一组数据：甲走完全程600÷25=24秒，乙走完全程：600÷15=40秒，那么当时间为[24秒，40秒]的整数倍时，必定是在端点相遇

[24，40]=120，而15分钟为15×60=900秒，共有900÷120=7...60，即甲乙两车7次在端点处相遇，按题意共相遇30-7=23次

 

 

题9：甲、乙、丙三个人，甲每分钟行走120米，乙每分钟行走100米，丙每分钟行走70米。如果三个人同时同向从同地出发，沿周长300米的圆形跑道行走，那么至少经过多少分钟三个人又可以相聚？

 

解析：

根据任意两个人相聚，他们之间都相差整数圈的距离，这样可以求出三个人两两相聚的最短时间是多少？

甲和乙：300÷（120-100）=15（分钟）

甲和丙：300÷（120-70）=6（分钟）

乙和丙：300÷（100-70）=10（分钟）

要使三个人同时相聚，实际上也就是求这三个时间的公倍数，依题意，求出最小公倍数：

【15，6，10】=30

即至少经过30分钟三个人又可以相聚。

 

 

题10：甲、乙两地相距3500米，小王骑车每分钟行190米，小李每分钟行160米，两人分别从甲、乙两地同时相向而行，他们分别到达乙、甲两地后，各休息3分钟，然后返回。问：两人第一次相遇后又经过几分钟第二次相遇？

 

解析：

根据题意，可分几个步骤：

一、先计算出第一次相遇的时间

3500÷(190+160)=10(分钟）

二、计算出从第一次相遇到第二次相遇时所走的总路程

3500×2=7000（米)

三、求出所求时间

7000÷（190+160）+3=23（分钟）

 

 

题11：某小学三、四年级学生528人排成四路纵队去看电影，队伍行进的速度是每分钟55米，前后两人都相距1米。现在队伍要走过一座桥，整个队伍从上桥到离桥共需16分钟。这座桥长多少米？

 

解析：

根据题意，分析如下

一、每路纵队的人数与长度

528÷4=132（人）

（132-1）×1=131（米）

二、过桥所走的距离

55×16=880（米）

三、桥身长度

880-131=749（米）

 

 

题12：一个人以每小时4千米的速度从山脚登上山顶，又以每小时6千米的速度从山顶按原路返回山脚，请问登山与下山的平均速度是多少？

 

解析：

根据题意，可假设山顶与人的距离，可假设为单位1，为了更加容易计算，可选两个速度的最小公倍数，即【4，6】=12，即假设人与山顶的距离为12千米，则

上山的时间：12÷4=3（小时）

下山的时间：12÷6=2（小时）

则平均速度V=12×2÷（3+2)=4.8(千米/时)

题13：甲乙两人要从A地去B地。甲出发48分钟后，乙再出发，结果当甲走了全程的2/3时被乙追上。如果乙到达B地后立即原速返回，则乙离开B地6分钟后与甲相遇。那么当乙再次来到追上甲的地点后，甲还要______分钟到达B地。

解析：

如图：

带箭头的线段为行驶轨迹，相同颜色的箭头线段为所属时间段也是相同的。再定义几个点，如下图

可设全程为单位1，即AB=1

 

从甲的两个时间段来看：由于AN=2BN=2/3，

再看乙的时间段，则有MN=2NP   【1】

 

最后从整体角度上看，AN=2BN，即AM+MN=2(NP+PQ+BQ)  【2】

 

结合【1】【2】可知，AM=2(PQ+BQ) ，即

 

V甲×48分钟 =2 ×（ V甲×6分钟+V乙×6分钟）

 

则V乙 = 3V甲   【3】

 

则有关系成立AN=3MN，

 

--->AM=2MN=V甲×48分钟

 

--->MN=V甲×24分钟      ，结合【1】

 

--->NP=MN×1/2=V甲×12分钟 

则NQ=NP+PQ=V甲×12分钟 +V甲×6分钟 =V甲×18分钟  结合【3】得

 

 

NQ=V乙×6分钟， 即乙6分钟后再次来到上次追上甲的地点，那么甲到达B地还需要的时间是：6×3-6=12（分钟）

题14：A码头在B码头的上游，“2017”遥控舰模从A码头出发，在两个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是200米/分钟，水流速度是40米/分钟。出发20分钟后，舰模位于A码头下游960米处，并向B码头行驶。求A码头和B码头之间的距离。

解析：

第一步：根据静水中速度和水流速度可知：从A码头驶向B码头的速度即顺水速度V1为：200+40=240（米/秒），从B码头驶向A码头的速度即逆水速度V2为：200-40=160（米/秒）

第二步：确定960米处是第几个来回。首先由题意在960米处时属于顺水行驶（向B码头行驶），那么

如果是第1次出发行驶，即此时用时为：960÷240=4（分钟）<>

如果是第3次顺水行驶，即此时至少用时为：960×3÷240+960×2÷160=24（分钟）>20（分钟），不符题意

那么只能是第2次顺水行驶

如果是第2次顺水行驶，即此时至少用时为：960×2÷240+960÷160=14（分钟）<>

第三步：得出结果。由前两步可知，第二次顺水行驶时间为：960÷240=4（分钟），则A、B两码头一个来回的时间为：20-4=16（分钟）。由顺水速度和逆水速度的关系可知相同距离分别所用的时间关系。

顺水速度V1÷逆水速度V2=240÷160=3/2，那么顺水时间T1÷逆水时间T2=2/3，而又前面所得出的结论可知：T1+T2=16，则推出T1=6.4(分钟），T2=9.6（分钟）。则A、B两码头之间的距离S=V1×T1=V2×T2=240×6.4=160×9.6=1536（米）