|
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。但是，无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。从零开始，依据数之间的大小关系就产生了自然数，表示自然数的关键在于十个符号和数位。 问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？ 数量是对现实生活中事物量的抽象。从远古时代开始，在日常生活和生产实践中，人们就需要创造出一些语言来表达事物（事件与物体）量的多少，比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少等等。在古代中国，这样的表述可以追溯到商代的甲骨文，参见附录的话题1。虽然在这样的表达中出现了数字，但这些数字都是有具体背景的：在这样的表达中，数字后面都有后缀名词。在现代汉语中，一些表示数量的后缀名词的具体形式已经被根深蒂固地保留下来了，比如，一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子等等。我们称这种有实际背景的、关于量的多少的表达为数量。 史宁中. 2013. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社 第10页 问题2 如何认识自然数？ 数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象。在问题1中已经谈到，为了更好地研究现实世界中量的关系，就必须对数量进行更一般的抽象。抽象的结果就是自然数。在这个抽象过程中，人们把数量关系也一并抽象出来，形成数的关系。数量关系的本质是多与少，与此对应，数的关系的本质是大与小。因此，自然数是对数量、以及数量关系的抽象。可以有两种方法实现这种抽象，或者说，可以有两种方法认识自然数。 一种方法是基于对应的。基于对应的抽象过程大概是这样的：首先利用图形对应表示事物数量的多少，然后再对图形的多少进行命名，最后把命名了的东西符号化。比如， □□ ←→ 2， □□□ ←→ 3， ?? （1） 史宁中. 2013. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社 第11页 一种方法是基于定义的。数的定义紧紧地依赖于数的关系、即大小关系。通过大小关系定义自然数的方法在本质上是利用了“后继”的概念。比如，先有1；称1的后继为2，2比1大1，表示为2 = 1 + 1；称2的后继为3，3比2大1，表示为3 = 2 + 1；??，通过这样的后继关系，人们就得到了自然数。最初规定自然数是从1开始的，后来为了更一般的表示，又规定自然数从0开始。关于定义自然数的详细讨论参见附录的话题6。 可以看到，通过定义认识自然数的方法完全排除了现实背景，这样的方法过于抽象，不适于小学阶段的数学教学。但是，作为数学教师应当知道这样的方法，并且要理解其中的逻辑关系，因为数学的严谨性是从数的定义开始的。 在教学过程中还应当注意到，读数和用符号表示数是有所不同的，用符号表示数比读数更加抽象。在读数的过程中，人们只需要用一个词与数量的多少对应起来就可以了，比如，用“十”对应于“十个”那么多、用“百”对应“百个”那么多。但是，这样的方法对于符号表示是不可能的，因为不可能创造出无穷多个符号来表示数。 史宁中. 2013. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社 第12页 问题3 表示自然数的关键是什么？ 表示自然数的关键是十个符号和数位。十个符号是与十进制联系起来的，因为在使用二进制时只需要两个符号。人们在日常生活中之所以采用十进制，大概与人有十个手指头有关，正如前面问题所讨论的那样，人们在规定“数”的时候考虑到了对应，而十进制就是对应于人的 十个手指头。在现实生活中，与数量有关的规定还有十二进制和六十进制，这些规定大多与时间有关、与古代历法有关，参见附录的话题5。 自然数有无穷多个，可是，为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢？关键在于数位：在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的，在表示过程中0起到了重要的作用，参见附录的话题4。从小到大，十进位的数位法则是依次相差十倍。即十个“个”是“十”、十个“十”是“百”、十个“百”是“千”，十个“千”是“万”等等。在现行小学教科书中，解释如何认识一万时说：一万是由十个一千产生的。这样的解释是不合适的，事实上，是“万”这个数位是十个“千”，而不是说一万这个数是十个“千”，数与数位是不同的1。在问题2中已经讨论过，数是一个一个大起来的，据此可以这样认识一万这个数：已经知道用千位表示的最大数是9999，现在又多了1，那么，应当如何称呼这个新的数是什么呢？在中国称这个数为“一万”，在西方称这个数为“十千”，但符号表示是一样的：10000。 有了十个符号与数位，读自然数的法则是：符号 + 数位。比如，下面的形式 十 个 2 3 表示的是两个“十”和三个“个”，在通常情况下读为二十三，符号表示为23。同样的道理，把两个“十”和零个“个”读为二十，符号表示为20。进一步， 千 百 十 个 3 0 0 2 表示的是三个“千”零个“百”零个“十”和两个“个”，可以直接读为：三千零百零十二，在通常情况下可以简约读为：三千零二，符号表示为3002。更为详细的讨论可以参见附录的话题4。 数位的名称。因为各民族传统文化的不同，对于数位的读法也不尽相同。比如，基于汉语1 大多数教科书已经改过来了，但有些教科书似乎仍然没有理解这个问题的本质，没有理解数位与数是不同的。事实上，这种基于十的数位概念已经渗透到了现实生活中的各种数量单位：元、角、分；米、分米、厘米；等等。 的东亚语言系统的数位基础是四，即数位是 个 十 百 千；万 十万 百万 千万； 亿 十亿 百亿 千亿； 兆 ?? 其中个、万、亿、兆所代表的数位分别是第1、5、9、13，差为4。与此不同的是，基于拉丁语的欧洲语言系统的数位基础是三，即数位是 个 十 百；千 十千 百千；百万、十百万、百百万；十亿 ?? 其中个（ones）、千（thousands）、百万（millions）、十亿（billions）所代表的数位（digit）分别是1、4、7、10，差为3。虽然数位的读法不同，但用符号表示出来的“数”是一致的。现代会计系统源于西方，因此，所有会计报表中记账数字的数位基础是三。 自然数集合。基于十个符号与数位就可以用符号表示所有的自然数，一般用N表示自然数集合： N = { 0, 1, 2, 3, ? }。 这种表示显示了自然数的序有开头无结尾。 人类发明十进位的自然数计数系统实在是一件非常了不起的事情，这个发明经历了相当漫长的抽象过程，甚至现今仍然有一些原始部落还没有抽象出完整的数字概念，那里的人们只能分辨一、二和许多，详细讨论参见附录中的话题4。因此，在小学阶段的数学教学中，不可能让学生完全理解数的抽象过程，但是，应当努力创设出一些情景让学生清晰地感悟到这个抽象过程，比如，在问题2中曾经强调过的利用对应的方法。 32 2 在中国，关于“万”这个数位的记载可以追溯到殷墟甲骨文。 参见《天空中的圆周率》，巴罗著，苗华建译，中国对外翻译出版公司，20xx年。 3 史宁中. 2013. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社 第13页 第二篇：读书摘录什么是数的认识 3000字 数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。但是，无论是认识数量还是认识数都不是数学的本质，数学的本质是：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。数量之间最基本的关系是多与少，与此对应，数之间最基本的关系是大与小。从零开始，依据数之间的大小关系就产生了自然数，表示自然数的关键在于十个符号和数位。 问题1 数量是什么？数量关系的本质是什么？ 数量是对现实生活中事物量的抽象。从远古时代开始，在日常生活和生产实践中，人们就需要创造出一些语言来表达事物（事件与物体）量的多少，比如，狩猎收获的多少，祭祀牺牲的多少等等。在古代中国，这样的表述可以追溯到商代的甲骨文，参见附录的话题1。虽然在这样的表达中出现了数字，但这些数字都是有具体背景的：在这样的表达中，数字后面都有后缀名词。在现代汉语中，一些表示数量的后缀名词的具体形式已经被根深蒂固地保留下来了，比如，一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋、五匹马、六头牛、七张纸、八顶帽子、九件衣服、十条裤子等等。我们称这种有实际背景的、关于量的多少的表达为数量。 史宁中. 2013. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社 第10页 问题2 如何认识自然数？ 数是对数量的抽象，数的关系是对数量关系的抽象。在问题1中已经谈到，为了更好地研究现实世界中量的关系，就必须对数量进行更一般的抽象。抽象的结果就是自然数。在这个抽象过程中，人们把数量关系也一并抽象出来，形成数的关系。数量关系的本质是多与少，与此对应，数的关系的本质是大与小。因此，自然数是对数量、以及数量关系的抽象。可以有两种方法实现这种抽象，或者说，可以有两种方法认识自然数。 一种方法是基于对应的。基于对应的抽象过程大概是这样的：首先利用图形对应表示事物数量的多少，然后再对图形的多少进行命名，最后把命名了的东西符号化。比如， □□ ←→ 2， □□□ ←→ 3， ?? （1） 史宁中. 2013. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社 第11页 一种方法是基于定义的。数的定义紧紧地依赖于数的关系、即大小关系。通过大小关系定义自然数的方法在本质上是利用了“后继”的概念。比如，先有1；称1的后继为2，2比1大1，表示为2 = 1 + 1；称2的后继为3，3比2大1，表示为3 = 2 + 1；??，通过这样的后继关系，人们就得到了自然数。最初规定自然数是从1开始的，后来为了更一般的表示，又规定自然数从0开始。关于定义自然数的详细讨论参见附录的话题6。 可以看到，通过定义认识自然数的方法完全排除了现实背景，这样的方法过于抽象，不适于小学阶段的数学教学。但是，作为数学教师应当知道这样的方法，并且要理解其中的逻辑关系，因为数学的严谨性是从数的定义开始的。 在教学过程中还应当注意到，读数和用符号表示数是有所不同的，用符号表示数比读数更加抽象。在读数的过程中，人们只需要用一个词与数量的多少对应起来就可以了，比如，用“十”对应于“十个”那么多、用“百”对应“百个”那么多。但是，这样的方法对于符号表示是不可能的，因为不可能创造出无穷多个符号来表示数。 史宁中. 2013. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社 第12页 问题3 表示自然数的关键是什么？ 表示自然数的关键是十个符号和数位。十个符号是与十进制联系起来的，因为在使用二进制时只需要两个符号。人们在日常生活中之所以采用十进制，大概与人有十个手指头有关，正如前面问题所讨论的那样，人们在规定“数”的时候考虑到了对应，而十进制就是对应于人的 十个手指头。在现实生活中，与数量有关的规定还有十二进制和六十进制，这些规定大多与时间有关、与古代历法有关，参见附录的话题5。 自然数有无穷多个，可是，为什么用十个符号就能够表示所有的自然数呢？关键在于数位：在个位上的2与在十位上的2所表示的自然数是不同的，在表示过程中0起到了重要的作用，参见附录的话题4。从小到大，十进位的数位法则是依次相差十倍。即十个“个”是“十”、十个“十”是“百”、十个“百”是“千”，十个“千”是“万”等等。在现行小学教科书中，解释如何认识一万时说：一万是由十个一千产生的。这样的解释是不合适的，事实上，是“万”这个数位是十个“千”，而不是说一万这个数是十个“千”，数与数位是不同的1。在问题2中已经讨论过，数是一个一个大起来的，据此可以这样认识一万这个数：已经知道用千位表示的最大数是9999，现在又多了1，那么，应当如何称呼这个新的数是什么呢？在中国称这个数为“一万”，在西方称这个数为“十千”，但符号表示是一样的：10000。 有了十个符号与数位，读自然数的法则是：符号 + 数位。比如，下面的形式 十 个 2 3 表示的是两个“十”和三个“个”，在通常情况下读为二十三，符号表示为23。同样的道理，把两个“十”和零个“个”读为二十，符号表示为20。进一步， 千 百 十 个 3 0 0 2 表示的是三个“千”零个“百”零个“十”和两个“个”，可以直接读为：三千零百零十二，在通常情况下可以简约读为：三千零二，符号表示为3002。更为详细的讨论可以参见附录的话题4。 数位的名称。因为各民族传统文化的不同，对于数位的读法也不尽相同。比如，基于汉语1 大多数教科书已经改过来了，但有些教科书似乎仍然没有理解这个问题的本质，没有理解数位与数是不同的。事实上，这种基于十的数位概念已经渗透到了现实生活中的各种数量单位：元、角、分；米、分米、厘米；等等。 的东亚语言系统的数位基础是四，即数位是 个 十 百 千；万 十万 百万 千万； 亿 十亿 百亿 千亿； 兆 ?? 其中个、万、亿、兆所代表的数位分别是第1、5、9、13，差为4。与此不同的是，基于拉丁语的欧洲语言系统的数位基础是三，即数位是 个 十 百；千 十千 百千；百万、十百万、百百万；十亿 ?? 其中个（ones）、千（thousands）、百万（millions）、十亿（billions）所代表的数位（digit）分别是1、4、7、10，差为3。虽然数位的读法不同，但用符号表示出来的“数”是一致的。现代会计系统源于西方，因此，所有会计报表中记账数字的数位基础是三。 自然数集合。基于十个符号与数位就可以用符号表示所有的自然数，一般用N表示自然数集合： N = { 0, 1, 2, 3, ? }。 这种表示显示了自然数的序有开头无结尾。 人类发明十进位的自然数计数系统实在是一件非常了不起的事情，这个发明经历了相当漫长的抽象过程，甚至现今仍然有一些原始部落还没有抽象出完整的数字概念，那里的人们只能分辨一、二和许多，详细讨论参见附录中的话题4。因此，在小学阶段的数学教学中，不可能让学生完全理解数的抽象过程，但是，应当努力创设出一些情景让学生清晰地感悟到这个抽象过程，比如，在问题2中曾经强调过的利用对应的方法。 32 2 在中国，关于“万”这个数位的记载可以追溯到殷墟甲骨文。 参见《天空中的圆周率》，巴罗著，苗华建译，中国对外翻译出版公司，20xx年。 3 史宁中. 2013. 基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社 第13页 |
|
|
