6周末练习14参考答案

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问：

参考例题

题目：

如图所示：AM∥DN，AE、DE分别平分∠MAD和∠AND，并交于E点。过点E的直线分别交AM、DN于B. C.

(1)如图，当点B. C分别位于点AD的同侧时，猜想AD、AB、CD之间的存在的数量关系：___.

(2)试证明你的猜想。

(3)若点B. C分别位于点AD的两侧时，试写出AD、AB、CD之间的关系，并选择一个写出证明过程。

考点：

[全等三角形的判定与性质, 角平分线的定义, 平行线的性质]

分析：

（1）从图中可猜测AD=AB+CD．
（2）通过添加辅助线EF，构建全等三角形，根据全等三角形的性质判定△ABE≌△AFE，进而证明AD=AB+CD．
（3）当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB；当点B位于点A右侧，点C位于点D左侧时，AB=AD+CD．

解答：

(1)AD=AB+CD；

(2)证明：在AD上截取AF=AB，连接EF.

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠FAE.

在△ABE和△AFE中，

AB=AF，∠BAE=∠FAE，AE=AE，

∴△ABE≌△AFE，

∴∠ABC=∠AFE.

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180∘，

又∵∠AFE+∠DFE=180∘，

∴∠DFE=∠BCD.

∵DE平分∠ADC，

∴∠ADE=∠CDE.

在△FDE和△CDE中，

∠DFE=∠DCE，∠ADE=∠CDE，DE=DE，

∴△FDE≌△CDE，

∴DF=CD，

∴AF+DF=AB+CD.

即AD=AB+CD；

(3)证明：

第一种情况：当点B位于点A左侧，点C位于点D右侧时，DC=AD+AB.

在CD上截取DF=AD，连接EF.

∵DE平分∠ADC 

∴∠ADE=∠CDE

在△ADE和△FDE中，

DA=DF，∠ADE=∠CDE，DE=DE，

∴△ADE≌△FDE.

∴EA=EF，∠DAE=∠DFE.

∵AE平分∠DAM，

∴∠DAE=∠EAM，

∴∠DFE=∠EAM，

又∵∠BAE+∠EAM=180∘,∠DFE+∠CFE=180∘，

∴∠BAE=∠CFE.

∵AM∥DN，

∴∠ABC=∠BCD.

在△BAE和△CFE中，

∠BAE=∠CFE，∠ABC=∠BCD，EA=EF，

∴△BAE≌△CFE，

∴AB=FC.

∵DC=DF+FC，

∴DC=AD+AB；

第二种情况：当点B位于点A右侧,点C位于点D左侧时,AB=AD+CD.

在AB上截取AF=AD，连接EF.

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE.

在△ADE和△AEF中，

AF=AD，∠BAE=∠DAE，AE=AE，

∴△AEF≌△AED，

∴EF=ED，

∴∠AFE=∠ADE.

∵DE平分∠ADN，

∴∠ADE=∠EDN，

∴∠AFE=∠EDN，

又∵∠AFE+∠BFE=180∘,∠EDN+∠EDC=180∘，

∴∠BFE=∠EDC.

∵AM∥DN，

∴∠ABC=∠BCD.

在△BEF和△CED中，

∠BFE=∠EDC，∠ABC=∠BCD，DE=EF，

∴△BFE≌△CDE，

∴CD=BF.

∵AB=AF+FB，

∴AB=AD+CD.