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在全县优质课评比活动中，两位教师同时选教“有余数的除法”。教学在学生认识有余数的除法概念后，进入发现“余数比除数小”的环节。按照教材的安排（用12、13、14、15、16根小棒摆正方形，结果会怎样？先摆一摆，再填写除法算式，并把表格填完整）甲教师采用小组分工，每人摆一种，在全班交流中出示5道算式，进而组织学生比较除法算式中的余数和除数，得出结论。乙教师首先要求学生依次用12、13、14、15、16根小棒摆正方形，并根据摆的结果在教材上填写表示各次操作过程的除法算式。在全班汇报后，组织学生反思：① 用13、14、15根小棒摆正方形，都有剩余的小棒，剩下的小棒为什么不再继续分？② 用16根小棒摆正方形，余数为什么不写4？③ 如果用17、18、19、20根小棒摆正方形，余数分别是多少？有可能超过3吗？（根据学生的回答，逐步完善表格，略）④比较除法算式中的余数和除数，你有什么发现？ “余数比除数小”是一个比较抽象的数学规律。学生理解这个规律，需要丰富的感性认识作基础，经历感性认识上升成理性认识的过程。体会剩余的根数比4小的必然性，学生至少要有一个活动周期的完整体验，进而通过思维推理剩余的根数可能是1根、2根或3根，不可能超过3根。甲教师要求每人只摆一种，这样，学生对其他情况就不会再多作关注，虽然得到了“余数都比除数小”的结论，但残缺的体验让学生对“规律”很难有切身的体验。乙教师首先让学生在依次用不同根数的小棒摆正方形的活动中获得完整体验，然后设计有层次的问题，引导学生将感性认识上升成理性认识，从而理解这里的余数只能是1、2、3的道理。这样教学，“余数都比除数小”就不再是一个生硬的、机械记忆的知识，而是一种深刻理解的过程。这样的教学，也正是教材编排的诉求。 数学理解是学生获得数学对象意义的关键。学生只有在“余数与除数之间关系”的“是什么”和“为什么”之间建立起恰当的数学理解，才能使规律的心理表象建构得比较准确，才有可能将其纳入自身的认知结构中。可以说，没有理解，学生就没有深刻的思维；没有理解，数学知识运用就无从谈起；没有理解，数学教育也就没有意义。 “知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”“问题解决”“情感态度”目标的载体。《标准（2011年版）》继承我国数学教育优良传统，进一步明确了知识技能的基础性地位，并在“教学建议”中明确强调：“学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。”为“理解”而教，成为当下数学教育向学科本身回归的显著标志。相应地，关注儿童的数学理解，成为广大教师关注、探讨的热门话题之一。 一、对“理解”的理解 1.“理解”的心理学意义。 严格意义上，“理解”是一个心理学名词。我们只有把握理解所包含的心理要点，才能有效地指导学生学习，诊断学生错误，改进教学方法。数学学习的过程，本质上是学生认知结构不断扩充、改造、完善的过程。学生的数学认知结构在形式上，可以看作是由节点和联线组成的复杂网络。这种网络既可能是某种蜘蛛网一样的结构，也可能类似为一种垂直的“谱系”。数学中每一个概念，从本质上说都是嵌进了一些概念的体系中的，它从一些基础概念中得来，又为建立别的概念作基础。理解一个数学概念，不仅要懂得概念自身的数学意义，而且要从它与其他概念的外部关系中去认识。因此，认知结构的建构观点认为，“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才说明是理解了。”由此引申开去，在学生的内心世界，其发生的变化便是“建立了恰当的新旧知识联系，使概念的心理表象建构得比较准确，与其他概念表象的关系比较合理、比较丰富、比较紧密。” 2.“理解”的外在表现。 把握“理解”的心理学意义，可以为我们的教学明确方向。不过，教师还应把握理解的外在表现，学会判定学生是否理解了所学。《标准（2011年版）》对“理解”的水平有明确的界定：“描述对象的特征和由来，阐述此对象与相关对象之间的区别和联系。”具体表现在三方面：一是知道所学知识的由来，即知识产生的必要性；二是描述所学知识的特征，即理解所学内容的本质；三是体会新旧知识的联系。这与理解的心理学意义也是一致的。 二、促进学生数学理解的教材架构 教材作为教学的重要媒介，在教学实施和课程目标之间搭起一座桥梁。教材编写努力为“促进学生的数学理解”服务。新修订的苏教版教材更加注重体现数学知识和方法的产生、发展和应用过程，进一步优化对知识本质理解的活动。 1.教学情境更加凸显数学本质。 教材中学习情境的创设，与所安排的数学内容有实质性联系，有利于提高学生对数学本质的理解，有利于提高学生对于所学内容的兴趣。以“认识乘法 ”为例，乘法是求几个相同加数和的简便运算，“几个几的连加”是乘法概念的生长点。修订后的教材注重揭示概念的本质内涵，促进数学理解。表现在两个方面：一是情境内容更加凸显数学主题。原来的情境图有绿地，有小桥，有流水，这些情节使情境更加富有童真、童趣，贴近了儿童的生活现实，而非数学内容的虚晃却干扰了数学的本质。修订后的情境图在保留原来贴近儿童现实的基础上，适当简化，减少非数学信息的干扰，有利于突出数学现象。二是问题设计更加关注数学本质。“兔有几个2只？鸡有几个3只？”把学生注意力集中到“几个几”上；“兔有多少只，怎样计算？鸡有多少只呢？”通过解决问题，抽象出“几个几的连加”的算式。显然，修订后的例题，教学着力点不是算出兔和鸡的只数，而是体验相同加数连加的数学现象。 2.概念表述更加符合学习的阶段性要求。 定义是表现概念的一种形式，但并不等同于概念。教材在修订过程中，充分考虑学生的年龄特征和认知水平，适当淡化形式，注重实质，选择更加适合儿童理解的方式呈现概念。例如，认识射线、直线，采用图画的形式表现概念；认识平行，改变原来下定义为描述概念；认识垂直，呈现不同方向相交成直角的两条直线，通过归纳的方式说明概念；认识三角形，采用语言描述的形式抽象概念的本质属性。这些都体现对小学生认识阶段性要求的准确把握。 3.内容呈现更加关注知识的形成过程。 修订后的教材更加关注数学知识逻辑和学生认知逻辑的有机融合，通过设计有效的数学探究活动，使学生经历知识的发生发展过程，进而获得深刻的数学理解。 关注概念的展开过程。教材基于儿童的数学学习心理，注重联系具体直观，提供充分准确的感性例证，并通过富有启发性的问题，组织学生观察、操作、比较，经历概念的抽象过程。例如，“分数的初步认识（二）”教学把一个整体平均分成几份，其中的1份就是这个整体的几分之一。例题教学“把一盘桃（4个）桃平均分给4只小猴，每只小猴分得这盘桃的几分之几”，学生联系已有的知识经验，不难理解“每只小猴分得这盘桃的 关注算法的形成过程。计算教学，以培养运算能力为重点。“运算能力主要是指能够根据计算法则和运算律正确地进行运算的能力。”根据运算规律或运算法则进行的运算，属于算法的运算。算法的运算是运算能力的标志。心理学研究表明，学生在达到算法的运算水平之前，都不能摆脱实物的直观与操作。教材在整数、小数、分数的四则运算教学中，都引导学生经历从直观运算到算法运算的探索过程。以三年级下册“两位数乘两位数的笔算”为例，教材设计了四个层次：一是呈现实际问题，列出算式24×12，鼓励学生自己想办法解决问题。二是学生相互交流解决问题的方法，生成能够建构新竖式的资源。由于学生还没有学习两位数乘两位数笔算，他们只能结合具体情境的意义，把一个新的计算分解成几步已经掌握的计算。如，先算2箱是多少个（24×2），再算6个2箱是多少个（48×6）；先算10箱和2箱各是多少个，再算12箱一共是多少个。其中，后者和竖式计算比较接近，是形成竖式的基础。三是用竖式计算。在24乘12的竖式上，先算出2箱是48个，10箱是240个；再把这些个数相加，得到的就是12箱的个数。四是优化竖式，理解一般的写法。教材将计算教学与解决实际问题结合起来，让学生联系具体情境探索算法，有利于理解抽象的算理；在学生生成并理解资源性算法后，引导学生根据解决实际问题的步骤，组建并解释竖式，有利于学生理解竖式结构与原理，达成算法运算的水平。 关注结论的探索过程。教材在呈现数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生经历数学结论的探索过程，感悟数学思想与方法，积累数学活动经验。例如，“长方形面积公式”的教学，教材把重点放在探索面积公式上，连续安排用1平方厘米的正方形摆长方形、用1平方厘米的正方形测量长方形的面积、想给定的长方形的面积等活动，引导学生的思维从实物操作向表象操作再向算法操作过渡，进而完成对算法意义的建构。再如，“乘法分配律”的教学，教材首先创设问题情境，引出数学现象；接着，引导学生通过举例、验证、归纳、发现等活动，经历由具体到一般的抽象、概括过程。学生不仅获得对数学结论的深刻理解，而且初步感受归纳思想，积累数学探索的经验。 关注问题解决的过程。《标准（2011年版）》中确定的数学课程总目标和学段目标，都明确提出了发现和提出问题、分析和解决问题能力的要求。教材以解决问题的一般步骤为暗线，贯穿于解决实际问题的所有例题中，帮助学生形成规范且可操作的程序性知识，逐步养成按步骤进行解题的习惯，获得并积累数学活动经验。 4.教材编排更加注重知识的整体性。 注重突出核心内容。“核心内容是指处于学科知识结构的基础、中心地位，起着核心骨架作用，极富‘再生’和‘迁移’意义，能够统整学科中的许多知识，具有内在逻辑的连贯性和一致性的教学内容。”理解和落实核心内容是数学教材编写的主线。修订后的教材更加注重从数学整体的视角出发，突出内容的核心，引导学生建立对数学知识的深层次理解。以认识整数为例，教材安排“实物（小棒、小方块）表示数—计数器（或算盘）表示数—写数”的教学线索，帮助学生理解数的含义，体会十进制计数法。首先，引导学生在用小棒、小方块数数的活动中，重点掌握数的表示方法，突出“满10进1”的基本计数原理；然后，通过“计数器（或算盘）表示数—写数”的活动，充分展示数的抽象过程，理解位值原则（同一个数字在不同的数位其意义不同，它表示的是不同计数单位的个数）。 注重体现学生学习的整体性。过去，“掐头去尾烧中段”的教学，使得学生既不知道所学知识从哪里来，也不知道到哪里去，难以在心理建立起新旧知识间的联系（认知结构）。修订后的教材注重展现“知识背景-知识形成-揭示联系”的过程，引导学生感受数学的整体性。以“认识厘米”为例，教材按照“为什么—是什么—怎么用”的线索编排，发展学生的度量意识。首先，通过创设测量情境，引发认知冲突，产生探究新知的心理需求；进而，以有意义接受的方式建构长度单位“厘米”，并在多样化的数学活动中使学生建立1厘米的长度表象；在此基础上，通过在尺上找长度、用尺量长度、画规定长度的线段等活动中学习测量的方法，加深对厘米的体验。教材编排体现数学知识的产生、发展和应用过程，有利于学生感受数学知识的整体性。 注重内容之间的相互联系。教材的整体设计关注不同数学知识之间的关联，也关注数学知识之间的内在逻辑顺序。例如，在一些单元学习结束后，教材安排了“整理与练习”，引导学生及时整理学到的知识，理清知识之间的内在联系，调整认知结构。一些知识之间存在着实质性的联系，这种联系体现在相同的内容领域，也体现在不同的内容领域，教材内容呈现注重体现这些实质性的联系。例如，“解决问题的策略”内容领域，教材在常用的策略教学内容中都安排学生回顾“过去我们曾经用转化策略解决过哪些问题”，体会数学方法的一般性。 三、促进理解的教学策略 教材是一个静态的结构系统。如何使教材的意图转化为学生的数学理解，是一个极富现实意义的课题。从儿童的数学学习与发展出发，促进学生数学理解的教学应突出以下几个方面。 1.重视学生经验的生长。 数学知识的学习应当根植于学生的经验之中，这已成为共识。但是，学生原有的经验水平和获取经验的能力参差不齐，这就使得学习材料很难满足“非人为”和“实质性”的标准。因此，教学中要通过一定的教学方式，使班级学生能够在经验的层面上达到大致相同的可接受水平，这对于群体学习无疑十分重要。 以“分数的初步认识（一）”为例，教材从秋游分东西的情境引入概念。支撑学生理解分数概念的不是情境本身，而是由情境引发的经验。实际教学中，许多教师常常是从情境直接跳跃到纯粹的概念，这个跳跃过程掩盖了学生经验上的差别，而经验上的差别必然表现为概念获得上的差别。悟性高的学生会比较快地从经历中获得经验，不自觉地从经验水平进到抽象的概念；悟性低的学生仅停留于事件本身，没有获得经验，他们只能被迫直接接受概念。由此，在学生经历情境之后，应该有这么一个过程：让学生在事件的经历中讨论他们所获得的经验，把学生原本不自觉的、自生自灭的经验获得，以一种课堂讨论的方式予以呈现，使群体中学生个体的经验处于基本类似的水平上，并表现出一定的抽象水平，成为支撑学生个体接受科学概念的内在结构。 2.创造学生对数学理解的方式。 课堂教学中，数学教师不是创造新的数学概念，而是要创造学生对数学的理解，即如何把抽象的数学意义转换成儿童易于理解的具体感受、直观形式。为了理解，选择并设计有效的观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动以及数学直观才是重要的。 以“平行四边形的面积计算”为例，我们通过如下教学设计创造学生数学理解的方式：第一个层次，创设“比较”情境，知道平行四边形面积计算方法是什么。呈现面积相近的长方形和平行四边形，问：哪一个面积比较大？学生基于已有的经验测量、计算，在交流中出现“底×高”和“底×邻边”两种不同意见。通过借助方格纸验证计算结果，判断用“底×高”计算平行四边形面积是正确的。第二个层次，组织小组探究，理解平行四边形面积计算公式为什么是“底×高”。先是转化、推理，理解用“底×高”计算平行四边形面积的合理性；然后，组织讨论，从反面体会为什么用“底×邻边”计算平行四边形面积不行。第三个层次，图形变换，在“变”与“不变”中体会知识之间的联系。将长方形挤压变成高矮不同的平行四边形，感受图形的形状在变，面积也在变；呈现同底等高的几个平行四边形，感受图形的形状在变，面积不变。在此基础上，组织学生反思：图形的形状变了，为什么有时面积不变，有时面积变了？显然，在这样的课堂上，学生不是机械地接受形式化的数学事实，而是通过有效的数学活动获得对数学知识的关系性理解。 3.突出数学知识的核心思想。 依据儿童的心理特点和认知规律，小学数学的大部分内容都会被划分为若干个教学段落。这些教学段落有可能表现为内容本身由易到难、由浅入深、由具体到抽象的逻辑递进；也有可能表现为教学要求由模糊到清晰、由初步感知到准确理解的逐步提高。仔细分析不同教学段落的内在关联，都会发现蕴含其中的基本原理和核心思想，可以说，没有不蕴含核心思想的数学知识。在教学中抓住数学知识的核心，就等于抓住“牵一发而动全身”的“一”，就能围绕这一核心建构起“概念网络图”。 以“异分母分数加减法”一课的教学为例，从计算过程的算理层面进行分析，无论是整数加、减法，还是小数加、减法，分数加、减法，其相同的“理”是：计数单位相同才能直接相加、减。在教学中，我们充分考虑学生的学习基础和经验，通过小组合作学习大胆放手尝试，让学生尽可能多地呈现解决问题的策略。交流中，教师通过相机点拨和有效调控，让学生透过多样化的表象去洞察其内在的一致性——将“计数单位不同（不可以直接相加）”转变成“计数单位相同（可以直接加减）”，不仅理解了算法的本质，而且体会了相关知识间的内在联系。 4.构建结构化的数学课堂。 数学对象并不是孤立存在的，而是整体性数学结构中的一部分。促进学生从整体上认识和把握数学，让学生在“见树木，更见森林；见森林，才见树木”的情境中学习数学知识，需要教师结构化地组织、加工学习材料，把学科知识结构与学生的思维结构整合起来，实现“捡的砖头”都“轻松地砌成了房”。 以“年、月、日”的教学为例。从知识的结构来看，每一类计量单位(长度单位、质量单位、体积单位、货币单位等)都是一个系统的框架结构。“年、月、日”和学生已经认识的“时、分、秒”都属于计量时间的单位系统。在教学中，我们截取学校“阳光体育”镜头，从交流“这张照片是什么时间拍摄的”切入，引入时间单位“年、月、日、时、分、秒”，通过交流“关于时、分、秒，你们都知道什么呢”再现“时、分、秒”学习中建构起来的关系图；通过交流“看到了这个板书，你还想知道什么呢”确定研究问题。进而，学生围绕问题观察、分类、交流，完善认知结构。这样教学，把“年、月、日”的教学放到整个时间单位系统框架中，与先前学习的“时、分、秒”进行对接。在对接中，不仅让学生建立起年、月、日是比时、分、秒更大的时间单位序列，同时很好地将新知纳入到原有的知识结构中。
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