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带着问题实践 《义务教育数学课程标准(2011年版)》特别强调：“数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。”显然，“数学基本活动经验”对于学生的数学学习和创新意识的培养具有重要的价值。如何在课堂教学中引导学生积累数学基本活动经验呢？我开始了自己的教学实践。  这是苏教版四年级上册第21页的一道思考题。教材的意图很明显，让学生在操作中发现问题、体会规律。教学时，为了让学生在解决问题的过程中感悟积累数学活动经验，我把教材进行了改造。教学片段如下： （一）出示问题 平面上有50个点 (任意3个点不在一条直线上) ，过其中两点画一条直线，最多可以画多少条直线？（你能画一画，表示出自己的思考过程，然后解决问题吗？） （二）研究 1．个体研究，独立思考。 （稍后，发现个别学生无从下手。) 师 大家先停一停，老师想采访大家一下。我发现有些同学无从下手，你们猜猜原因是什么呢？ 生 50个点太多了，画起来不容易。 生 每3个点不在一条直线上，要画完这样的50个点就很麻烦。 师 是啊，怎么办呢？ 生 不用画50个点的，可以先试着研究几个点的情况，看看会不会有什么发现。 生 2个点可以确定一条直线，可以先从2个点开始研究。 2．小组研究。 师 刚才每个同学都有了自己的独立思考，四人小组互相说说自己的想法，然后再一起研究。 （三）全班分享 1．从2个点开始研究的方法。 （1）小组1汇报，生生互动。 生 (边板演边讲)通过2个点能画一条直线，如果再画上第3个点，就又能画出2条直线，这样一共就画出了3条直线。如果再画上第4个点，又能画出几条直线呢？  生 3条。 生 为什么呢？ 生 因为这第4个点可以分别跟前3个点确定一条直线。 生 是的，(边画边说)这样就一共画出了6条直线。  生 我建议大家可以先这样研究下去，看看能不能发现规律。 生 我还想提醒大家，可以列张表格进行研究，这样容易发现规律。 师 那好，我们接受他们小组的建议，继续研究，并完成书上的表格。 (2)再交流。 生 大家先来看看我们的答案： 点 数 2 3 4 5 6 直线数 1 3 6 10 15 大家都做对了吗？我们还需要一个一个地增加点，再继续画下去吗？ 生 不用了，已经发现规律了：1+2=3，3+3=6，6+4=10，10+5=15，所以7个点能画15+6=21(条)，8个点能画21+7=28(条)……这样一直加下去，有50个点，就要加到49。 生 我们也发现规律了，2个点能画一条直线，3个点能画1+2=3(条)直线，4个点能画1+2+3=6(条)直线，5个点能画1+2+3+4=10(条)直线，6个点能画1+2+3+4+5=15(条)直线。所以50个点能画1+2+3+…+49=1225(条)直线。 生 对的。但是我想问问大家，你们知道为什么3个点的时候是1+2=3(条)吗？这里的“2”是哪两条直线呢？ 生 因为2个点的时候能画1条直线，添上第3个点，又能画出2条新的直线，所以是1+2=3(条)。这里的“2”表示第3个点又可以画出的那2条直线。 师 （插话）真是一个极好的问题！我也想知道，你们说50个点能画1+2+3+…+49=1225(条)直线，算式中的49表示什么？48呢？ 生 49就是第50个点能分别跟前面的49个点画出一条直线；48是第49个点能跟前面的48个点分别画出1条直线……(全班响起热烈的掌声。) 师：问题解决了，能说说有什么体会？ 生 遇到难题，可以画画图、分析分析，就可以看出规律了。 生 我们是从最简单的情况开始想起的，等发现规律就好办了。 …… 2．选择点少的一种情况进行研究的方法。 小组2汇报，生生互动。 生 我们小组研究的方法跟刚才的方法不同。因为50个点太多了，有些复杂，我们就画了5个点进行研究。(边画边说)大家看，第1个点能分别跟其他4个点画出1条直线，共画出了4条；第2个点能跟剩下的3个点画出3条新的直线，第3个点又能画出2条，第4个点就只能跟最后一个点画出一条新的直线了，所以5个点能画4+3+2+1=10(条)直线。  生 可是你们没有说50个点能画多少条直线呀？ 生 我补充。你们看，如果是5个点，通过第一个点最多能画出4条直线，然后分别是3条、2条、1条，最后的结果是4+3+2+1，所以50个点就能画49+48+47+…+1=1225(条)直线。 …… （四）比较中提炼 师 同学们用不同的方法都解决了问题，但是大家有没有从不同的方法中看到相同的东西？ 生 我们最后得到的算式其实是相同的，一个是1+2+3+…+49=1225(条)，另一种方法是49+48+47+…+1=1225(条)。 生 我发现两种方法找到的规律其实是一样的，只是反过来了。 生 这两种方法在思考的时候，都不是直接画出50个点进行研究，都是先研究点比较少的情况。 生 都是研究点少的情况，再发现规律以后，算出50个点能画出多少条直线的。 师 是的，先研究简单的情况，然后发现规律后去解决复杂的问题，这是一种重要的数学思想和方法。  老子说过：“天下难事，必作于易；天下大事，必作于细。”其实说的就是这个道理。 …… 实践后再思考 数学活动经验是一种过程性知识，数学活动经验是学生在数学活动过程中内化了的数学知识、技能及情感体验，既包括学生的日常生活经验，又包括学生在学校数学课程中获得的经验。数学经验的获得依赖于多种数学活动，比如观察、理解、提问、建模、论证等。一般而言，经验极具个性，是个体的自我创造、个性的再现。从上面的案例实践中，我可以收获关于积累数学活动经验的这样一些做法： （一）恰当利用素材，设计有效的数学活动 数学教学不仅是结果的教学，更重要的是过程的教学。数学课堂教学必须结合具体内容让学生在数学学习活动中去“经历过程”。如果仅仅是为了解决教材上这道思考题，那么上面的案例似乎“瞎折腾”了，但是教学的意义与价值是什么？学生从中能体会哪些数学思想方法？又能积累怎样的数学活动经验呢？显然，上面的案例利用教材上的这一素材，为学生创造了一个富有研究性的数学活动，给了学生更大的、更自由的学习空间。 有效的数学活动并非一定是操作活动，一道数学问题的分析与解决过程就可以是一个“有效的数学活动”，关键是怎样让这样的过程更“有效”。分析学生已有的数学活动经验与新知识之间的结合点，这是设计有效的数学活动的前提。在这堂课学习前，学生已经知道两点能确定一条直线，也有了一定的找规律的经验，那么故意制造矛盾冲突──把平面上的点增加到50个，学生发现不能直接通过画图找到答案，于是便开始深入地思考与研究，有效的探究活动就这样开始了，为数学基本活动经验的积累创造了极大的可能。 （二）尊重个性差异，提高经验共享的可能性 “活动经验”一定与“经验”密不可分，当然就与“人”密不可分，即学生本人要把活动中的经历、体会总结上升为“经验”。它既可以是活动当时的经验，也可以是延时反思的经验；既可以是学生自己摸索出来的经验，也可以是受别人启发得出的经验。但关健是，这些“经验”必须转化和建构为属于学生本人的东西，才可以认为学生获得了“活动经验”。我们可以这样认为：数学基本活动经验是学生通过亲身经历数学活动过程所获得的具有个性特征的经验；学生只有积极地参与数学学习的过程，经过独立思考、探索实践、合作交流，才有可能更多地积累数学活动经验。 因此，我们在组织数学活动时，一方面要尊重学生的个性差异，关注学生独立思考的过程与结果；另一方面，要让学生积极参与互动，关注学生的合作研究与相互交流，让每一个人的智慧与经验得以共享。上面的案例，首先给了学生独立思考的空间，虽然个别学生无所适从，但这表面上看起来的“空白”，却让他们体会到问题的困难所在，使得后面的合作探究有了思考的目标与方向。而在“全班分享”这一环节，教师给了学生充分思考的自由、表达的自由。学生在相互交流中再认识，在相互质疑中再发现，快乐地分享着每一个人独特的思考与经验。 （三）提供广阔的探索空间，渗透内在的思想方法经验 小学数学教材体系有两条线索，一条是数学知识（这是明线），一条是数学思想方法（这是暗线）。由于教材呈现形式的局限，往往难以明确地展现内在的思想和方法，所以教师要深入分析教材，明确概念和例题的本质是什么，从怎样的材料出发，经过怎样的过程概括而来，最终要形成怎样的数学结构，领悟怎样的数学思想方法。 案例中，对于改造后的问题，学生认为“50个点太多了，画起来不容易”，“每3个点不在一条直线上，要画完这样的50个点就很麻烦”。于是学生指出：“我们不用画50个点的，可以先试着研究几个点的情况，看看会不会有什么发现。” “我们知道2个点可以确定一条直线，我们可以先从2个点开始研究。”……学生开始尝试并真实体验了“从简单情况想起”的数学思想方法。再来看学生的探究过程：“通过2个点能画一条直线，如果再画上第3个点，就又能画出2条直线，这样一共就画出了3条直线。如果再画上第4个点，你们知道又能画出几条直线呢？”学生在边画边思考中发现：第3个点对应了2条直线，第4个点对应了3条直线……这里，学生的几何直观得到了培养；而“你们看，如果是5个点，通过第一个点最多能画出4条直线，然后分别是3条、2条、1条，最后的结果是4+3+2+1，所以50个点就能画49+48+47+…+1=1225(条)直线”，又可以看到学生正在尽情地体验与感悟着数学推理的思想……学生不只是解决了一道数学题，更重要的是经历了数学思想与方法的积淀、凝聚过程。 （四）关注反思与提炼，把感性认识提升为数学活动经验 让学生动手“做”数学，不能仅仅满足于让学生动手操作解决问题。如果学生的思维仅停留于感性经验的层面上，就不能在感性认识中揭示、获取理性的经验。因此，要将学习过程中那些有关的智力活动变为思维的对象，引导学生进行反思与提炼。上面的案例中，如果数学活动停止于问题解决时，那么学生的认识仍然只是停留在感性的层面上。因此，不仅让学生充分参与探究活动，更关注问题解决后的反思与提练，适时地引导学生观察、思考、发现、比较，帮助学生将经验显性化。“问题解决了，能说说你们有什么体会？”“同学们用不同的方法都解决了问题，但是大家有没有从不同的方法中看到相同的东西？”……这些问题的提出，正是引导学生去体会感性经验背后更深层次的数学本质。学生说：“遇到难题，我们可以画画图、分析分析，就可以看出规律了。”“我们是从最简单的情况开始想起的，等发现规律了，就好了。”“这两种方法在思考的时候，都不是直接画出50个点进行研究，都是先研究点比较少的情况。”……提炼出来的这些理性、抽象的数学活动经验，不仅能让学生掌握丰富的知识，还能形成智慧。 |
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