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猎狗追兔问题是行程问题中比较典型的一类题，该类问题除考察追及问题的基本公式外，还要综合运用比例、份数等手段解决。解题思想是将两种动物单位化为统一，然后用路程差除以速度差得到追及时间，或者由速度比得出路程比，再引入份数思想，进而解决问题。以下题为例： 【例1】一猎狗正在追赶前方20米远兔子,已知狗一跳前进3米,而兔子一跳前进2.1米,但狗跳3次的时间兔子可以跳4次,问猎狗跑多少米能追上兔子? 【分析】狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒 则狗速度为9米/秒，兔速度为8.4米/秒，狗和兔子的速度都得以确定，接下来将是一个非常简单的追及问题，路程差为20米，可列式子20÷（9－8.4）=100/3（秒）能够追上兔子。 用时20/(9-8.4)秒时间追上，即 狗跑了9×100/3=300米 从以上例题我们可以看出，解决此类问题的关键在于：根据时间相同，将其设为单位时间（1秒），问题简单解决。 我们再看下一道题： 【例2】猎狗前面26步远有一只野兔,猎狗追之,兔跑8步的时间狗跑5步,兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离,问:兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少米? 【分析】兔8步的时间狗跑5步,设都为1秒………………………（一次设数） 再根据兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离 设兔子一步4米，狗一步9米………………………………………（二次设数） 从而得出 狗速度为45米/秒，兔速度为32米/秒 进而狗兔相距26×9=234米，追及时间为 234÷(45-32)=18（秒） 兔子一秒跑8步，总共跑了9×18=144步 狗一秒跑45米，总共跑了45×18=810米 此题不同于第一道题的地方在于并未直接告诉我们狗与兔的步长，而给出两者步长的关系，解决问题时可再一次设数，将狗与兔的数据调换，作为其步长，问题转化同例1. 根据以上两道例题，李老师做以下总结，称之为“两次设数法”： 猎狗追兔问题“两次设数法”： ①设单位时间，得出每秒几步； ②设步长，从而得出各自速度； 之后运用追及基本公式解决。但要注意开始时的距离是步长还是米，以及最终所问的是米还是狗步或兔步。 记住以上方法，猎狗追兔问题轻松解决。 【练习】猎狗发现离它110米处有一只奔跑的兔子，马上紧追上去，猎狗跑5步的距离兔子要跑9步，猎狗跑2步的时间兔子要跑3步，问猎狗跑多远才能追上兔子？ 设狗走x米才能追究上兔：3/2x=9/5（x—110） x=660米 3、一条猎狗追30米外的一只狐狸，狗跳跃一次为2米，狐狸跳跃一次为1米，而狐狸跳3次的时间，猎狗只能跳两次，猎狗跑多少米才能追上狐狸？x/4=(x-30)/3 x=120 【分析】：狐狸跳3次的时间，猎狗只能跳两次，也就是狐狸前进1×3＝3米，猎狗可以前进2×2＝4米，由于4－3＝1，所以猎狗每跑4米就追上狐狸1米，于是猎狗追上狐狸的需要跑 4×30＝120（米）. 4、一只猎狗发现在离它18米远的前方有一只狐狸在跑，马上紧追上去，猎狗跑2步的路程狐狸需跑3步，若猎狗跑5步的时间，狐狸可跑7步，猎狗跑多少米能追上狐狸？ x=15/14(x-18 ) x=270 【分析】设猎狗一步距离为A,狐狸一步则为(2/3)A 设单位时间X作为参数,在X时间内猎狗可以跑一步,则狐狸可以跑7/5步即在相同的X时间内,猎狗跑A,狐狸可跑(2/3)*(7/5)A=(14/15)A 时间相同,猎狗和狐狸的速度即为路程比,15:14 猎狗每跑15米,狐狸跑14米,可追上狐狸1米,所以猎狗要跑15*18=270米因为不知道到这是小学竞赛题还是中学题,所以用小学的方式解的,中学物理题的话,用公式V=S/T表示上面的东西就可以了,最后的速度V用参数表示出来 5、猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出多远才能追上野兔？ x=21/16(x-30) x=126 【分析】：这道题条件比较隐蔽，时间、速度都不明显。为了弄清兔子与猎狗的速度的关系，我们将条件都变换到猎狗跑12步的情形（想想为什么这样变换）： （1）猎狗跑12步的路程等于兔子跑21步的路程； （2）猎狗跑12步的时间等于兔子跑16步的时间。 由此知，在猎狗跑12步的这段时间里，猎狗能跑12步，相当于兔子跑 也就是说，猎狗每跑21米，兔子跑16米，猎狗要追上兔子30米需跑21×[30÷（21-16）]=126（米）。 练习 1，一只猎狗正在追赶前方20米处的兔子，已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次，问：兔子跑出多远将被猎狗追上？ 设兔子跑出x米被猎狗追上，狗的速度为9米每秒，则兔速度为8.4米每秒。 (x+20)/9=x/8.4 x=280 2，猎狗前面26步远有一只野兔，猎狗追之，兔跑8步的时间狗跑5步，兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离，问：兔跑多少步后被猎狗抓获？此时猎狗跑了多少米？ 3，野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步，问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔？ 答案： 1.狗跳3次的时间兔子可以跳4次，设都等于一秒 则狗速度为9米每秒，兔速度为8.4米每秒 用时20/(9-8.4)秒时间追上 狗跑了9*20/(9-8.4)=300米 2.兔跑8步的时间狗跑5步，设都等于一秒 兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离 设兔子一步4米，狗一步9米 则狗速度为45米每秒，兔速度为32米每秒 距离为26*9=234米 时间为234/(45-32)=18秒 兔子一秒跑8步，总共跑了9*18=144步 狗一秒跑45米，总共跑了45*18=810米 3.野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步，设都等于一秒 野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步 设兔子一步3米，狗一步7米 则狗速度为35米每秒，兔速度为27米每秒 距离为80*3=240米 追上的时间为240/(35-27)=30秒 狗一秒跑3步，所以总共跑了3*30=90步 1、猎犬发现在离它10米远的前方有一只奔跑着的野兔，马上紧追上去，猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的动作快，猎犬跑2步的时间，兔子却要跑3步。猎犬至少跑多少米才能追上兔子？ 【分析】 方法一： 设猎犬跑5步的路程(兔子9步)为1米，猎犬跑2步的时间(兔子3步)的时间为1秒 S犬=1/5(米/步)，S兔=1/9(米/步) T犬=1/2(秒/步)，T兔=1/3(秒/步) V犬=2/5(米/秒)，V兔=1/3(米/秒) 句子与猎犬的速度差为2/5-1/3=1/15米 追上要用时间10/(/15)=150秒 狗跑S=T*V=150*2/5=60米 方法二： 步长比：9：5 频率比：2：3 速度比：18：15 （注意这里比出来是以米作为单位的，具体可以参考方法一） 18：15=6：5=60：50 2、猎人带着猎犬去打猎，发现兔子的瞬间（此时猎人、猎犬、兔子位于同一点上），猎人迟疑了一下才发出了让猎犬追捕的命令，这时兔子已经跑出了6步。已知猎犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步；但兔子动作快，猎犬跑2步的时间，兔子能跑3步。那么猎犬跑多少步才能追上兔子？ 【分析】 这是我早上碰到的那题，区别就是把米改成了步 方法一： 设猎犬跑5步的路程(兔子9步)为1米，猎犬跑2步的时间(兔子3步)的时间为1秒 S犬=1/5(米/步)，S兔=1/9(米/步) T犬=1/2(秒/步)，T兔=1/3(秒/步) V犬=2/5(米/秒)，V兔=1/3(米/秒) 兔子跑6步跑动的距离：s=6*(1/9)=2/3(米) 猎犬要追上这段距离需要用时：t=s/(V犬-V兔)=10(秒) 10秒钟猎犬跑的步数为：10*2=20(步) 方法二： 也可以用比例来做 步长比：9：5 频率比：2：3 速度比：18：15 （注意这里比出来是以米作为单位的，具体可以参考方法一） 接下去，要把步换作米 兔子跑6步跑动的距离：s=6*(1/9)=2/3(米) 换成2/3后，就跟第一题的方法一样了 18：15=6：5=12/3：10/3=4：10/3 狗要跑4米才能追上，而S犬=1/5(米/步) 所以狗要跑4/（1/5）=20步 掌握了这两题，以后这种类型的题就可以秒杀了。 猎狗追兔问题练习题附详解 1、猎狗前面26步远处有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离。问：兔跑几步后，被狗抓获？ 2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再泡多远猎狗可以追到它？ 3、狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才能到达B地？ 4、一个分数，如果分子加3，这个分数等于1/2；如果分母加1，这个分数等于1/3。求这个分数。 5、在一个圆圈上有几十个孔，小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。问：这个圆圈上有多少个孔？ 答案： 1、猎狗前面26步远处有一野兔，猎狗追之。兔跑8步的时间狗只跑5步，但兔跑9步的距离等于狗跑4步的距离。问：兔跑几步后，被狗抓获？ 解：解法一：设兔的步长为1，则狗的步长为9/4 ，兔跑一步的时间为1，则狗跑一步的时间为8/5 。 26×9/4 ÷(9/4 ÷8/5 －1)=144(步) 解法二：设狗的步长为1，则兔的步长为4/9 ，设兔跑一步的时间为1，则狗跑一步的时间为8/5 。 26÷(1÷8/5 －4/9 )＝144（步） 回答人的补充 2009-07-24 21：59 2、猎人带猎狗去捕猎，发现兔子刚跑出40米，猎狗去追兔子。已知猎狗跑2步的时间兔子跑3步，猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等，求兔再泡多远猎狗可以追到它？ 猎狗跑2步的时间兔子能跑3步，即猎狗跑4步的时间兔子能跑6步 猎狗跑4步的距离与兔子跑7步的距离相等， 即猎狗跑兔子7步的距离与兔子跑6步的时间相等， 猎狗的速度比兔子的速度快1/6 猎狗追到兔子，必须比兔子多跑40米， 40÷(1/6)=240 兔子再跑240米(猎狗跑280米)，猎狗可以追上. 3、狗和兔同时从A地跑向B地，狗跑3步的距离等于兔跑5步的距离，而狗跑2步的时间等于兔跑3步的时间，狗跑600步到达B地，这时兔还要跑多少步才能到达B地？ 狗和兔子的步长比为3比5 时间比为2比3 840÷ (3*2)*(3+5)=1344 回答人的补充 2009-07-24 22：01 4、一个分数，如果分子加3，这个分数等于1/2；如果分母加1，这个分数等于1/3。求这个分数。 （分子+3)/分母=1/2 分子=1/2分母-3 分子/(分母+1）=1/3 分子=1/3分母+1/3 1/2分母-3=1/3分母+1/3 1/6分母=10/3 分母=20 分子=1/2分母-3=1/2x20-3=7 分子=1/3分母+1/3=1/3x20+1/3=7 这个分数是7/20. 回答人的补充 2009-07-24 22：03 5、在一个圆圈上有几十个孔，小明像玩跳棋那样从A孔出发沿逆时针方向每隔几个孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。问：这个圆圈上有多少个孔？ 假定a孔下一个孔的代号是1，然后依次是2，3，4，5...，a 每阁n个孔，实际上就是每次移动到n+1个孔 每隔2孔跳一步 就是一次移动3步 他又试着每隔4孔跳一步 一次移动5步 最后他每隔6孔跳一步 依次移动7步 每隔2孔跳一步，他又试着每隔4孔跳一步，都能移动到b孔，，说明b是3和5的公倍数，而且a-b<3 最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到a孔说明a还要被7整除 3和5的公倍数是 因为a能被7整除则a=.28.35.42.49.56.63.70.77.84.91.98 0<a-b<3
则可以知道a=77或者91 补充
【例 1】猎狗前面 26 步远有一只野兔，猎狗追之. 兔跑 8 步的时间狗跑 5 步，兔跑 9 步的距离等于狗跑4 步的距离.问：兔跑多少步后被猎狗抓获?此时猎狗跑了多少步? 【解析】方法：“猎狗前面 26 步……”显然指的是猎狗的 26 步。因为题目中出现“兔跑 8 步的时间……”和“兔跑 9 步的距离……”，8 与 9 的最小公倍数是 72，所以可以统一在“兔跑 72 步”这个情况下考虑.兔跑 72 步的时间狗跑 45 步，兔跑 72 步的距离等于狗跑 32 步距离，所以在兔跑 72 步的时间里，狗比兔多跑了 45—32=13(步)的路程，这个 13 步是猎狗的 13 步. 由此推知，要追上 26(狗) 步，兔跑了 72×(26÷13)=144(步)，此时猎狗跑了 5×(144÷8)=90(步). 设猎狗跑x步才能追上兔。8/5x=9/4（x-26） x=90 9/4（90-26）=144
【巩固】 野兔逃出 80 步后猎狗才开始追，野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的时间猎狗只能跑 5 步.问：猎狗至少跑多少步才能追上野兔? 【解析】“野兔跑 7 步的路程猎狗只需跑 3 步，野兔跑 9 步的时间猎狗只能跑 5 步.”讲条件转化为：“野兔跑 35 步的路程猎狗只需跑 15 步，野兔跑 27 步的时间猎狗只能跑 15 步.”在猎狗跑 15 步的时间内，猎狗比野兔多跑 35-27=8（兔步）. 猎狗追上野兔需跑：15×（80÷8）=150（步） 设野兔至少跑x步才能被狗追上. 5/9x=3/7(80+x) x=270 3/7(80+270)=150 兔在前面50步的地方被狐狸发现，狐狸追之。兔跑 5步的时间狐狸跑4步，兔跑 3步的距离等于狐狸跑2步的距离。问：兔跑多少步后被狐狸抓获?此时狐狸跑了多少步? |
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