【高考数学】解题能力提升, 每日一题: 第186题

如图，⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，AB是⊙O₂的直径，过A点作⊙O₁的切线交⊙O₂于点E，并与BO₁的延长线交于点P，PB分别与⊙O₁、⊙O₂交于C，D两点．

求证：

（1）PA·PD=PE·PC；

（2）AD=AE．

证明：（1）∵PE、PB分别是⊙O₂的割线

∴PA·PE=PD·PB             

又∵PA、PB分别是⊙O₁的切线和割线

∴PA²=PC·PB        

由以上条件得PA·PD=PE·PC

（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F

∵BC是⊙O₁的直径，

∴∠CAB=90°

∴AC是⊙O₂的切线．

由（1）知PA/PE=PC/PD，

∴AC∥ED，

∴AB⊥DE，∠CAD=∠ADE

又∵AC是⊙O₂的切线，

∴∠CAD=∠AED

又∠CAD=∠ADE，

∴∠AED=∠ADE

∴AD=AE

考点分析：

与圆有关的比例线段．

1、方程Ax²＋Bxy＋Cy²＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：

(1)B＝0；(2)A＝C≠0；(3)D²＋E²－4AF＞0.

2、求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．

(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

(2)圆心在任一弦的中垂线上．

(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

3、利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．

4、利用圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形结合思想的运用．

题干分析：

（1）根据切割线定理，建立两个等式，即可证得结论；

（2）连接AC、ED，设DE与AB相交于点F，证明AC是⊙O₂的切线，可得∠CAD=∠AED，由（1）知PA/PE=PC/PD，可得∠CAD=∠ADE，从而可得∠AED=∠ADE，即可证得结论．