数学就是生活

朋友，您赞成还是反对公孙龙的“白马非马”？您能否想象用“木马非马”四个字就可以让反对“白马非马”者哑口无言！请看张跃辉、李吉有、朱佳俊的数学科普著作《数学的天空》（北京大学出版社，2017年7月第一版）。

《数学的天空》通过介绍1637年的费马大定理（1994年被证明）、1859年的黎曼假设（迄今未证明）与1904年的庞加莱猜想（2004年被证明）等著名数学问题，向读者展示当代数学前沿的精彩片段、古今中外数学家的精神风貌以及数学本身的无穷魅力与永恒价值。

该书第一章引言“虚室生白——数学永恒”以“数学不仅是大自然的语言，还是作者的饭碗”表达了对数学的满腔热情，并以1972年诺奖主题“民主选举”引入现代数学概念“序结构”，以2012年诺奖主题“稳定婚姻”介绍更为现代的“博弈论”，并引出盖尔-沙普利算法：“男子主动的求婚策略是女子的最差策略”！所以婚恋世界永远是“先下手为强”！作者以“世上有难事”引入纯粹数学概念“无限”，并以康托尔的“对角线法”阐释了“世上有难事，无限逼疯人”，因为“整数与有理数一样多”，“无理数与实数一样多且比有理数多”！作者写道：“四平方数定理当然无助于我们获取权力和财富，是“无用的数学”，但它的确挑战了我们的心智，升华了人类的精神，度量了文明的高度。唯有无限洁净的心灵方可到达如此纯粹曼妙的人间仙境。”

第二章“图与数——数学之源”既是全书的预备知识，也是对基本数学概念的重新解读：“图模拟世界，数重塑思维”。作者以“加法开启思维之门”给予“加法”至高评价。伽罗华利用奇偶性概念以18岁之青涩释千古之疑惑：“代数方程存在根式解当且仅当其伽罗华群可解”。作者介绍“勾股定理”的现代版“神奇的15”别有洞天：“和距离一样，角度只存在于我们的心中”，介绍矩阵情有独钟：“数学核武之矩阵”，“矩阵无所不能”，并以经典应用图像压缩发问：“通讯公司不该降价吗？”

第三章的主题是一个形式极为简单的整数方程，却在人类数学史上描绘出一幅光辉画卷。

为了让读者一睹其颜，作者详尽介绍了初等数论和代数知识，回顾了历史上费马、欧拉、库默尔等数学家的研究历程。从经典的“周期函数”到近代的“椭圆函数与模形式”，再到现代的“模曲线”；从我国古代数学明珠“中国剩余定理”到近代的“局部整体原则”，再到现代的“自守表示理论”…… 谷山丰发现模猜想谱写生命之歌，弗雷偶遇神曲线妙搭桥梁，怀尔斯七年闭关终成正果。

该书最后一个主题庞加莱猜想断言“像球的球是球”。作者首先解读者之惑：地球表面是2维球面，庞加莱猜想宇宙表面应该是3维球面且是唯一的单连通3维闭曲面。庞加莱猜想可以推广至高维。研究“形状”的学科是“拓扑学”，俗称“橡皮上的几何学”。作者描绘其轮廓为“几何范天地万象，拓扑畴宇宙无形”，“拓扑是柔的几何，几何是刚的拓扑”；然后以“庖丁解牛——拓扑学手术：理解复杂空间”、“乘天除地——拓扑空间的运算”和“洞察秋毫——空间的秘密：代数”等小节，阐释了代数拓扑学的精髓。人类聚焦3维球面50余年一无所获，斯梅尔异想天开，以其“配边理论”证明了5维以上的庞加莱猜想，“低处不胜寒，高维尽开颜”。弗里德曼以同调群上的双线性型证明了4维庞加莱猜想。瑟斯顿与此同时宣布几何化猜想：3维闭流形共有8种基本形式——庞加莱猜想只是其特例！哈密尔顿利用“瑞奇流”征服几何化猜想的半壁江山，佩雷尔曼以“负熵不增”和“局部不塌定理”彻底证明了“几何化猜想”。

写科普著作难，写数学科普著作尤难，浅而少教益，深则祸读者。然《数学的天空》讲故事栩栩如生，论数理深入浅出，鉴古今鞭辟入里，复杂艰深的公式间遍布“有理数有没有奇偶性”、“没有充气的足球是球吗”这样令人莞尔又富含哲理的思考题。读《数学的天空》，中学生可知梗概，大学生可晓大意，硕士生可悟妙处，博士生可览全局，研究者可存同异。