《高中物理思维方法集解》试笔系列 ——核反应的“守恒规律”与“核能计算”问题

          《高中物理思维方法集解》试笔系列

  核反应的“守恒规律”与“核能计算”问题

                    山东平原一中    魏德田    253100 

    

核物理中，常提及核反应的“守恒规律”与“核能的计算”问题。事实上，在核反应过程中，由于核力对核子做功，会引起“核反应系统”（以下简称“系统”）的能量变化。我们则把系统释放或吸收的这种能量，叫做核能。从而，核反应即可分为质量亏损、释放核能和质量增加、吸收核能等两大类型。其中，又以研究发生质量亏损和释放核能的一类核反应为教学重点。进而，此类核反应又可分为衰变、嬗变、裂变和聚变等四种。因此，在本文中亦基本遵循这一原则，初步探讨一下此类问题的解题规律。                              

一、破解依据

   欲解决核反应中有关“守恒规律”与“核能的计算”问题，试归纳以下几条“依据”：

㈠五个守恒：⑴质量数守恒；⑵质子数（或核电荷数）守恒；⑶质量守恒（“亏损质量”与释放或吸收的“核能”相当）；⑷能量守恒。⑸对衰变、嬗变等过程，间或应用动量守恒。

㈡两个方程：

⑴质能方程：，m指运动质量。⑵核能：

㈢一个半衰期（τ）：反映衰变的速度。

⑴剩余核数：；⑵剩余质量：。

㈣核能的计算：⑴或——质能关系。其中， 分别为诸反应物、生成物的静止质量，为反应物、生成物的静止质量之差，亦即核反应的质量亏损。若则为释放核能的情形；若则为吸收核能的情形。

⑵若不计光子辐射的能量时，则有，即核能（动能）的增加等于 “系统能量”的减少；反之亦反之。

㈤核力及其做功问题：

⑴核力的性质：⑴是引力，与核子（质子、中子等）是否带电无关；⑵短程力，作用距离小于；（由于核子距离为，因而核力只存在于相邻的核子之间，距离稍远则迅速减为零。）⑶强相互作用。

⑵核力的功等于核能的变化。若核力做正功，则系统能量减少，故向系统外放出核能（动能、光能等）；核力做负功，系统从外界吸收核能，故系统能量增加。

                            二、解题示例

[例题1]（’07上海）U衰变为Rn要经过m次a衰变和n次b衰变，则m，n分别为（      ）

A．2，4         B．4，2         C．4，6        D．16，6

[解析]由应用“依据”㈠⑴、⑵（质量数、质子数守恒）可得，，

其中，因而由以下方程组

即可求出因此，本题答案为：B。

[例题2]（’06天津）一个原子核在中子的轰击下发生一种可能的裂变反应，其裂变方程为，则下列叙述正确的是（    ）

A. X原子核中含有86个中子

B. X原子核中含有141个核子

C. 因为裂变时释放能量，根据，所以裂变后的总质量数增加

D. 因为裂变时释放能量，出现质量亏损，所以生成物的总质量数减少

[解析]类似地，可得235+1=X_A+94+2×1，92=X_Z+38，容易求出核子总数X_A=140，质子数X_Z=54，核内中子数，故知A对B错。易知，重核裂变时质量亏损而释放能量，生成物总质量减少但质量数不变，故知C、D均错。因此，本题答案为：A。

[点拨]以上两例，除应用质量数、质子数守恒而外，还初步应用质量亏损的概念。“质量亏损”亦即反应物、生成物的静止质量之差

 [例题3]（’07广东）下列说法中正确的是(   )

A．中子和质子结合成氘核时吸收能量

B．升高放射性物质的温度，可缩短其半衰期

C．某原子核经过一次α衰变和两次β衰变后，核内中子数减少4个

D．γ射线的电离作用很强，可用来消除有害静电

[解析]分析易知，质子和中子在结合为氘核时，发生聚变反应释放核能；物质的半衰期决定于和本身的性质，与温度无关。故知A、B均错。

某原子核经一次衰变，由“依据”㈠⑴、⑵可知其质子数减少2，质量数减少4（亦即减少质子、中子各两个），进而经两次衰变，质子数增加2（亦即减少两个中子），质量数不变，因而最终导致核内中子数减少4，质子数不变，故知C正确。

至于射线在三种放射线中贯穿能力最强而电离能力最弱，不带电无法中和异种电荷，岂能消除有害静电？故知D亦为错。

因此，本题答案为：C。

[例题4]（’06重庆）¹⁴C是一种半衰期为5730年的放射性同位素。若考古工作者探测到某古木中¹⁴C的含量为原来的，则该古树死亡时间距今大约

A.22920年                    B.11460

C.5730年                     D.2865年

  [解析]显然，应用“依据”㈢⑵（衰变剩余质量），由此求出年。

[点拨]例3、例4则涉及衰变时“半衰期”的概念及其有关计算。

[例题5]（’06四川）某核反应方程H＋H→He＋X。已知H的质量为2.0136u，H的质量为3.0180u，He的质量为4.0026u，X的质量为1.0087u。则下列说法中正确的是   （    ）

A．  X是质子，该反应释放能量    B．  X是中子，该反应释放能量

C．  X是质子，该反应吸收能量    D．  X是中子，该反应吸收能量

    [解析]首先，应用质量数守恒和质子数守恒可得。因而，，即为中子。

然后，计算质量亏损（见“依据”㈣⑴）

    由此可见，该反应释放核能。因此，本题答案为：B。

[例题6]（’07广东）物理学家们普遍相信太阳发光是由于其内部不断发生从氢核到氦核的核聚变反应.根据这一理论，在太阳内部４个氢核()转化成一个氦核()和两个正电子()并放出能量.已知质子质量m_P＝1.0073u，α粒子的质量m_α＝4.0015u，电子的质量m_e＝0.0005u． 1u的质量对应931.5MeV的能量。

⑴写出该热核反应方程

⑵一次这样的热核反应过程中释放出多少兆电子伏的能量?（结果保留四位有效数字）

  [解析] ⑴首先，不难写出核反应方程：4→+2                                         

⑵然后，计算质量亏损

  

再由“依据”㈣⑴（质能关系）得热核反应过程中释放的“核能”                                               

 

[例题7]（’04广东）中子n、质子p、氘核D的质量分别为现用光子能量为E的γ射线照射静止氘核使之分解，反应的方程为

       

若分解后中子、质子的动能可视为相等，则中子的动能是   （     ）

A.     B.

C.     D.

[解析]类似地，质量亏损计算，引入已知数据可得

             

显然，由“依据”㈣⑴（质能关系）可得系统的吸收的“核能”为

     由此可知，此反应需吸收核能。若单个中子的动能为，则由能量守恒可得

               

由①②式，即可求出

            

因此，本题答案为：C。

[点拨]以上三例虽同为核能计算问题，但5、6两例属于释放核能的反应，例7则属于吸收核能反应；其判断方法只看“质量亏损”的“正负”。

[例题8]（’07北京海淀）一个原来静止在匀强磁场中的原子核发生衰变，放出某种粒子后，在匀强磁场中形成如图—1所示的径迹，原子核放出的粒子可能是（    ）

A．氦核       B．电子        C．光子     D．正电子

    [解析]在此类反应过程中，若为衰变，由动量守恒可知新核和粒子运动方向相反。再由左手定则、轨道半径知识可知，两者轨迹分别为半径上大、下小的外切圆。若为衰变，同理可知新核和粒子运动轨迹分别为径内小、外大的内切圆，恰当如图—1所示。

    因此，本题答案为：B。

 [例题9] （’07高考模拟）介子衰变的方程为，其中介子和介子带负的元电荷e,介子不带电。当一个介子竖直向上射入水平匀强磁场B，经圆弧AP速度向右时，在P点发生上述衰变。那么，能正确描述介子、介子运动的轨迹的是图—2的那一副图？

 

[解析]首先，设介子的质量、速度分别为,则、介子的速度分别为，质量均为。从而，由动量守恒可得

      

再由轨道半径公式，又得介子的圆周运动半径

     

由于衰变发生后，、介子具有运动方向的不确定性，因而展开讨论。

⑴当、的动量（速度）均水平向右时，向右做匀速直线运动；由①②③可知，，即做初速向右、半径的顺时针圆周运动。图中并无此类图样。

⑵当、的动量（速度）分别向右、向左时，向左做匀速直线运动；同理可得、，即做初速向右、半径的顺时针圆周运动，故知A、C、D均错。

⑶当、的动量（速度）分别向左、向右时，向右做匀速直线运动；同理可知无论半径如何，做初速向左的顺时针圆周运动，故知B正确。

因此，本题答案为：B。

[点拨]由8、9两例解析可见，当放射性原子核衰变发生后，在同一匀强磁场中新生核或粒子是否旋转、方向如何等问题，必须审察其是否带电，并需借助于动量守恒、洛仑兹力、左手定则、轨道半径和周期公式等等解决。

[例题10]（’07高考模拟）若反应方程以及各介子情况仍如[例题9]，而空间分布两同向匀强磁场，以虚线MN为理想边界，磁感应强度分别为，如图—3所示。今有一个介子沿垂直于磁场的方向射入匀强磁场中，其轨迹为圆弧AP，P在MN上，在P点的速度为v,方向与MN垂直。在P点该介子发生了上述衰变。衰变后产生的介子沿v反方向射出，其轨迹为如图虚线所示的“心”形图线。则以下说法正确的是 （    ）

A．介子的运行轨迹为PENCMDP               

B． 介子做匀速直线运动

C．介子运行一周回到P用时为   

D．

[解析]首先，当介子沿v反方向射出时，由左手定则、半径公式可知该介子作顺时针方向旋转，运行轨迹为；由动量守恒可知衰变后介子速度向右，因不带电而做匀速直线运动。故知A错B对。

然后，由图—3、轨道半径公式，可知介子分别在磁场B₁、B₂中的半径之比

再应用周期公式，即可求出介子运行一周回到P所用时间

             

由此可知，C对而错。因此，本题答案为：B、C。

[点拨]此例引用轨道半径公式、周期公式，稍有不同的是求介子运行一周的运动时间，采用分段计算的方法。           

[例题11] （’07北京海淀）静止在匀强磁场中的核俘获一个运动方向垂直于磁场，速度大小为的中子，发生核反应。若已知核的速度大小为，方向与反应前中子的速度方向相同，求：

⑴的速度；

⑵核和核在磁场中做匀速圆周运动的半径之比；

⑶当核旋转3周时，核旋转几周？

[解析] ⑴首先，由动量守恒定律可得

           

代入已知数据，即可求出的速度

           

其方向与中子的运动方向相反。

⑵然后，应用轨道半径公式代入已知数据，可求出核和核在磁场中做匀速圆周运动的半径之比

           

⑶最后，由周期-周数关系、周期公式（即同一时间内周期与旋转周数成反比）可得

           

已知周，代入③式即得

             。

即核旋转3周时，核旋转4.5周。

[点拨]此例解决以动量守恒开端，先求出的速度，继之采用轨道半径公式其其比值，最后则借用在相同时间内周期、转动周数成反比的关系，获取成功。

[例题12]（’07高考模拟）如图—4所示，在一环形区域存在着垂直纸面向里的匀强磁场，在圆心O点处一静止的镭核放出一个粒子后变成氡核，已知镭核在衰变过程中有的能量转化为它们的动能。粒子进入磁场后受到洛仑兹力的大小为。

⑴试写出镭核衰变成氡核的核反应方程式。

⑵分别求出粒子和氡核的动能。

⑶分别求出粒子和氡核进入磁场的偏转半径。

   [解析] ⑴容易写出其核反应方程：

   ⑵其次，由动量守恒、动能守恒可得

                   

   又，动能与动量的关系为

                 

   考虑到两者质量的关系，由以上三式可得

                 

   ⑶然后，由于粒子做匀速圆周运动的向心力即洛仑兹力，从而

                 

   由⑤⑥式，代入洛仑兹力即可求出

                   

   最后，由半径公式、动量守恒定律，又得

                 

   再把⑦式代入⑧式，即可求出氡核的半径

                   

   [点拨]应该强调，在解决核反应问题时，我们万万不能忘记动量守恒、能量守恒、洛仑兹力、向心力、牛顿定律等的普适性和实用价值。亦即对核反应问题，宜针对不同问题，综合运用力、热、电、光、原等最基本的物理概念和规律，灵活予以分析和解决。

   [例题13]（’07天津模拟）在天体演变的过程中，超红巨星发生“超新星爆炸”后，会有气体尘埃以云雾的形式向四面八方喷出，俄当然爆炸之后剩余的星体核心部分，可以形成中子星。中子星是通过中子之间的万有引力结合而成的球状星体，结构及其复杂，具有极高的密度。

⑴中子星中存在着一定量的质子和电子，这是因为自由状态的中子很不稳定，容易发生衰变生成一个质子和一个电子，请写出核反应方程，并计算该核反应中释放出的能量为多少J？（质子质量中子质量电子质量，）（结果保留两为有效数字）

⑵已知某中子星密度为半径为，求该中子星的卫星运行的最小周期（卫星的轨道近似为圆轨道，万有引力恒量结果保留一位有效数字）

[解析] ⑴首先写出以下核反应方程：而质量亏损

由质能方程即可求出该核反应中释放的“核能”，从而

          

⑵ 然后，应用环绕天体的周期公式，代入已知数据，可求出中子星的卫星运行的最小周期

           。

[例题14]（’06江苏）天文学家测得银河系中氦的含量约为25%。有关研究表明，宇宙中氦生成的途径有两条：一是在宇宙诞生后3分钟左右生成的；二是在宇宙演化到恒星诞生后，由恒星内部的氢核聚变反应生成的。

⑴把氢核聚变反应就简化为4个氢核（）聚变成氦核（He），同时放出2个正电子（e）和2个中微子（V_e），请写出该氢核聚变反应的方程，并计算一次反应释放的能量。

⑵研究表明，银河系的年龄约为t=3.8×10s，每秒钟银河系产生的能量约为1×10J（即P=1×10J/s）。现假定该能量全部来自上述氢核聚变反应，试估算银河系中氦的含量（最后结果保留一位有效数字）。

⑶根据你的估算结果，对银河系中氦的主要生成途径做出判断。

（可能用到数据：银河系质量约为M=3×10kg，原子质量单位1u=1.66×10kg，1u相当于1.5×10J的能量，电子质量m=0.0005u，氦核质量m_a=4.0026u，氢和质量m_p=1.0078u，中微子v_e质量为零。）

   [解析] ⑴首先，写出其核反应方程：4H－He+2e=2v_e

显然，其质量亏损为

   再由质能方程可得释放的“核能”

⑵其次，若忽略电子的质量，则依题意可得银河系氦核的总质量

    

进而，可求出银河系中氦的含量

⑶最后，由估算结果可知ｋ≈2％远小于25％的实际值。因此，银河系中的氦主要是宇宙诞生后不久生成的。

[点拨]由解析可见，以上两例都为释放核能的反应，前者联系到天体的公转周期，后者则显然采用质能对应关系。

尤其值得强调的是，在由于对撞导致正负电子的湮灭，从而转化为一对光子的“准核反应”问题中，质量亏损与核能的计算请读者参见拙文《“质量亏损”与“核能的计算”》，此处从略。

 

 

                                          (2017-08-04  经典重发)